空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量.ppt

(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不唯一， 合理取值即
可。
方程组

n n

a b

0 0

aa12
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为n=(x，y，z) 则由n DA 0 ，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
x

y
1 2
z

0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F

(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 D1F 平面ADE
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
Fz
E
N A
B
M
x
D
y
C
例 3:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
(1,1/2,2),且 l ，则m=
.
例5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
证明：设正方体棱长为1，以DA ，DC , DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
x x

b1 b2ห้องสมุดไป่ตู้
y y

c1z c2z

0 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例2 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
x
0) 2)

0 0
即
3 3
x x

4y 2z

由0 两个三元一次方程 0组成的方程组的解是
不惟一的，为方便起 见，取x=4较合理。 其实平面的法向量不 是惟一的。
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
问题：如何求平面的法向量？
l
e1
n1

l1 1 e1 // n1 e1 n1
2 n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
满足的关系式。
解：由题意可得 PM (x x0, y y0, z z0 )， e PM 0
即( A, B,C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0 化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面,b2平, c行2 )包,则括面面重合.
例练2习：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB ，n AC （x，y，z）(2, 2,1) 0，
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx

2y 5y

z0 ,
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, z) (3,
y, z) (3,
∴

y

z

3 4 3 2
4, 0, x
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1,b1,c1), n (a2,b2,c2),则
l e // n e n a1 a2,b1 b2, c1 c2.
当a2 , b2 , c2

0时,e // n

a1 a2

b1 b2

c1 c2
l1 l2
e1 e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
l1
n1

l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1 n2
2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2
l1
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
3z 0
取z

1，得

x y

1 2 1
n (1 , 1,1), | n | 3

2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
l
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
(-2,-4,k),若 // ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为