专题04 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值-高中数学破题致胜微方法

专题04 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值

本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即AF PF PA ≥+，当且仅当点P 在线段AF 上时PF PA +的最小值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.

求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：

利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；

定点所在位置是抛物线的内部还是外部；

根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.

再看一个例题，加深印象：

例：抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4

2)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为

总结：

1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；

2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；

3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.

练习：

1. 已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点. 设F 是焦点，一个定点为()3,6A ，求PF PA +的最小值，并指出此时点P 的坐标.

2. 已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，(5,4)A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 .

3. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上, 那么点P 到点Q (2,－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P 的坐标为( ) A.1(1,)4-

B.1(,1)4

C.(1,2)

D.(1,－2)

4. 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

B.3 D. 92

答案：

1.

解析：作PN 垂直于准线，其中N 为垂足，则|PF |=|PN|，

所以|PA|+|PF|=|PA|+|PN|，

可知，当AP 垂直准线时三点A ，P ，N 共线，|PA|+|PF|=|PA|+|PN |取小值为7， 此时9,34P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

2.【答案】2

【解析】过点B 作抛物线C 的准线1x =-的垂线，垂足为点B 1，因为周长L AF AB BF =+

+1AB BB =+，所以当A ，B ，B 1三点共线时ABF ∆的周长最小，此时点B 的坐标为(4,4)，ABF ∆的面积11422S =

⨯⨯=．