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第一讲 数系扩张--有理数（一）

一、【问题引入与归纳】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m n

（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① (0)||(0)

a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

1、若||||||0,a b ab ab a b ab

+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）

A.相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平方

3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求

220062007

()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所

示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（

A.2a

B.2a -

C.0

D.2b

5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）

A.2

B.3

C.9

D.6

6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b

------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为

0，b a

，b 的形式，求20062007a b +。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006

2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

3、计算：5917336512913248163264

+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc

的值。

第二讲 数系扩张--有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-

（2）若0x ，化简|||2||3|||x x x x --- 2、设0a ，且||

a x a ≤，试化简|1||2|x x +-- 3、a 、

b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b =

（3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b =

（5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b

4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？

6、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

7、abcde 是一个五位数，a

b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

8、设1232006,,,

,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++ 2342006()a a a a ++++,1232006()N a a a a =++++2342005()a a a a ++++,试比较M 、N 的大小。

三、【课堂备用练习题】：

1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

3、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c

++的值。 4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？

（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-

（2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+- 5、化简下式：||||

x x x -

第三讲 数系扩张--有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。

（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：

1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭ 2、计算：（1）、()()560.94.48.11+-++-+

（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25

（3）、（-423）+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3、计算：①()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4、 化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎣⎦ （3）()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦ （4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭