- 圆周运动

第一章 质点运动学
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
a （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作
匀变速率运动 .
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
轨道是一个圆的质点运动称为圆周运动.
v2 B v1
R s A
极坐标系中
t A t t B
角位置 角位移
O
x 沿逆时针转动,角位移取正值
沿顺时针转动,角位移取负值
角速度
lim d 单位：rad/s t0 t dt
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
利用自然坐标, 一切运
a
动可以根据切向、法向加速
度来分类：
an
at
an= 0 at= 0
匀速直线运动
an= 0 an 0 an 0
at 0 at = 0 at 0
变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
a与at的夹角
tan an
at
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
小为v，其方向与水平方向夹角成 30. 求（1）物体在
A点的切向加速度 at ；（2）轨道的曲率半径 .
v
A g30
解： ⑴
at
g cos60
g 2
⑵
an g cos30
3g 2
an
v2
v2 2 3v2 an 3g
[思考] 轨道最高点处的曲率半径？
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
解：(1)
x v0t y 1 gt 2
2
o
y
1 2
x2g v02
( x 0)
y
第一章 质点运动学
v0
x
an
a
g
1 – 3 圆周运动
(2)子弹在t时刻的速度，
o
切向加速度和法向加速度。
vx v0, vy gt
v
v0i
gtj
y
物理学教程 （第二版）
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 总加速度大小:
物理学教程 （第二版）
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 R 2
tg an
aτ
一般曲线运动:
a v(t)
a
anO
dv aτ dt
v2
an
为曲线上点的曲率半径.
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1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
物理学教程 （第二版）
单位：rad/s2
匀速圆周运动 是恒量
d dt
t
d dt
0
0
0 t
匀角加速圆周运动
是恒量
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
一般圆周运动
t
d dt
0
0
t
0
dt
0
第一章 质点运动学
dt dt
dt
变速圆周运动的加速度:
v(t t) v(t)
a
r
v
v(t
t
v
)
C
v(t )
d A
B RA d
O
x
v (v) (v)n
a lim (v) lim (v)n t0 t t0 t
第一章 质点运动学
a an a
1–
v(t t)
3 圆v(周t) 运a动 lim (v)
(v) d
t0 t
周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设b
为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率;
（2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度.
解：（1） v ds d (1 bt2 ) bt
dt
（2）
at
dv dt
b
dt
2
an
v2 r
(bt)2 r
（3）
a (at2 tan
1 – 3 圆周运动 线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
物理学教程 （第二版）
线量与角量关系:
v lim s lim R R d R
t0 t t0 t
dt
d
dt
加速转动 减速转动
方 方向 向一 相致 反
v r
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1 – 3 圆周运动
v r
物理学教程 （第二版）
dv d r dr
lim (v)n t0 t
物理学教程 （第二版）
a an
(v)τ的数值为: v(t t) v(t) v
v dv
aτ
lim
t 0
t
dt
切向加速度,方向沿轨道切向,反映速度大小变化.
aτ
dv dt
d ( R )
dt
R
第一章 质点运动学
1
v(t t)
– v3(t圆) 周运动
v(t t)
物理学教程
v0
x
an
a
g
v vx2 vy2 v02 g2t2
arctg gt
v0
dv
g2t
a dt v02 g2t 2
an
g2 a 2
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
练习1：物体作斜抛运动如图，在轨道A点处速度的大
an2 )1 2
at a
b2t 4 ( r2
b(
b2t 4 r2
1)1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1)1
2
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
例2. 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
讨论
例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
（1） dv dt
（3） dv v2 dt R
（2） v2 R
（4） (dv)2 (v2 )2 dt R
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿圆
物理学教程 （第二版）
例3：一质点从静止出发沿半径 r 3m 的圆周运 动，切向加速度 at 3m/s2 求： 1）t ? 时，
at 解0va：dnv;at2）0t在dd(3vt上m述3时sm间2)内sdt，2 质点所经ra过no的路aa程t .et
v (3m s2 )t
an v2 r (3m s4 )t 2 3ms4t2 3ms2
v(t )
（第二版）
(v)n
B RA d
O
x
(v) d
a
lim (v) t0 t
lim (v)n t0 t
a
an
(v)n AB
v
R
AB t0 s
v R
an
lim
t 0
(vn ) t
lim
t 0
vs Rt
v R
s
lim
t0 t
v2 R
an R 2
法向加速度,方向沿半径指向圆心,反映速度方向变化.