大一高数课件第二章-习题课-
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高数数学必修一《第二章 章末复习课》教学课件
考点三 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不 等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联 系这三个“二次”的枢纽． (1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时 解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两 种情况进行讨论． (2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之 间的关系．
跟踪训练4 已知函数y＝x2＋ax＋2. (1)若对∀x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求实数a的取值 范围； (2)若∃x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求实数a的取值范 围．
考点五 不等式在实际问题中的应用 1．不等式的实际问题常以函数为背景，多以解决实际生活、生产中 的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值． 2．通过对不等式实际问题的考查，提升学生数学建模和数学运算素 养．
所以不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，
当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解集为
1 2
，
当a>1－a，即a>12时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a}，
综上，当a<12时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，当a＝12时，不等式的解集为
例3 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是α<x<β，其中β>α>0，求不 等式cx2＋bx＋a<0的解集；
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．
《高等数学》课件第2章
2.2 函数的求导法则
2.2.1 导数的四则运算法则
引例2-3(物体的运动速度) 已知某物体作直线运动，路 程s(单位m)与时间t(单位s)的函数关系为s=t2－tlnt+5，t∈[1， 5]. 求物体在t=2 s时的速度.
分析: 问题即为求导数 ds . 因为s的表达式较复杂，
dt t=2
所以直接用定义求解很繁琐，是否有便捷的方法呢？可以看 到，s是由t2、t、lnt、5这四个基本初等函数通过加、 减、 乘 法运算组成的，而这四个基本初等函数的导数都有现成的公 式可用，因此若能找到导数的四则运算法则，则问题迎刃 而解.
解 因为y′=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3 在 点(1，1)处的切线斜率为
K=y′|x=1=3
y－1=3(x－1)
y=3x－2
y 1 1 (x 1) 3
即
y 1x 4
33
2.1.4 可导与连续的关系
设函数y=f(x)在点x处可导，即 lim y f (x) 存在，由极
x0 x
限的运算法则得
如图2-1所示，设曲线y=f(x)上有定点M0(x0，y0)和动点 M(x+Δx，y+Δy)，作割线M0M. 当动点M沿着曲线趋向于定 点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的 切线，过M0且与切线垂直的直线叫做曲线在点M0处的法线.
图2-1
割线M0M
tan y
x
其中φ为割线M0M的倾斜角. 当Δx→0时，点M将沿着 曲线无限趋于点M0，上式的极限存在，即
ds [2t ln t 1] 4 ln 2 1 2.3069 dt t=2
即物体在t=2 s时的速度约为2.3069 m/s.
大一高讲义数课件第二章2-6-1
(2)炮弹在时t刻 0的速度大.小
解 (1) 在t0时刻的运动方向即 轨迹在t0时刻的切线方向, 可由切线的斜率来反映.
dy(v0tsin12gt2) dx (v0tcos)
v0 sin gt v0 cos
dy dxtt0
v0si ng0t. v0cos
y
vy v
v0
vx
o
x
xv0tcos ,
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t时 ,xa ( 1 ),ya .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7 不计空气的阻, 以 力初速度 v0, 发射角发射炮弹 ,
其运动方程为xy
v0t cos, v0tsin
1 gt2, 2
求(1)炮弹在时t刻 0的运动方;向
x
x
一般地 f(x ) u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 )
lf ( n x ) v ( x ) l u ( x n )
又 dln f(x)1df(x) dx f(x)dx
f(x)f(x)dln f(x) dx
f(x ) u (x )v (x )[v (x )lu n (x ) v (x )u (x )] u (x )
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某种关,从 系而它们的变 dx化 与d率 y之间也存在一,定 dt dt
这样两个相互依化赖率的称变为相关.变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
三、由参数方程所确定的函数的导数
若 参 数 x y 方 ((tt))程 确 定 y与 x间 的 函,称 数此 关为 系由
高等数学课件-习题课2
哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
大一高数课件第二章 2-1-1
不存在
函数y f ( x )在x 0点不可导.
o
x
四、导数的几何意义
1.几何意义
f ( x0 )表 示 曲 线y f ( x )上 点 M ( x0 , f ( x0 ))处 切 线 的 斜 率 ,即 f ( x0 ) tan , (为 倾 角 )
y
y f ( x)
T
3 2
3 y x 3 2
1 2
x4
y8
( 4, 8 )点的切线与y 3 x 1 平行
五、可导与连续的关系
定理
证
函数在一点可导，则函数在该点必连续.
y f ( x 0 ) x
y f ( x 0 ) x 0 x lim
设函数 f ( x )在点 x0可导,
k y
பைடு நூலகம்
1 x 2
4.
切线方程为 法线方程为
1 y 2 4( x ), 2
即 4 x y 4 0.
即 2 x 8 y 15 0.
1 1 y 2 ( x ), 4 2
例8 曲线 y x 上哪一点的切线与 3 x 1 平行？ y 解
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然 科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.
1665年他提出正 流数(微分)术,次年又提出反流数 (积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版). 他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
切线的斜率
f ( x0 x ) f ( x0 ) k lim x 0 x
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
精品课件-高等数学-第二章
(2) 算比值：Δy/Δx=[f(x+Δx)－f(x)]/Δx；
(3) 取极限：y f (x) lim y . 我们根据这三个步骤来求x解0 一x 些基本初等函数的导数.
例1 求函数f(x)=C (C为常数)的导数.
解 在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数值的增量为
Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0
(2-6)
第二章 导数与微分
(loga
x)
1 x
loga
x
1 x ln a
(2-7)
特别地，当a=e时，有
(ln x) 1 x
(2-8)
例2 [切线与法线方程] 曲线y=x3/2上哪个点处的切线与
直线y=3x－1平行？试求该曲线在点(1，1)处得切线方程和法
线方程.
解 设曲线y=x3/2在点M(x0，y0)处得切线的斜率为k，则有
v s s(t0 t) s0
t
t
第二章 导数与微分
图2-1
第二章 导数与微分
因此，当|Δt|越小，v 就越接近质点在t0时刻的瞬时速度.
据此，当Δt→0时，若v 的极限存在，就将此极限值称为质 点在时刻t0的(瞬时)速度，即
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
k tan y f x0 x f x0
x
x
当点Q沿曲线L趋于点P时， Δx→0，割线PQ的倾斜角j就
趋于切线PT的倾斜角α，于是割线PQ的斜率 的极k 限(如果存 在)，就是曲线L在点P处的切线的斜率，即
k切
tan
lim k
x0
lim
大一高数课件第二章
微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通 过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
第二章《高等数学(上册)》课件
f (x) 或 y 或 df (x) 或 dy
dx
dx
在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数．
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
（2）算比值 （3）取极限
y f (x x) f (x)
x
x
y lim y x0 x
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
2．左、右导数
既然导数是比值 y 当x 0 时的极限，那么下面两个极
限
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
例2 求抛物线y=x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程． 解 因为 y (x2 ) 2x，由导数的几何意义可知，曲线y=x2
高等数学第三版第二章课件(每页16张幻灯片)
若 lim
Δx → 0 +
2.右导数:
f +′ ( x 0 ) = lim
x → x0 + 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) ; = lim Δx → +0 x − x0 Δx
= lim
Δx → + 0
= f +′( x 0 ) 存在,
( 3) 求极限
⎧x , f ( x) = ⎨ ⎩ x,
x≤0 x>0
y = x2
y=x
,
0
x
∴ 函数 f ( x )在点 x 0 连续 .
15
在 x = 0处不可导, x = 0为 f ( x )的角点.
16
2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续 , 但 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δy = lim = ∞, Δ x Δx → 0 Δx 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数 . (不可导) lim
解 ∵ sin 是有界函数 ,
1 x ∴ lim x sin
x →0
例如,
y
3
y = 3 x −1
f ( x) =
x − 1,
0
1 ⎧ ⎪ x sin , f ( x) = ⎨ x ⎪ 0, ⎩
x≠0 x=0
1
1 =0 x
,
－1/π
0
1/π
x
y = f ( x) y = f ( x)
在 x = 1处不可导.
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两 者的联系是：在某点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 即是导 函数 f ′( x ) 在 x 0 处的函数值．
大一高数课件第二章2-5-1
2 2e 2 0 x x 2 2 2 1 0 e 2 9 x 2 x 2 1 0 2 1 9 e 2 8 x 2 2 !
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
解
y
1
1 x2
y
(11x2
)
(1
2x x2
)2
y
((12xx2)2)
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(12xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ).
解
yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!)0.
例3 设 yln 1(x)求 ,y(n ).
解 y 1 1 x
y
1
(1
x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n )k n 0 C n ku (n k)v(k) 莱布尼兹公式
n
莱布尼兹公式 (uv)(n) Cn ku(nk)v(k) k0 (uv) uvuv (uv) (uvuv)uv2uvuv (uv) uv3uv3uvuv 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代
换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
解
y
1
1 x2
y
(11x2
)
(1
2x x2
)2
y
((12xx2)2)
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(12xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ).
解
yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!)0.
例3 设 yln 1(x)求 ,y(n ).
解 y 1 1 x
y
1
(1
x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n )k n 0 C n ku (n k)v(k) 莱布尼兹公式
n
莱布尼兹公式 (uv)(n) Cn ku(nk)v(k) k0 (uv) uvuv (uv) (uvuv)uv2uvuv (uv) uv3uv3uvuv 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
高等数学第二章课件.ppt
x x0
x x0
左极限和右极限统称为单侧极限．
lim f (x) A 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义，如
果在 x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
也趋于零,即 lim y x0
lim [
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0 ，那么
称函数 f (x) 在点 x0 处连续, x0 叫做函数 f (x) 的连
续点．
函数在点 x0 连续必须满足下面三个条件： （1）在点 x0 的某个邻域内有定义； （2）极限 lim f (x) 存在；
x x0
（3）极限
xx0 (x)
穷小，特别地，当 k 1 时，称 (x) 与(x) 等价 无穷小，记作 (x) ~ (x), (x x0 ) ．
常用的等价无穷小如下：当 x 0 时 ，
sin x ~ x ， tan x ~ x ，
1
c os x
~
1 2
x2
， ln(1
x)
~
x
，
ex 1 ~ x ，n 1 x 1~ 1 x． n
几何解释：函数的增量表示当自变量从 x0 变 化到 x0 x 时,曲线上对应点的纵坐标的增量.
2）函数的连续性
设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当自变量 x 在 x0 处的增量 x 趋于零时,
函数 y f (x) 相应的增量 y f (x0 x) f (x0 )
大一高数课件第二章 2-习题课-1
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
大一高数课件第二章2-2-1
例4 求ysexc的导.数
解
y(sex)c(c1oxs)
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
例5 求ysh的 x 导.数
解
y(sh) x[1(exex)]1(ex
2
2
ex
)
ch.x
切线方程.
思考题解答
y23x2 令 y 0 23x20
2 x1 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 2, 4 6
3 9 3 9
所求切线方程为
y
4
6 9
和
y
4 6 9
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________.
同理可得 (ch)xshx(thx) 1 ch2x
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)(x)1,
当x0时,
f(x)l n1(x)
1
1
x
,
f(0) lx i0m f(0xx )f(0)
当x0时, f(0)lx im 0(0 x x)0 1,
x
THANK YOU .
x
dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
5.设
3 x2 yf(x)
,则 f (0)=________.
解
y(sex)c(c1oxs)
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
例5 求ysh的 x 导.数
解
y(sh) x[1(exex)]1(ex
2
2
ex
)
ch.x
切线方程.
思考题解答
y23x2 令 y 0 23x20
2 x1 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 2, 4 6
3 9 3 9
所求切线方程为
y
4
6 9
和
y
4 6 9
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________.
同理可得 (ch)xshx(thx) 1 ch2x
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)(x)1,
当x0时,
f(x)l n1(x)
1
1
x
,
f(0) lx i0m f(0xx )f(0)
当x0时, f(0)lx im 0(0 x x)0 1,
x
THANK YOU .
x
dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
5.设
3 x2 yf(x)
,则 f (0)=________.
高数 第二章 习题课二
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a) K
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,