07 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
斯托克斯公式——换流量与旋度
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
第七节：斯托克斯公式
（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R
Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号
P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy
P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C
y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。
第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
D11_7斯托克斯公式
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其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
利用对称性Dx y
2
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
作业
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
习题11-7（P245） 提高题：1
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
环流量与旋度
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S
8
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*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
A
P Q R x y z
div A
k
i x A P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
高数之斯托克斯公式、环流量、旋度
= − ∫∫
∂ {P[ x, y, f ( x, y )]}dxdy y ∂ Dxy
C
Γ
Green v ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx = v ∫ P( x, y, z )dx ．
其余部分证明，自己看书．
5
v ∫
或
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z P Q R cos α ∂ ∂x P cos β ∂ ∂y Q cos γ ∂ dS ∂z R
（ 1′ ）
v ∫
G
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
（ 1′′ ）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 为有向曲面 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的单位法向量． 2、若 Σ 是 xOy 面上的一块平面闭区域，则 Stokes 公式就变为 Green 公式，即 Green 公式为 Stokes 公式的特例．
§11.7 斯托克斯(Stokes)公式
*
环流量与旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，了解环流量和旋度的概念及其求法 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容：
一、Stokes 公式
斯托克斯(Stokes)公式是 Green 公式的推广．Green 公式表达了平 面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而 Stokes 公式则把曲面 Σ 上的曲面积分与沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起 来．这个联系可陈述如下：
1 1 ． , cos γ = − 2 2
O x
1
第七节%20%20斯托克斯(stokes)公式%20%20环流量与旋度ppt
解 1 2 3 4 其中1：z 0, 2：x 0, 3：y 0, 4：z 1 x y
ds 1 则 dxdy 2 2 1(1+x+y) Dxy (1+x+y) 1 1 x 1 1 dx dy ln 2 2 0 0 (1+x+y) 2
j y Q
k z R
x P
因此，stokes公式可以写成向量形式 rot A nds A ds(3) 或 (rot A ） n ds A ds 公式（3）可叙述为：向量场 A沿有向闭曲线的环流量等于 向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量。
设向量常 A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k , 则
i R Q P R Q P 1)rot A { , , } y z z x x y 称为向量场 A的旋度。 2) ( P cos Q cos R cos )ds 称为向量场 A沿闭曲线的环流量。
第七节 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度
一 斯托克斯公式
stokes公式是Green公式的推广，它将曲面上的曲面 积分与沿的边界曲线积分联系起来。 定理1
设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲 面，正向与的侧符合右手规则。 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 曲面(连同边界)上具有一阶连续 偏导数，则
例4 求面密度为0的均匀半球壳x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 对于z轴的转动惯量。
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
∑
∑
P Q R + + Gauss 公式 : ∫∫∫ ( )dV x y z = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
二,Stokes公式的简单的应用
例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz ,
Γ
其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则.
§7. 斯托克斯(stokes)公式 一,斯托克斯公式
定理 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线,∑ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与 ∑
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面∑ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手规则
Γ 是有向曲面 ∑ 的
边界曲线
z
n
Γ
如图 设∑与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并∑取 上侧,有向曲线 C 为∑的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立.
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
斯托克斯公式
解:按斯托克斯公式：
Γ
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy
由于 的 法向量的三个方向余弦都为正, 又由于对称性，上式右端为: 3 d 其中Dxy为xOy面上由直线x y 1及
Dxy
两条坐标轴围成的三角形闭区域.
故
3 zdx xdy ydz 2 Γ
( P cos Q cos R cos )dS .
Γ
设有向量场 A( x,y,z ) P( x,y,z )i Q( x,y,z ) j R( x,y,z )k 在坐标轴上的投影分别为
R Q P R Q P , , y z z x x y
曲面Σ的通量，这里Γ的正向与曲面Σ的侧应 符合右手规则.
rot A 的表达式可利用行列式记号形式地表示为
i rot A x P j y Q k . z R
P P 即 : dzdx dxdy P( x, y, z )dx 成立 y Γ z (此时, Px, y, f ( x, y )在C上点( x, y )处的值与P( x, y, z ) 在Γ上对应点( x, y, z )处的值是一样的，且两曲线上的 对应小弧段在x轴上的投影也一样.)
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以Γ为
边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 的侧符合 右手规则，函数P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z )在曲面
(连同边界Γ )上具有在一阶连续偏导数，则有：
注意：
斯托克斯公式 若 是xoy面上的一平面闭区域，
斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz
斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y
或
将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z
I
cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将：
z
y
o x
参数化：
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
★
三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则
2π
0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
2π
0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)
大学高数课件 8.7 第七节 斯托克斯公式与旋度
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲
A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度㈠本课的基本要求了解斯托克斯公式，了解旋度的概念，并会计算。
㈡本课的重点、难点斯托克斯公式为重点，其运用为难点㈢教学内容作为格林公式的推广，高斯公式反映了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
如果将格林公式在空间作另一方面的推广，即把平面曲线L 推广到空间曲线Γ，并把以L 为边界的平面区域推广到以Γ为边界的有向曲面∑，姨可得到如下的斯托克斯公式。
一．斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则（即当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与∑上的法向量的指向相同）。
若函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(⑴ 公式⑴叫做斯托克斯公式。
证 先假定∑与平行于z 轴的直线相交不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区域为xy D (如图)。
我们设法把曲面积分⎰⎰∑∂∂-∂∂dxdy y P dzdx z P 化为闭区域xy D 上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分相联系。
根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ds y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos (γβ ⑵ 由第八章第六节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为22222211cos ,1cos ,1cos y x y x y y x xf f f f f f f f ++=++-=++-=γβα因此γβcos cos y f -=，把它代入⑵式得⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂dxdy f z P y P ds f z P y P dxdy y P dzdx z P y y )(cos )(γ ⑶ 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替。
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第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.
分布图示
★ 斯托克斯公式
★ 例1 ★ 例2
★ 例3
★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度
★ 例4 ★ 例5
★ 例6
★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7 ★返回
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=L
Rdz Qdy Pdx (7.1)
公式(7.1)称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
⎰⎰⎰
Γ∑
++=∂∂
∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R
Q P z
y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰Γ∑
++=∂∂
∂∂∂∂
Rdz Qdy Pdx dS R
Q
P
z
y x γβα
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度 设向量场
,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
++=
则沿场A
中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
⎰++=ΓC
Rdz Qdy Pdx
称为向量场A
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,
称为向量场A
的旋度，记为A rot ，即
.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
R
Q
P
z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=
.
四、向量微分算子：,k z
j y i x
∂∂+∂∂+∂∂=∇
例题选讲
利用斯托克斯公式计算
例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ
++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截
成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式，有
,⎰⎰⎰∑
++=++Γ
dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx
由于
∑
的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:
,3⎰⎰⎰⎰=∑
++xy
D d dxdy dzdx dydz σ
所以
.2
3
=++⎰Γ
ydz xdy zdx
例 2 计算曲线积分
,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰
Γ
其中Γ是平面
2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看
法，取逆时针方向.
解 取
∑
为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}
3,1,1{=n
即
,31cos cos cos ===λβα
原式dS y x x y z y z y x z
⎰⎰
∑
---∂∂
∂∂∂∂=
2
222223
13131
⎰⎰∑++-
=dS z y x )(34
.293322334
-=-=∑⋅
-
=⎰⎰⎰⎰xy
D dxdy dS
例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ
+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是
).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x
此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.
解 由斯托克斯公式，有 原式⎰⎰∑
-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2
γβα
dS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2
222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑
=
⎰⎰
⎰⎰≤+
例4 求矢量场k z j xy i x A 2
22+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.
解 A div z
A y A x A z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div .4=
A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i
)02()00()00(--+-+-= .2k y -=
故0
M A
rot .2k -=
例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -= rot(gradu).,,222222⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故 rot(gradu).0=
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A
=grad u 为势量场或保守场，而u 称
为场A
的势函数.
例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x
ωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一
点M 的线速度v
的旋度.
解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r
OM =,k z j y i x ++= 则点M 的线速度
v r
⨯=ωz
y
x k
j
i z y
x ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y
ωωωωωω-+-+-=
于是v rot x y z x y z z y x k
j i y x x z z y ωωωωωω---∂∂
∂∂∂∂=
)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =
即速度场v 的旋等于角速度ω
的 2 倍.
课堂练习
1. 计算,)()()(222⎰
-+-+-AmB
dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线
π
ϕ
ϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w
在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.。