高等数学(上册)：24-第24讲微积分的基本公式

于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
x
x0 x
条件
这说明了什么 ？
lim f ( ) f (x) x0
若能找到这样的F(x) , 就可以计算定积分
b
f (x)d x .
a
x
F(x) a f (x)d x C
b
a f (x)d x F (b) F (a)
定积分的计算 问题转化为已 知函数的导函 数,求原来函数 的问题 .
二. 微积分基本公式 1. 原函数的定义
定义 若在某区间 I 上有 F(x) f (x) , 则称 F (x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数.
之间存在一种函数关系.
固定积分下限不变, 让积分上限变化, 则得到积
分上限函数 :
x
x
F(x) a f (x)d x a f (t)dt x [a,b].
积分上限函数的几何意义 y
y f (x)
aO
xx b x
积分上限函数的几何意义 y
x
a f (x)d x
y f (x)
aO
xx b x
x
f (t)dt C([a,b]) .
a
证 x [a,b] , 且 x x [a,b] , 则
F(x) F(x x) F(x)
xx
x
xx
a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
又 f (x) R([a,b]), 故 f (x) 在[a,b] 上有界：| f (x) | M .
第五章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
由前面的讨论可知: 一个函数要有原函数, 则 必有无穷多个原函数, 他们构成一个函数族:
F(x) C .
我们要问：F(x) C 是否包含了f (x) 的所有原函数？
设 F (x), G(x) 是 f (x) 在区间 I 上的任意两个 原函数, 则有
这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?
一般地 ,
若(x) 可导 , f (x) C , 则
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cosx et2 d t
lim
x0
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分的性质： b f (x)d x a f (x)d x, 有
a
b
b
x
x f (t)dt b f (t)dt ,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
定理 1 若 f (x) R([a,b]),则F(x)
处可导,
且 F(x0)
f (x0 ) ?
f (x) 在点 x0 处连续, 即有
b
b a a d x
0, 0, 当x U(x0, ) 时, | f (x) f (x0 ) | .
要 F(x0 ) f (x0 ), 即要
x
lim F (x) F (x0 ) lim
x x0
x x0
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且
F(x) d
x
f (t)dt f (x) (a x b) .
dx a
会不会有这样的结论：如果 f (x) 在点 x0 处连续,
则 F(x)
x
f
a
(t ) d t
在点 x0
x x0
f (t)dt
x0
x x0
f (x0 ).
x
x
x
f (t)dt
x0
x x0
f (x0 )
x0 f (t) d t x0 f (x0 ) d t x x0
1
| x x0 |
x
|
x0
f
(t)
f
(x0 ) |d t
就是说，我 们猜想的结 论成立.
定理 3 若 f (x) R([a,b]), 且在点 x0 [a,b] 处连续,
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x ( sin x)
x0
2x
下面再看 定理 2 .
1. 2e
( x)
( a f (t)dt ) f ((x)) (x)
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且 F(x) d
例2
设 F (x) x2 sin(1 t2 )d t , 求 F(x) . 0
解
令 u x2, g(u)
u
sin(1
t2)dt
,
则
F ( x)
g(x2) ,
0
故 F(x) g(u) d u ( u sin(1 t2)dt) (x2) dx 0
sin(1 u2) 2x 2xsin(1 x4) .
则 F(x)
x
f (t)dt
a
在点 x0
处可导,
且 F(x0)
f
(x0 ) .
(在端点处是指的Baidu Nhomakorabea左右导数 )
例1
(
x
cost dt )
d
x
cos t d t cos x.
a
dx a
F ( x)
x
( a cos x d x ) ?
定积分与积分变量的记号无关.
x
( a cos xd x ) cos x.
x
f (t)dt f (x)
(a x b) .
dx a
由 F(x)
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
若 F (x) 存在, 则 (F (x) C) F(x) f (x) . 这样的F(x) 若存在, 则必有无穷多个.
若 F1(x) f (x), F2(x) f (x), 则 F1(x) F2 (x) C.