人教版高中数学必修二浙江专用练习：课时跟踪检测(十三) 平面与平面垂直的判定

课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定

A级——学考水平达标

1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()

A．60°B．120°

C．60°或120°D．不确定

解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.

2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．

3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()

A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b?β

C．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β

解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，

从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.

又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()

A.

3

2 B.

2

2

C. 2

D. 3

解析：选C如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，

∴在△A 1BD中，A1O⊥BD.

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．

设AA1＝1，则AO＝

2 2.

∴tan∠A1OA＝1

2

2

＝ 2.

6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．

答案：平行

7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)

解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.

又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，

∴BD⊥平面AA1C1C.

又BD?平面EBD，

∴平面EBD⊥平面AA1C1C.

答案：垂直

8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面

ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是______(填序号)．

①PB⊥AD；

②平面PAB⊥平面PAE；

③BC∥平面PAE；

④直线PD与平面ABC所成的角为45°.

解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．

答案：②④

9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.

证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，

D是AC的中点，所以AC⊥OD.

又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.

10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂

直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，

求二面角E-BD-C的大小．

解：∵E为SC中点，且SB＝BC，

∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.

又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.

又SC∩SA＝S，

∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，

∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．

设SA＝AB＝1.

在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，

AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，

∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.

B级——高考能力达标

1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

解析：选A∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．

2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()

A．相等B．互补

C．相等或互补D．不确定

解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分

别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半

平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故

选D.

3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶

3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给

出四个结论：

①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面

BFC.

在翻折的过程中，可能成立的结论是()

A．①③B．②③

C．②④D．③④

解析：选B对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC

与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的

射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使

条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，

从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.

4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDF⊥平面ABC

解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB ＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF?平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C 成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.

5.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.

解析：取BC中点M，则AM⊥BC，

由题意得AM⊥平面BDC，

∴△AMD为直角三角形，

AM＝MD＝

2

2a.∴AD＝

2

2a×2＝a.

答案：a

6.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB 与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB

，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AO

AB＝

AC

AB·

AO

AC＝

sin 30°·sin 60°＝

3 4.

答案：

3 4

7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．

(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．

解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.

∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.

∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD

.

(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°. 在△AOC中，AO＝CO＝2，

∴AC＝ 6.

如图，过点A作CO

的垂线交线段CO的延长线于点H.

∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO

∩AO＝O，

∴BD⊥平面AOC.

∵AH?平面AOC，∴BD⊥AH.

又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD. ∴AH⊥BC.

过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.

∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.

∵HK?平面AHK，∴BC⊥HK.

∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．

在△AHO中，AH＝

6

2，OH＝

2

2，

∴CH＝CO＋OH＝2＋

2

2＝

32

2.

在Rt△CKH中，HK＝

2

2CH＝

3

2.

在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AH

HK＝

6

2

3

2

＝

6

3.

∴二面角A-BC-D的正切值为

6 3.

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，

AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．

(1)求证：BE⊥PD.

(2)求二面角P-CD-A的余弦值．

解：(1)证明：连接AE.

∵PA⊥底面ABCD，∴∠PDA是PD与底

面ABCD所成的角，

∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.

又∵点E是PD的中点，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.

∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.

又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面PDA.

又∵PD?平面PDA，∴BA⊥PD.

又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

∵BE?平面ABE，∴BE⊥PD.

(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，

AB＝BC＝1，AD＝2，

∴AC＝CD＝ 2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD.

又∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC.

又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，

∴∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．

在Rt△PCA中，PC＝PA2＋AC2＝22＋(2)2＝ 6.

∴cos ∠PCA＝AC

PC＝

2

6

＝

3

3.

∴所求的二面角的余弦值为

3 3.

由Ruize收集整理。感谢您的支持！