浙江省高中数学课程改革方略(浙江省教育厅教研室：张金良)
课改疑难问题与改进建议-PPT精选文档
2019年：在余杭高级中学、杭州十三中 、黄岩 中学 、舟山中学 、杭师大学附中 、温岭中学 、 温州豪江中学 、温州中学 、乐清中学 、绍兴 稽山中学、绍兴一中 、宁波效实中学 、象山 三中 、学军中学等调研听课51节 2019年上半年：在杭州二中 、杭州四中、嘉兴 一中、桐高、奉化中学等调研听课30节
（2）调整顺序。将选修2-3中的第一章计数原理移至必修 3第三章概率之前，将必修5中第三章二次不等式移至必 修1第一章集合之前；
（3）检回删除内容。对部分“老内容”作了加深和补充， 如函数单调性中补充复合函数的单调性，必修2中的立体 几何采用“一竿子到底”，补充三垂线定理，求角、距 离等 （4）宁波效实中学的学生说：“模块学习学过的知识很 容易忘记，初中考试前不需要复习，高中不复习就考不 出好成绩”
2、课堂教学问题
（1）部分老教师力不从心，对新理念 接受得较慢，导致对教材的理解、教改 信息滞后，课堂上教学行为依旧，课堂 教学难度仍然很高，分步到位与螺旋上 升的理念没有被教师接受， （2）课堂教学仍然以高强度大容量、 围绕着“考试题型”的教学为主，并没 有质的变化 （3）对新课程中要倡导的探究性学习、
3、作业问题 权威配套的教辅资料滞后，教师学生 手头使用的教辅质量较差，与教科书 不配套，偏离新课程标准要求，造成 教师教学要求难以把握， 4、设施问题 教学条件与教学内容之间的矛盾，大 班教学的活动，信息技术的使用
5、衔接问题 部分教师只重视知识与技能 方面的衔接，忽视教学行为、 学习方式、学习习惯方面的衔 接。
50多个座谈会、1000多人 与会、3000份问卷调查
2009年高考改革方案
（一）学业测评，全科会考
（二）分类测试、分批选拔
（三）全面考核、综合评价
家谈高中数学新课改 要用数学本身的魅力来吸引学生
家谈高中数学新课改要用数学本身的魅力来吸引学生专家谈高中数学新课改●要防止“去数学化”现象●要用数学本身的魅力去吸引学生●社会应对新课改多些包容今年是我省高中全面进入新课改的第一年。
新课改的走向如何，学生应如何面对今后的高考？11月4日，借第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的东风，记者采访了北京人民教育出版社数学室主任章建跃和浙江省教研室数学教研员张金良，他们站在全国、全省数学教研的角度，重点谈了高中数学学科的课改动向和高考评价。
关于数学新课改—要防止“去数学化”现象据人教社的章主任介绍，今秋，全国共有十个省、市、区高中进入新课改，浙江省是其中之一。
明年起，新课程改革将由“申报进入”改为“规划进入”，这意味着新课改近两年在全国全面推进已是大势所趋。
对于数学学科来说，新课程关注的核心是如何适应国家发展的需要和如何适应人的发展需要。
“这就是说高中数学教育要与实践联系，与学生的学习兴趣、学习能力联系，我特别强调与实践联系但不是生活，因为高中数学不同于义务教育阶段，它有一定的抽象性，生活化数学要适度，这是高中数学老师特别要注意的问题。
”章主任如是说。
在观摩了几十节来自全国的高中青年数学教师优秀课后，结合前段时间高中新课改中出现的一些问题，两位高中数学教研人员不约而同地提到一个观点：高中数学教学要防止“去数学化”现象，即在上课中，数学本质、内涵的东西少了，所谓的情景、生活化的游戏多了，片面强调探究、合作，让学生追求教学的外在表现，而不是对数学概念、内容的深层思考。
课堂虽然热闹了，但学生参与的思维深度不够。
他们认为，数学本身是有魅力的，要用数学的本质吸引学生保持长久的兴趣。
省教研员张金良老师告诉记者，我省今秋高中全面进入新课改，面对新课程，老师手头可用资源非常有限。
为此，省教研室组织专家，编写了介于教材与课标之间的各学科教学指导意见，包括教学中的每个章节、每个模块；同时，编写了新课程的同步使用作业本。
新高考方案下的高中数学教学(14825)
牛顿法——用导数方法求方程的近 似解
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体 积公式 为什么截口曲线是椭圆
购房中的数学
“杨辉三角”
中的一些秘密
宁波市正始中学 陈碧文
`
环节一：引入环节
1.1、引经据典，步入新课
1.2、温故已知，探究铺垫
环节二：探究环节
2.1、分工合作，寻“规”探密 2.2、小组展示，分享所得
数学课堂教学中的坚守与创新
坚守1.走东西方教学整合之路，走传统教 学与现代教学整合之路
“青浦经验”
循序渐进 小步快进 讲练结合
小步走、小转 弯、小坡度—— 新授课 大容量、快节 奏、高密度— 复习课
情意原理 活动原理 序进原理
反馈原理
课堂教学高要求
灵动 大气 务实
高效
什么是一堂理想的高中数学课
九连环中的数学
授课教师 赵肖东
教学过程
介绍历史 认识连环 探究规律 应用新知 反思解法 妙用连环 交流收获 引入新课 提出问题 解决问题 解新问题 提新问题 变化无穷 分享无限
1
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探究与发现类
“杨辉三角”中的一些秘密 魔术师的地毯
在探究中发现，
在发现中探究，
丰富数学知识 感悟数学奇妙
2.3、教师补充，共赏奇景
环节三：小结环节
3.1、总结收获，盘点新知
3.2、课外探究，再攀高峰
知识拓展类
互为反函数的两个函数图像之间的 关系
柯西不等式的一般形式
丰富数学知识 感悟数学奇妙
排序不等式
直线的参数方程
椭圆的参数方程
极坐标
曲边梯形
创新3.解决数学问题的方法的创新
浙江省高中数学新课程改革的实践与思考
张金 良： 浙江省高中数 学新课程 改革 的实践 与思考
浙 江 省 高 中 数 学 新 课 程 改 革 的 实 践 与 思 考
●张 金 良 （ 浙江省教育厅教研 室 浙江杭州 ３０１ ） １０２
作者 简 介 张金 良，９２年 生 ， 江 海 盐人 ， 学 高级 １６ 浙 中 教 师、 江省 特 级教 师、 育硕 士 兼 职 导 师、 浙 教 “苏步 青数 学教
悄 然发 生 变化 ．
１２ 研 读 《 程 标 准》， 清纲标 差异 ． 课 理 新 课 程在 教 材 结构 、 知识 体 系 、 学 内容 的设 计 上 ， 大 纲 教 材 有着 很 大 的变 化 ， 理科 教 学 内容 为 教 较 以 例 ： 教材 增 加 了幂 函数 、 分法 、 新 二 零点 存 在定 理 、 函数 的应 用 、 算法初 步 、 统计 案 例 、 理 与证 明 、 积分及 推 定 应用 、 生活 中 的优化 问题 举例 、 三视 图 、 叶 图 、 何 概 型 、 件 概 率 等 ， ４ 茎 几 条 约 ６课 时 ； 少 了反 函数 、 减 已知 三
・
２・
育 奖” 获得 者 、 国首届 优 秀教 育硕 士 、 江省 劳动 模 范． 全 浙 现
任 浙 江省教 育 厅 教 研 室 高 中数 学教 研 员 、 江 省 普 通 高 中 浙 新 课 程 实验 数 学 专业 指 导 小 组 组 长、 江 省 教 育 学会 数 学 浙
教 学分会副理事长． 出版《 三角函数》 编著 ｌ ， 部 主持或参与 国 家、 、 省 市级 研 究课 题 １ ０项 ， 省 政府 基 础教 育教 学成 果 获 奖 １ 主编合编《 项， 普通 高中数 学新课程 案例研 究》 《 、 成人 高中数 学教材》 专业 书刊 ３ Ｏ余册 ， 数 学通报》 杂志公 在《 等 开发表 论 文 ８ ０余 篇 ， 主要 从 事 高 中数 学教 育研 究．
浙江省高中数学新课程骨干教师省级培训方案
浙江省高中数学新课程骨干教师省级培训方案依照教育部《关于2006年推动一般高中新课程实验工作的通知》（教基厅[2005]19号）的要求，我省一般高中自2006年秋季一年级开始进入新课程实验。
为切实做好第一时期的实验工作（指2006年秋季入学到2020年毕业学生的一般高中新课程实验），保证我省一般高中数学课程改革的顺利实施，依照省教育厅、省课程改革领导小组有关要求，特制定本培训方案。
一、工作思路1．教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量，是新一轮一般高中新课程改革的主力军。
各级教育局、教研机构、师范院校应一起协作确保全部实验教师在同意通识培训的基础上开展相关学科的培训。
培训工作“到边到底”，每所一般高级中学均有人参加省级培训。
2．创新培训方式，提高培训成效。
踊跃探讨“专家指导+行政领导+学校实施+学科骨干探讨+教师实践”的数学课改组织支持系统。
数学培训提倡参与互动和基于课堂案例的培训，围绕教师迫切需要解决的问题，深切探讨，讲求实效；通过聚焦课堂，把课程理念转化为课堂教学行为，探讨以课堂为平台的培训模式。
3．比较研究新老教材的转变和不同版本教材的优化，把握教材的编写思路和体系，探讨各模块教学的实施策略和有效教学方式。
二、培训目标1．了解高中新课程实验的意义，深切领会高中新课程改革方案的精神，树立与新课程相适应的课程观、教学观、学生观、学习观、评判观，提高课程改革实验责任感。
2．通过对高中新课程标准的解读与学习，使实验教师了解高中数学新课程的特点、转变及进展趋势，进一步把握高中数学新课程的性质、大体理念、课程目标、课程内容、评估标准等内容。
3．通过学习和研究《浙江省高中数学科实施意见》、《浙江省高中数学科教学指导意见》，使实验教师明确高中数学教学目标定位，领会浙江省新一轮高中数学课改的用意和要求。
4．通过对高中数学实验教材培训和案例分析，使实验教师领会实验学科教材的体系结构、编写用意、教学要求、模块分派和教法特点，改良教学方式，实现高中数学教学的高效率与高质量。
关于当前高中数学教学的若干思考
要求：所选的基本问题应具备有针对性低起点性、 要求：所选的基本问题应具备有针对性低起点性、 解答多样性及引申和拓展性.也就是说选作基本问 解答多样性及引申和拓展性 也就是说选作基本问 题的题目,要针对复习目标 难度不宜过大,而且有多 要针对复习目标,难度不宜过大 题的题目 要针对复习目标 难度不宜过大 而且有多 种解法,解法与解法之间有明显层次 解法与解法之间有明显层次。 种解法 解法与解法之间有明显层次。
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3、加强自主学习、注重能力培养 、加强自主学习、 研究考试说明，明确方法、 研究考试说明，明确方法、明确能力要求 周未夜自修还给学生， 周未夜自修还给学生，一半讲一半训练 第一轮知识带动能力， 第一轮知识带动能力，第二轮能力带动知识
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4.注重讲评方法，提高讲评效益 注重讲评方法， 注重讲评方法 具体做法：首先让学生自己进行试卷分析，从“ 概 具体做法： 首先让学生自己进行试卷分析， 念不清、知识遗忘、运算错误、粗心大意、 念不清、知识遗忘、运算错误、 粗心大意 、策略不 逻辑混乱”六个方面去总结失分原因， 当、 逻辑混乱 ”六个方面去总结失分原因 ，矫正错 比较实际得分与应该得分的差距，建立“ 误， 比较实际得分与应该得分的差距，建立“错题 档案” 其次教师从解题的策略、思维的层次、 档案 ”，其次教师从解题的策略 、思维的层次、 题 目的类型、知识点的分布等方面去讲评，指出学生 目的类型、 知识点的分布等方面去讲评， 解题过程中根本性的失误， 解题过程中根本性的失误，着力解决学生解题中常 犯的“会而不对，对而不全，全而不美” 犯的“会而不对，对而不全，全而不美”的毛病。
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第二轮复习定位：巩固、完善、综合、提高. 第二轮复习定位：巩固、完善、综合、提高.
浙江省教育厅关于印发《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》的通知
浙江省教育厅关于印发《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》的通知文章属性•【制定机关】浙江省教育厅•【公布日期】2006.04.05•【字号】浙教基〔2006〕60号•【施行日期】2006.04.05•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育正文浙江省教育厅关于印发《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》的通知浙教基〔2006〕60号各市、县（市、区）教育局：按照教育部部署,我省将从2006年9月起进行普通高中新课程实验。
为切实做好第一阶段的新课程实验工作，保证课程改革顺利实施，根据教育部《基础教育课程改革纲要(试行)》、《普通高中课程方案(实验)》等文件精神，结合我省实际，我厅制定了《浙江省普通高中新课程实验第一阶段工作方案》（以下简称《工作方案》）。
现将《工作方案》印发给你们，并提出以下意见，请一并贯彻落实。
一、高度重视，提高认识。
普通高中课程改革是基础教育的一次深刻变革，涉及面广，任务重。
各地各校要高度重视，组织广大教育行政干部、教学研究人员、教育科研人员和普通高中校长、教师深入学习《工作方案》，进一步提高对普通高中课程改革目的、意义的认识，增强参与高中课改的主动性和自觉性。
明确高中新课程的目标、内容和结构，正确把握新课程实验的实施程序和管理要求，为启动高中新课程实验工作做好充分准备。
二、积极稳妥，务实创新。
各地要坚定改革方向，因地制宜，有序推进。
要调动各方面的积极性，努力创造各具特色的实践经验。
要加强研究新课程实验中出现的新情况和新问题，积极探求做好实验工作的有效方法，保持正常教学秩序，努力减轻学生课业负担。
要加强师资培训，坚持“全员培训”和“先培训、后上岗；不培训、不上岗”的原则，认真完成每一位教师的岗前培训任务。
三、加强领导，保障落实。
各地要加强对普通高中新课程实验工作的领导，统筹组织协调做好本地区新课程实验工作。
要积极争取当地政府的重视和支持，进一步改善办学条件，充实完善图书、仪器、设备和用房，根据需要设立普通高中新课程实验工作专项经费，保障普通高中新课程实验工作顺利进行。
怎样才能学好高中数学--张金良
怎样才能学好高中数学张金良要想取得学习上的成功，理想、勤奋、毅力、方法四个条件缺一不可。
理想是力量的源泉，勤奋是取得成功的前提，毅力是克服困难的关键，方法是学习的金钥匙。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
下面笔者结合自己多年来的教学实践和体会，谈谈数学学习的若干方法。
一、循序渐进，打好基础著名数学家陈景润说：“我觉得在学习上没有捷径好走，也无‘秘诀’可言，要说有，那就是刻苦钻研，扎扎实实打好基础，练好基本功……，要打好基础，循序渐进。
”前头没有弄懂，则无法前进，这犹如登塔，只有一步一上，才能到达光辉的顶点。
在数学学习过程中，不断抽象是数学学科的特点之一，学习时，会不断碰到新的抽象概念，因此学习数学首先要弄清楚一个个概念，否则脑子里难免是一盆浆糊，结果越学越糊涂，无法进行后续学习。
数学知识一般是从一些基本的概念出发，按照一定的逻辑顺序展开的，学习当前所讨论的内容，需要有先前知识为基础，现在学习的内容，又是后续学习知识的基础，前面学得扎实，后面就能顺畅，否则知识链就会断裂。
数学的系统性和连贯性规定了数学学习必须循序渐进，打好基础。
那么怎样循序渐进，打好基础呢？1、必须重视数学基本概念、基本定理（公式、法则）的学习。
要在理解上下功夫。
数学概念是数学学习的核心，数学的判断、推理都是建立在概念的基础上的，数学定理揭示的是几个概念之间的关系。
数学概念和定理是我们解决数学问题的出发点和依据，所以打好基础，首先在概念上下功夫，如何“下功夫”呢？关键在“理解”二字。
对概念的理解必须准确地掌握它的内涵、外延，能脱离课本用自己的语言准确地叙述它。
能否用自己的语言来归纳出概念要点、能否对抽象概念用具体例子来阐明其确切含义，是检验我们是否真正掌握概念的标准。
例如函数的奇偶性定义、周期函数概念、椭圆、双曲线定义等等，许多同学觉得听得懂、看得懂，但脱离了书本，再复述一下就不那么自如了，甚至漏洞百出。
对定理学习，要懂得它的含义、成立的条件和使用的范围，能理出定理证明的思路，能抓住证明的关键。
把握课改方向 凸现会考功能——浙江省2009年高中数学新课程会考简析
５％ 一 ｏ ０ ６ ％的学 校 有 ６所 ，０ ～ ０ 的 学 校 有 ６ ４ ％ ５％
所 ，０ 一 ０ 的学 校有 ５所 ． ３ ％ ４％
从上面的一些数据可以看出， 不同的县市区之 间的高中数学教学水平相差较大 ， 尤其是优质教学 的资源相差较大． 不 同县 市区的平 均分 和 等 从 率比例来看 ， 浙江省的高中数学教学的现状差异较
涉及必修 ｌ 至必修 ５ 选修 系列 Ｉ 、 Ａ各 章节 ， 并对
重 点 章节 进 行重 点考 查．
大， 因而 ， 加强师资队伍的培养， 重点扶持薄弱学校
的发展是我们今后教研工作要 十分重视 的一个课 题 方 向． ２ 试 卷特 色
（） ４ 试卷在难度控制上遵循 了《 学科 教学指导 意见》 中的基本要求和《 会考标准》 整卷难度要求 ． 适当 ， 符合学生 的实际水平． 试题 命制上注重既 在 来源于课本 ， 又重视创新． 卷在能力要求方面既 整
第 ７期
张金 良， ： 等 把握课 改方 向 凸现会考功能
把 握 课 改 方 向
— —
凸 现 会 考 功 能
浙 江省 ２ ０ ０ ９年 高 中数学新课 程会 考简析
●张金 良 （ 浙江省教育厅教研室 浙江杭州 ３ ０２ ●王小 红 （ １ １） ０ 绍兴市教育教学研究院 浙江绍兴 ３２０） １ ０ ０
ｌ 的县市 区 中 ， 兴 占 ３个 ， 波 占 ３个 ， 华 Ｏ名 绍 宁 金
占 ３个 ， 兴 占 １ ． 嘉 个
卷既突出了基础性， 又重视数 学 能力 的考查 ， 注重 数学思想方法的考查 ， 对高中数学教学有较强的导 向作 用 ． 整份 试卷 主要 有 以 下特 色 ： （） １ 试卷命 制 突 出有 效 性 和技 术 性 原 则． 题 试 内容效度高 ， 注重试题 的思维含量 ， 鼓励学生创新 ， 发展个性、 发挥创造性 ， 切实减轻学生负担． 试卷结 构简约、 合理 ； 题量 、 题型、 题值 、 题序 的设计与编制 合理 ； 试题 的难度分布与区分度适宜 ， 信度较高． （ ） 卷 在 结构 上 变 化 较 大 ， 卷 Ｉ、 Ⅱ两 ２试 分 卷 部分 ， Ｉ 卷 为选 择题 ， 择 题 增 加 到 ３ 选 ０题 ， 满分 ７ ０ 分； Ⅱ 卷 为非选择题 ， 其中填空题 ５题 ， 满分 ｌ 分 ， Ｏ 解答题减少到 ３题 ， 满分 ２ ０分 ， 全卷满分 １０分． ０ 选择题的第 ２ ～ ０ ７ ３ 题采用文 、 理科分叉形式． 对于 分叉 的试题 ， 力求 既关 注 文科 与 理科 学 生在 学 习 内 容上 的差异 ， 又体现水平考试 的公平性． 在试题形 式 上 力求 图文 并 茂 ， 为考 核 学 生 多 种 能 力 提 供 载 体 试卷 能根据会考标准要求命题 ， 型、 题 题量、 分 值与会考标准一致 ， 格式规范． （ ） 卷在 知识 点 的分 布 上 ， 持 全 面 与 重 点 ３试 坚 结合的原则 ， 既突出主干知识考查 ， 又兼 顾知识点 的 覆盖 面． 份试 题共 ４ 本 ２题 ， 查 知识 条 目 ５ 考 ５个 ，
数学名师成长的密码--浙江省高中数学教研员张金良访谈录
谢：这也说明了教师的成长离不开团队的合作和 同伴的帮助. 一个好的教师团队是课改路上最强大的 助推石. 资深的教师可以在思想上、教学上、科研上 对青年教师进行全面指导. 同时，青年教师的新思 想、新观念也可以滋养、推动课程改革. 无论是专家
陆：实践证明，高观点下的课堂教学的确能给学 生的思维发展带来很大的空间，是值得提倡的教学路 径，亦是中学教师应该具备的基本素养. 我们好奇的 是，您是如何提高自身的教学能力的？又是如何推动 浙江省的数学教育改革的？
张：无论是在一线工作，还是后来调到省教研 室，我都一直坚信“教而不研则浅，研而不教则枯”， 教学科研是学校可持续发展的不竭动力. 课程改革中 出现的许多新问题、新情况，需要教师去研究、去思 考，通过教科研活动可以很好地促进教师的专业成长. 在一线工作的22年里，我意识到教师的知识面肯定是 要比学生的知识面大的，这也就是以前说的“想要给 学生一杯水，教师要有一桶水”. 但是，随着时代的发 展，学生对知识的需求并不满足于“一杯水”，教师要
关键词：数学教师成长；高观点；教研融合；团队互助
教师是高品质教育的基本保障. 数学课程改革的 不断深化对教师的专业素养提出了新的要求，教师的 成长也面临着极大的挑战. 揭秘数学名师成长的密 码，对各个成长阶段的数学教师而言都具有借鉴意 义. 基于这样的目的，我们对浙江省特级教师、正高 级教师、省高中数学教研员张金良老师进行了访谈， 试图从他的个人成长中寻找名师成长的密码.
浙江省教育厅办公室印发省课改领导小组办公室关于普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见的通知
浙江省教育厅办公室印发省课改领导小组办公室关于普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见的通知文章属性•【制定机关】浙江省教育厅办公室•【公布日期】2008.05.09•【字号】浙教办基〔2008〕79号•【施行日期】2008.05.09•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育正文浙江省教育厅办公室印发省课改领导小组办公室关于普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见的通知浙教办基〔2008〕79号各市、县（市、区）教育局：为进一步做好我省普通高中新课程实验第一阶段工作，省课改领导小组办公室制订了《普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见》。
现予以印发，请研究执行。
浙江省教育厅办公室二〇〇八年五月九日普通高中新课程实验第一阶段有关工作实施意见一、关于课程设置与实施（一）各地各学校在执行《浙江省普通高中新课程实验第一阶段课程设置意见》时，要适当减少高一年级并开科目，严格控制周课时，高三年级上学期仍应以新课教学为主，不得过早结束新课；要保证所有学生每学年在体育与健康、艺术、综合实践活动等学习领域和选修Ⅱ中都获得一定学分；要注意课程设置与会考、高考方案的衔接。
（二）从2008级开始，全省普通高中人文与社会学习领域中的一门学科调整到高二开始开课，高一的周课时不超过31课时（含选修Ⅱ1课时）；高二的周课时不超过34课时（含选修Ⅱ1课时）。
具体调整方案由各市、县（市、区）教育行政部门在征求学校意见后制定。
（三）学校可以在征得主管教育行政部门同意后，自行调整信息技术和通用技术学科的开课顺序，自行确定选修IA、IB模块的开课时间和顺序。
学校要积极创造条件，逐步加大选课、走班的力度，选修IB模块必须充分尊重学生的选择，高二年级和高三年级上学期学生“走班”每周不少于两个单位时间。
要积极探索学生跨校选修或在社会教育机构中学习的组织形式。
（四）各学科的“教学指导意见”是把握教学要求、评价学业水平以及高考命题的重要依据，各地各学校要认真研究执行，以进一步规范教学行为，努力减轻学生的课业负担。
坚持教材主线灵活选取素材(湖州)
坚持教材主线灵活选取素材湖州市吴兴高级中学严惠峰背景：省教研员张金良老师在《中学教研（数学）》（2007．5）的论文《领会教材内涵教活课标教材》中提到我们人教A版教材特色鲜明，十分注重数学思想方法的渗透、注重普遍联系、实际应用．实验后得到了广大实验教师的认可．在教学时要对照《课标》、《省教学指导意见》，要树立用教材教数学，而不是教教材的理念，进行边教边研究，实现创造性的使用教材．事实确实如此，教师应该是“用教材教而不是教教材”．一方面，我们既不能对教材大刀阔斧的改，把教材提供的素材抛到一边而另行设计，因为教材毕竟是在国家课程标准目标指导下经过一些资深的教育专家编写出来的，反映国家对培养人才规格的要求，具有很强的科学性，是实施教学活动很好的载体．同时，也不能照本宣科的教，要在深入分析教材、了解编写意图的基础上创造性地使用教材．我们知道，再好的教材也会有不够完善的地方，也有需要改进、调整、重组的地方．要结合社会、学校、学生等方面的情况进行创造性地使用教材．下面是笔者在使用教材的过程中对教学素材的一些处理与大家分享，不妥之处请指正．一、选取素材的原则1．含有一定的数学信息和数学价值所含着的数学信息与本节课教学目标密切关联，有助于本节课教学目标的落实．2．具有一定的时代信息和生活实践价值这是新课程理念赋予素材新的要求,数学新课程的基本理念之一“人人学有价值的数学”,所谓“有价值”就是对解决现实生活中的问题有作用．素材的选择要让学生体会到这种价值，享受这种价值．所以所选择的素材应该是社会生活中常见的具有一定代表性的事例．这样的事例要能让学生在处理富有现实意义的问题中学会用数学的思维去思考现实生活中的问题，用数学的方法解决现实生活中的问题，进而形成勇于探索，勇于创新的科学精神，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、必要的应用技能和实践经验．3．含有一定的思想教育信息和思想教育价值数学是一门科学，也是文化．是文化就有它的教育功能，所以数学课堂教学在让学生发现数学知识，形成数学技能的同时，也要受到思想熏陶，帮助学生形成正确的价值观、人生观．二、选取素材的途径1．巧用教材素材，使教学内容更精彩人教A版教材中素材的选取，充分考虑学生的心理特征和认知水平。
把握数学问题本质提高课堂教学立意
把握数学问题本质提高课堂教学立意张金良【摘要】通过鲜活的典型案例，从深刻领会数学问题所内隐的数学概念等五个不同的角度阐述了如何把握数学问题本质，提高课堂教学立意，期待着广大一线教师能深度理解数学问题，看清问题的本质，高观点地开展数学课堂教学，从而实现数学教学的轻负担、高质量。
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】4页(P2-4,16)【关键词】问题本质;教学立意;教学质量【作者】张金良【作者单位】浙江省教育厅教研室【正文语种】中文众所周知，数学教学无论采取何种教学方式，教学时都力求深入浅出，尽可能将问题的本质揭示给学生，使学生看清本质，深刻领会，达到深度理解.然而，在现实的课堂教学中，部分教师对数学的理解不到位，以致于面对复杂的数学问题，无法透过现象看清本质，不能将问题所蕴涵的数学思想方法及内在的知识关联进行有效的揭示，从而在课堂教学时出现了浅入浅出、效率低下的现象.俗话说，教师跪着教，学生就爬着学，教师的高度，影响着学生的高度.为了让教师站到应有的高度去教，本文通过鲜活的典型案例从五个不同的角度阐述了如何把握数学问题的本质，提高课堂教学立意，从而高观点地开展数学课堂教学，实现数学教学的轻负担、高质量.一个好的数学问题常常有着丰富的内涵，尤其内隐着深刻的基本数学概念，教学时要抓住问题的本质，揭示数学概念.例1 存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）.（A） f（sin2x）=sinx（B） f（sin2x）=x2+x（C） f（x2+1）=|x+1|（D） f（x2+2x）=|x+1|此题是浙江省2015年高考题，学生的答题普遍采取以下方法.解：令x=0，可知 f（sin0）=sin0， f（0）=0.再令可知 f（0）=1，矛盾，所以选项A错误.同理可知，选项B错误.再取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0，矛盾，所以选项C错误.令t=|x+1|（t≥0），所以 f（t2-1）=t（t≥0）.所以符合题意.所以选择选项D.该解法通过赋值判断，获得正确选项，其解答当然是正确的，但从高观点的角度来看，解法还没有优化，解题的立意尚可提升.稍作观察，可发现此题的四个选项均为复合函数，而两个函数复合时，其周期性、奇偶性具有一定的不变性，当里层函数为周期函数时，复合函数也为周期函数且周期保持不变，这样同时排除了选项A和选项B；当里层函数为偶函数时，复合函数也为偶函数这样排除了选项C，于是答案选择选项D.这样解题把握了题目的本质，也揭示了题目的真面目，很显然该解法更胜一筹，这样的案例举不胜举，教师要善于发现.例2 在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上异于点A的两个点，现沿EF将△AEF折起，记AC与平面BCD所成的角为θ1，AC与EF所成的角为θ2，试比较θ1与θ2的大小.此题矩形等条件是非本质的，根据线面角定义时的最小性，显然有θ1小于θ2.许多数学问题通常从某一几何关系出发编拟而成，教学时理应将最本质、最核心的几何关系呈现给学生，使学生一目了然.例3 如图1，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点M的轨迹是（）.（A）一条线段（B）一段圆弧（C）抛物线的一部分（D）一个平行四边形此题是浙江省2015年学业水平考试题，难度系数为0.2，也是浙江省课堂教学评比时教师说题题目，从教师现场说的解法看，大多数人这样证明.证明：如图2，过点E作AB的平行线交BC于点G，连接EG，GF，取GF中点N，EF中点M，连接MN，得为定值.由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条线段.此为一个不错的解法，只可惜教师无法刻画此题的本质.事实上大家细心观察后，就会发现该题设的四棱锥、底面为平行四边形、AE=2BF是非本质的，抽象后的核心问题是点E，F分别是异面直线AD，BP上的动点，且AE=λBF线段EF中点M 的轨迹为一直线，证明方法相同.证明：如图3，过点B作BG平行AD，过点E作EG平行AB交BG于点G，连接GF，取GF中点N，连接MN，得为定值.因为在平面BPC上，BG=λBF，所以由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条直线.例4 已知a≥b≥c＞0，a+b+c≤1，求证：a2+ 3b2+5c2≤1.此题是一个代数不等式，证明有一定的难度，其中的一种证法如下.证明：由题意（a+b+c）2≤1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤1.因为a≥b≥c＞0，所以ab≥b2，bc≥c2，ca≥c2.所以a2+3b2+5c2≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤1.若教师教学时仅仅给出证法了事，就难免遗憾.事实上深入分析，就会发现问题的本质是在边长为a+b+c的正方形的边上，分别截取长度为a，b，c的九个矩形中，切出九个如图4的正方形，依据图中的面积关系显然有：a2+3b2+5c2≤（a+b+c）2，因为0＜a+b+c≤1，所以a2+3b2+5c2≤（a+b+c）2≤1.高等数学与中学数学是承接关系，是共同发展的关系，许多初等数学无法解释的问题都能在高等数学中找到答案.因此，高等数学思想的渗透能更好地解释许多中学数学问题.目前，以高等数学背景编拟的问题层出不穷，教师在教学时应高屋建瓴，力争注意挖掘问题的高等数学背景，阐明高等数学与初等数学之间的联系，刻画出问题的本质.例5 已知函数设正实数k，使得对任意的x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．此题是北京市2015年高考题，也是浙江省课堂教学评比说题题目，一半的教师通过构造函数然后求导分情况讨论，最后求得k的最大值为2，但说题教师却不知2的来历，也不知道题目所隐含的泰勒展开公式.事实上，当x∈（0，1）时，例6 已知 f（x）=x2+px+q，求证：|f（3）|至少有一个不小于这是一道广为流传的经典试题，常见证法将f（1），f（2），f（3）用p，q来表示，消去p，q，得 f（1）+f（3）-2f（2）=2，最后两边取绝对值后用反证法完成证明.然而，上述处理是一种反表示或消参法，若将题目推广成一元三次函数或更高次函数我们就不那么容易处理.观察 f（1）+f（3）-2f（2）=2，在等式两边同除以2并整理，得试问 f（1），f（2），f（3）的系数有何规律？要回答这一问题，我们必须达到一定的高度.现在我们从高等代数的角度来俯视该题，容易发现拉格朗日插值公式可以解开我们的疑惑.记由拉格朗日插值公式，得比较等式两边x2项系数，得所以很显然，利用拉格朗日插值公式，已不难发现问题的本质，对一般的 f （x）=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an情形，仍可用拉格朗日插值公式，可证得至少有一个不小于波利亚十分强调做完题目后要反思回顾，若教学时经常反思回顾就能看清题目的来龙去脉，分辨出题目的“源”与“流”，从而把握问题的本质.例7 如图5，已知点P（1，3），Q（1，2）.设过点P的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D.记直线AB，CD的斜率分别为k1，k2.当k1≠2时，是否为定值？若是，求出该定值.此题是浙江省2015年学业水平考试题，有一定的难度，学生做后并不清楚题目的“源”，事实上此题由以下的一个典型结论演变而成.命题：已知点P（a，0），Q（b，0）.设过点P的动直线与抛物线x2=y交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D．记直线AB，CD的斜率分别为k1，k2.则的定值.研究了该题的“源”后，还可进一步探究题目的“流”.例如，将抛物线换成椭圆是否有类似结论等.数学知识常常是一环扣一环，紧密相连，教学时切忌就事论事，囫囵吞枣，要充分揭示知识间的普遍联系，达到“做一题、通一片”的效果.例8 如图6，正方形ABCD的边长为动圆Q的半径为1，圆心在线段CB（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），求m+n 的最大值与最小值？这是一道典型的平面向量基本定理应用题，也是基向量应用题，点P的可行域为两个半圆与一个矩形组成，求解方法既可以建立直角坐标系，利用线性规划破题，也可以运用平面向量基本定理，借助几何意义直接破解，还可以转化为（点O为正方形ABCD的中心）数量积后简化破题，下面给出较为常见的等值线法.当点P在直线BD上时，由得 m+n=1.由此，过点P作BD的平行线l，当l向上平移时，m+n增大；向下平移时，m+n减少，当点Q与点C重合，且点P为圆Q与AC延长线交点时，m+n最大值为3.同理，当点Q与点B重合时，直线l与圆Q相切且过点A时，最小值为0.等值线揭示了平面直角坐标系中线性规划问题在斜坐标系中的推广，教学中可类比直角坐标系揭示此题所内隐的知识链.例如，如图7，设（x，y为实数），l1∥l2∥l3∥l4∥l，则当点P在l1上时，x+y＞1；当点P在l2上时，0＜x+y＜1；当点P在l3上时，x+y=0；当点P在l4上时，x+y＜0.甚至可进一步揭示点P在其他区域内变化时x+y的取值范围，以及ax+by型的取值范围，只有这样学生对所学的知识才能融会贯通，深度理解，最终实现轻负担、高质量的教学目标.【相关文献】［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.。
核心素养观下的高级中学数学课堂教学活动变革
核心素养观下的高中数学课堂教学变革——记浙江省名师工作室首期“名师面对面”线上直播活动为了更好地理解数学核心素养，交流数学核心素养如何在高中数学课堂中落地生根，进一步提升工作室成员的水平甚至浙江省数学教师的水平，“张金良名师网络工作室”于2017年4月15日举行以“核心素养观下的高中数学课堂教学变革”为主题的“名师面对面”第一期线上直播活动。
此次活动邀请了首都师范大学教授博士生导师教育部《高中数学课程标准》研制组副组长王尚志、浙江省高中数学教研员特级教师“张金良名师网络工作室”主持人张金良老师、杭州市数学教研员杭州市学科带头人“张金良名师网络工作室”指导老师王红权老师等三位特聘专家，由工作室成员江琦老师主持。
本活动在有如芝兰之室的杭州市下城区百井坊巷95号漫书咖进行，现场与会代表有21人包括幸运嘉宾5人，线下收看直播并参与互动的达到上百人。
本次活动就四个话题：数学核心素养的缘起、“核心素养”与“双基”“三维目标”之间的关系、如何理解数学核心素养、如何培养学生的数学核心素养，展开交流讨论并直播。
这其中既有专家的解读、分析和指导，又有专家与现场代表、网络代表之间的“面对面”交流讨论、甚至还有三位特聘专家之间的“面对面”交流与碰撞，让现场教师和网上收看的教师解开了心中的疑惑，得到了如何在高中数学课堂中落实及提升核心素养的方式方法的启迪。
首先简明扼要地介绍了各方面各教育专家对数学核心素养的定义及理解。
一起回顾了近代我国数学教学理论的发展过程：从注重“双基”（基本知识和基本技能）的教学，发展到注重“四基”教学（在“双基”的基础上增加基本思想方法和基本活动经验）。
在这新一轮基础教育课程改革实施中，新的思潮和观点不断涌现，其中影响较大的，一是素质教育的口号，二是情感态度价值观的培养（三维目标）。
然而，素质教育和情感态度价值观是较为宏观的概念，如何使其落到实处，便于操作，易于实施呢？学科核心素养的提出很好地解决了这个问题。
浙江省高中数学课程改革方略(浙江省教育厅教研室：张金良)
三、浙江省高中数学
课程改革基本方案
普通高中课程结构
领域
语言 与 文学
数 学
人文 与 社会
科 学
技 术
体育 与 健康
艺 术
综合 实践 活动
语 外 数 政历地 物 化 生 通 信 用息 科目 文 语 学 治史理 理 学 物 技 技 术术
模块
（系列、专题）
体 育 美音艺 与 健 术乐术 康
综 合 实 践 活 动
实用性最差的 政治、历史、美术、数学
二、浙江省高中数学课 改的前期准备
（一）参观学习、制定改革方案
浙江省高中数学教师实施新课程教学适应性的分析
（1）准备阶段 2005年10月至2005年12月15日，查阅文献，编写调查问卷。 （2）实施阶段 2005年12月15日至2006年1月10日，成立课题研究小组。 2006年1月10日至2006年1月20日，问卷调查。 问卷调查分别由各大市教研员负责，共发出调查卷4000份， 回收3500份，有效问卷3489份。 2006年1月20日至2006年2月10日，数据处理与分析。 2006年1月20日至2006年2月28日，个别访谈。
系 系 列 列 3 4
选修系列1 选修1-1：
常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；
导数及其应用。
选修1-2：
统计案例；推理与证明；
数系扩充及复数的引入；逻辑框图。
选修系列2
选修2-1：
常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；
空间向量与立体几何。
选修2-2：
导数及其应用；数系的扩充与复数的引入。
选修2-3：
计数原理；统计；概率。
美国——始终走在改革的前列
英国——为所有学生提供有效的学习机会
研究新教材,教好新教材 高中数学
(五）重视了数学建模与数学探究
任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，有两点间的距离公式
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
1 − cos( − ) +sin²(α－β)=(cos β－cos α)²+( sin α－sin β)²，
化简得
cos(α－β)=cos α cos β+sin α sin β．
=tan α (x≠0)．
“终边上点的“坐标比”定义三角函数能 够表现出从锐角三角函数到任意角的三角 函数的推广，有利于引导学生从已有认知 基础出发学习三角函数，但它对准确把握 三角函数的本质有不利影响。”
优点：在最近发展区开展教学； 缺点：不利于把握三角函数的本质
初中锐角三角函数与 高中的任意角三角函数是一回事吗？
2021年2月27日星期六9时 2分52秒
➢ 内容结构与课时
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思考：“预备知识” VS “衔接教学” ?
问题二：哪些是初中学过但中考不考的？哪些是高中不教但会用到的？
十字相乘（含字母）、因式分解（三次以上）、韦达定理、 分式不等式、高次不等式、含字母的二次方程和不等式的求解问 题（分类讨论）、二次方程的根的分布问题、与二次不等式有关 的恒成立问题、二次函数在闭区间上的最值问题…………
二次衔接
(三）经典内容赋予了新的内涵，更利于学生的学与老师的教
高中数学创新题编制的几个入手处
n
∑ 3，…，n，则 -1 ≤ 3ai - 4a3i ≤ 1. 令 ai = 0 ，可得如下
i=1
题目.
n
∑ 已知 ai ∈ [-1，1]，i = 1，2，3，…，n ，且 ai = 0，
i=1
∑ 求证：
| ||
n i=1
a3 i
| | |
≤
n 4
.
这样的案例不胜枚举，不妨试试.
例如，在正切的二倍角公式
（C） f (x2 + 1) = | x + 1| （D） f (x2 + 2x) = | x + 1|
学生不知道试题的来源，大多数使用换元思路或 赋值法求解，却不知道通过概念判断便一眼望穿答案 是D. 这是从概念入手编制的一道创新题，倍受好评.
2019年杭州高三一模也采用此手法，假设函数 f (x)
工成试题，以2019年为例，试题如下.
设三棱锥 V - ABC 的底面是正三角形，侧棱长均
相等， P 是棱 VA 上的点 （不含端点）. 记直线 PB 与 AC
所成角为 α ，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 β ，二
面角 P - AC - B 的平面角为 γ ，则 （ ）.
（A） β < γ，α < γ
（B） β < α，β < γ
（C） β < α，γ < α
（D） α < β，γ < β
收稿日期：2019-07-25
基金项目：中国教育学会“十三五”教育科研重点立项课题——基于高中数学核心素养的教学设计和测评 （1711140639A）.
作者简介：张金良 （1962— ），男，中学高级教师，浙江省特级教师，全国第七届“苏步青数学教育奖”获得者，主要从事 高中数学教育研究 .
解密数学运算,探求教学策略
2019年第11期故事故学11-1解密数学运算，探求教学策略张金良(浙江省教育厅教研室，浙江杭州310012)数学运算是我国数学教学的传统目标之一，与逻辑推理能力、空间想象能力一起被称为“三大能力新课标修订稿依然重视学生运算能力这一目标，确立了数学运算是六大数学核心素养之一，这是传承中国数学教育传统的具体体现.然而，在当前的数学教学中，人们对数学运算的重视程度远不如从前，总觉得“思想方法”比较高大上，认为计算方法、计算能力可用计算机（器）替代，从而削弱这方面的教学要求，学生如此，老师也如此.根据笔者十多年参与高考数学浙江卷阅卷时所掌握的情况看，目前我省学生的数学运算能力依然偏弱，对大多数同学而言，如何快速、准确地得到运算结果依然有困难，“会而不对”的问题尤为明显.究其原因是多方面的，既有“外部环境”的因素，也有自身的因素.从学生学习的社会环境来看：(1)初中课改削弱了运算要求（十字相乘 法、因式分解等代数恒等变形、韦达定理、平面几何等）；(2)计算器的广泛运用削弱了运算意识；(3)教师抓运算的意识淡薄，教学力度不 够，缺乏示范.从学生自身的学习来看：(1)概念模糊不清导致运算失误；(2)定理、公式、法则记忆不准确,使用的限制范围不清楚；(3)代数恒等变形不熟练,运算过程缺少 依据；(4)算法意识缺乏，算理不清，对运算缺乏检验、反思；(5)数学语言不过关，导致阅读能力差，运算无从下手；(6)读图、识图能力差，大数据处理能力差；(7)学习习惯差，审题不仔细，书写不规范，表达能力弱•所以，在提倡培养学生“核心素养”的今天，重提“数学运算”非常有现实意义.1数学运算的内涵及其意义运算是根据数学法则对量（或数）进行代换或变换求出表达式结果的过程.数学运算则是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.具体地讲，数学运算包括数字的计算、估计和近似计算，对式子的组合与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解等.常见的运算有实数运算、指（对）数运算、复数运算、集合运算、初等函数运算、向量运算、极限运算、微分运算、积分运算，概率统计运算及方程与不等式的同解变形、变换等.每一种运算都遵循各自的运算律，如结合律、交换律，分配律等.数学运算本质是集合间的一个映射，数学运算素养是“运算能力”基础上的继承和发展，是开展其他数学学习的基础.从心理学的角度来看，数学运算是学生在有目的的运算过程中，能够正确的、合理的、灵活的完成运算并影响运算效果的个性心理特征.运算能力作为素养的重要表现形式主要在这三个方面体现：一是在分析运算对象、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能中国教育学会“十三五”教育科研重点立项课题《基于高中数学核心素养的教学设计和测评》，编号1711140639A .11-2故学故学2019年第11期力上;二是理解运算的算理并快速准确地进行运算；三是对运算的结果能够做出分析判断，并对问题进行推理和探求.简言之，运算能力体现在运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性 上.其中运算的合理性表现在运算要符合算理、符合运算目标、符合简便的途径，是运算能力的核心;运算的准确性是要求学生依据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算.在运算过程中使用的概念、公式、法则 要准确无误，表达结果准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误.运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求.换个角度看运算能力应具有层次性、综合 性、思想性.所谓层次性是指：不同类别的运算 是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的，比如实数运算是有 理数运算发展而成；不掌握整式的运算，就不 可能掌握分式的运算；不掌握有限运算，就不 可能掌握无限运算；没有具体运算的基础，抽 象运算就难以实现.因此对运算的认识和掌握是拾阶而上的.所谓综合性是指：运算能力既不能离开具体的数学知识孤立存在，也不能离 开其他能力独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、思维能力等数学能力相依存•所 谓思想性,数学运算是在一定的思想基础上产生的，数学运算的背后隐藏着量化思想、程序 化思想.2数学运算水平层次与评价要素《高中数学课程标准》围绕理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和形成程序化思维这四个方面对数学运算素养的水平划分为三个水平.水平1:在熟悉的数学情境中能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；该水平侧重于理解运算法则，并能正确运用，属于基本操作的运算技能层面.水平2:能够在关联情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算问题,合理选 择运算方法,设计运算程序，解决问题.该水平侧重于探究运算思路，并能正确实施，属于演 绎推理的运算能力层面.水平3:能够在综合情境中把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运 算方向.该水平在前两个水平的基础上，更强 调对程序化思想的理解以及在解决问题中对通性通法的使用[2].在现实的教学中，可从计算技能与推理两方面去评价数学运算素养.其中计算技能方面的评价要素可设为：①是否记住数学计算公式、计算法则，并能准确地运用公式和法则进行计算;②能否应用概念、性质、定理进行有关 的计算；③在进行各种数学计算时，包括数、式、方程、函数、指数、对数、三角函数、不等式、复数等结果是否准确，速度是否迅速，过程是否合理;④能否进行各种查表和使用计算器计算.推理方面的评价要素可设为：①是否合理的使用公式、法则；②运算方法和运算过程是否简捷;③能否对自己的运算结果进行检查和判断;④能否自我改正运算中的各类错误;⑤能否简化运算过程,进行“跳步”计算;⑥心算、速算、估算能力如何;⑦是否会推理计算.3培养学生数学运算能力的途径和策略3.1明晰算理、重视优化培养学生数学运算素养，必须重视数学运 算背后的算理教学，要处理好算理和算法间的关系，要让学生明白运算法则解决了“算什么”以及“怎么算”的问题，而算理则回答了“为什 么要这样算”“怎样算得好”的问题.在实际教学中应让学生经历完整的运算过程，明晰算 理，理解运算法则，在感悟“知其然，且知其所以然”中积累经验.以2019年高考数学浙江卷第20题为例谈谈具体的做法：例1设等差数列1\!的前n项和为S…，a3二4，a4二S3.数列| 6…|满足：对任意《e N*, S…+6…，S…+1+/)…，S…+2+6… 成等比数列. 求数列U…i，丨6…丨的通项公式.第一步，明确运算对象，即S...，S...+1，S (2)bn；第二步，确定运算目标，即用n来表示6… ;第三步，分析运算条件5… +6…，S…+l +6…, S…+2 + 成等比数列，S…是等差数列| a…丨前n 项和；第四步，探究运算方向，即寻找目标、对象2019年第11期 故学故学11—3和条件之间的联系，由题意知（S…+1+ 6…)2 = (5…+6…)(5…+2+6…)，下一步运算方向是将5… =^ ~n,s…+i+ r e,5n+2=n2 +3n +2^(；Sn = (n - l)n,Sn+i =n(n + l),S…+2 =( n + 1) (n+ 2)代入展开，或者是展开化简后再代入运算，两种方法难易度相差较大，若按第一种方法处理面对的是三项式平方或积，容易陷入困境，按第二种方法处理优于前者但需花费一番周折，理想的方法是第二种；第五步，确定运算方法，即比较各种运算方向，定其一种进行求解.由上分析，选择方法 二得（S…+2 + - 2S…+,)=史+1 - S…S…+2，此时是否要将S…，S…+1，S…+2三个表达式择优代人 呢？回答是否定的.这里应对的系数进行先简化 S…+2 + S… - 2S…+1 = a…+2 - a…+1 = <再运算得出乂 =4(S〖+1 -S人+2)再代人，这说明实施a运算时每一步变形都需要尽可能优化；第六步，求得运算结果并回顾检验，令n =1验证结果的正确性，许多问题可取特殊情况进行验证.上述运算中的“理”并不复杂，但操作时还 是千差万别，这里有整体思想、对称思想在起作用•又如2017高考浙江卷第17题：“已知a e R,函数/(a〇= % +----<2| + 〇在区间[1，4]上的最大值是5,求a的取值范围”，利用整体思想设x1f e[4, 5]，将问题转化成X“已知max(I f - a丨+ a)= 5.求a的取值范围”，若再利用I« - a I的几何意义可大幅降低运算 难度•3.2加强示范，讲练结合教学调研时,常常看到教师对解题思路分析得细致人微，但书写表达一笔带过，有的教师甚至一节课讲了七八个例题，既没有一个完 整的答案，也没有一个完整的板书.教师缺少示范，学生不能用数学语言进行规范书写表达•曾有椭圆与双曲线标准方程推导教学的两 节公开课，开课教师将推导过程制作在ppt上，放电影式地将推导化简过程播放一遍，转人怎 样求标准方程的例题教学之中，在笔者眼里这样的教学就错失了一次运算素养培养的良好机会，如果一些重要的定理、公式推导均采取同样方法对待，久而久之学生数学运算素养就得不到培养.事实上教材上采取移项后平方，变形后再平方这是一种通法，教学时可追问：“若直接两次平方能解吗？运算合理吗？”继续 推导椭圆标准方程的运算目标是去根号，而 V(x + c)2 + y2+ y(a: _ c)2 + y2= 2a隐含了 7(x + c)2 + y2 ,a,J{x - c)2+ y2构成等差数列，于是设+C)2 +y2= a- d,■J{x - c)2+ y2=a + (/，平方相减得c?回a代得- C)2 + y2= a - 化简得标准方a程.若学生基础较好的话，还可让学生尝试用余弦定理、勾股定理来推导.当然日常教学时仅仅示范教材例题是不够的，可选一些高考真题或好的模拟题进行训练，解析几何题是培养学生数学运算素养的好素材,下面就是一例例2已知点F(-2, 0)是椭圆f+/ = 1的左焦点，点/?(1, 〇)，过F的直线交橢圆于4、S两点，连接A/?、分别交椭圆于C、Z)两点，记直线45、CZ)的斜率分别为/c,、fc2,求证: & _ 2V2~J'本题对运算求解素养要求较大，许多学生 半途而废.常规处理是设4U,，h), 6U2, y2)，运算目标是将点C用力，y i表示，/)用 h表示，然后&用表示.解决问题时学生遇到的第一个难点是如何将C点横坐标^用h表示，许多学生列出的直线方程y =^7卜-1),并代入^+/=1，变形得（（〜-%! - 1J1)2 + 5;^)x2 - 10y b + -万卜，-1)2=0,由于不知隐含条件打丨=5 - 4,学生容易半途而 废，此时教师应介人提示学生化简成（3 -x,)a:2 -(5 -x丨+ 5；^ - 3a:丨=0,对于如何求该方程 学生可能又会产生疑惑，有经验的老师会让学生用求根公式或因式分解尝试，学生尝“苦头”11-4故学艮学2019年第11期后教师可让学生反观假设，发现^已是方程的根，于是借助韦达定理可得&代人y = y, 10 _ 1)可得 yc = v •同理％ =突破第一难点，学生遇到i - x2J - %2的第二个难点是如何化简hyc ~yD/2y,2y2);/- 3a;, 5 - 3x2x\3 - %, 3 -x j /^ 3 —%, 3 —%2，该式是一个繁分式化简，直接通分必然陷人繁难演算而失败，教师像前面那样让学生试一试，然 后对分子分母各个击破,分母用分离思想变形5 — 3^j 5 - 3x23 —x2，分子用统一思想与分离思想得；J2>i—-5 - xx j ~ x22kl(x2 + 2) 2kl(xl+ 2) ,1)，于是得丨2 =因此，教师对一些精彩的好题，要舍得进行运算示范，给学生充分的时间，对比不同解法，让学生完整地经历数学运算过程,让学生领略到“云开日出”的成就感，领略到“豁然开 朗”的意境.3.3掌握通性，学点“巧法”数学中的一些概念、性质、法则、公式是进 行运算的依据，而一些典型结论和一些常用数据又能提高运算的速度，因此教学时应让学生准确理解并牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则及使用条件，限制范围，避免出现类似于复合函数求导=,:等低级错误.必要的结论与一些常用2v2jt — 1数据需要熟记或会推导，比如1至20内的平方 数，1至10内的立方数;3、4、5, 6、8、10, 5、12、13三组勾股数；立方和（差）公式;l g2 «/5" - 1 0.3010, lg 3 «0.4771, sin 18° =—丄—,sin 15° 正方体内（外)切（接）球环4半径，正四面体的高和体积，正三角形的面积，向量中的极化恒等式，椭圆的焦半径公式，椭圆的通径长，椭圆的垂径定理（若B是椭圆22^+&=l(a>6>0)上关于原点对称的两个a〇点是椭圆上任一点，则直线/m，的斜率之积为-\)等.对学习基础好的学生可作更a高的要求，如三角形面积海伦公式，三倍角正 弦公式，正（余）弦函数的图像对称轴方程，对 称中心等.数学解题技巧是解题灵活性的表现，也直 接影响着运算的快捷程度，因此学习过程中掌 握一点小窍门、小技巧是应该的.如配方法，平 方、开方技巧，两边同除（乘）、两边取同一函数，倒数代换，1的代换，整体代换，三角代换等 应熟练使用.看到求递推数列①《…+1= + __ 1(n + \)anA+T，a' = 1，②〜=1，前者应想到先配方，再两边开方，后者倒数代换;看到求函数;y I X - 2 I值域，应想到换元或两边平方.3.4厚实功底，强化思维数学运算素养是一种综合素养的表现，与 其他素养息息相关，运算能力是数学运算素养的具体体现，其中的思维品质包括：思维的敏 捷性、灵活性、深刻性、独创性.实践早已表明：知识靠传递、技能靠训练、素养靠积淀，因此要 提升学生的数学运算素养，首先夯实基础，厚 实数学功底，再者要在运算过程中渗透函数方程思想、化归转化思想、数形结合思想及演绎推理，最后要精选一些典型的试题进行教学干预提高学生运算思维的品质.例如“已知函数/(x) = - fcc2有四个x + 2不同零点，求实数&的取值范围？”是培养学生合理变形的好素材，调研表明有的学生一上手试图通过解方程求根来确定&的取值范围；2019年第11期故事故学11-5激发数学教学兴趣的实践途径-------个教师教学成长的心路历程张昆(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000)兴趣是最好的老师，数学教学兴趣也是数学教师教学成长与专业发展的最为重要的心理内驱力.数学教学兴趣表现于一个数学教师在自己的教学实践中，对于自己的数学教学活动各方面产生积极心理倾向，一心思考着某个 数学知识点应该如何教学，产生设想,并急于将这种设想拿到班级上进行实施，由此而出现 痴迷的状态.数学教师形成了自己的数学教学兴趣，他就会沉迷于探究教学活动中，乐此不疲，充满热情.这是保证出色地完成教学任务的前提，也是数学教师教学成长与专业发展的基础.这里结合笔者自己三十余年的数学教学体验，阐述激发数学教学兴趣的实践途径.1兴趣的萌芽：某_个知识点的教学略胜他人一筹杜威说兴趣是生长中的能力的信号与象征.我相信，兴趣显示最初出现的能力，因r w/•有的学生试图画函数y, =^和72=心2图像观察交点个数来确定的取值范围；有的学生 试图变形成I d -^^(尤+ 2) = 0考察方程有四 个根，进一步画函数y,=丨％丨和y2=紜2U + 1) 的图像观察交点个数来确定A的取值范围，大多数学生不能将问题转化成“+= I剡U + 2)K有三个除零外的不同实根，求实数的取值范围”，从而两函数y,=+，h =丨d U + 2)图k像交点一目了然，解得a> i.这是一个浅显的 案例，但学生破题就存在这样那样的困难，因此学生运算素养的养成需要全面提升学生的思维品质和综合能力.此,经常细心地观察儿童的兴趣，对于教育者是重要的.”[1]对于数学教师的数学教学活动何尝不是如此呢？推动一个人去全身心地投入到自己的学习和工作中去的心理内驱力，没有比在这项事业中展示自己的能力更为强烈的了，许多行业中的佼佼者在叙述他所取得的成就或成功的经历时，都倾向于说明在这个方面他可能比别人更有能力.笔者对此有着切身的体验，那是在1985年，笔者（ 1965年出生，1983年中师毕业，教学了两年小学语文）第一次站在初中数学教学的讲台上，第一次在乡级教学技能竞赛中，抽签得到的课题是“单项式除法法则”，通过一个小时的准备，笔者设计了如下的课堂教学活动流程：师：（板书）15a W + 3a V =?……①生:...师:这不仅是一道数学习题，更为重要的是，当下我们要做的是，继续强化“数学运算”技能的训练;教师需更多地关注“技能”背后的 “算理”，“算理”背后的“思维”；要需有意识地引导学生养成良好的运算习惯，力求使学生在运算的“合理性、准确性、熟练性、简洁性”上寻求突破.只有引导学生在明晰算理的前提下，不断地优化算法、不断地经历完整的运算过程、不断地进行有效反思，才能真正提升学生的数学运算素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.[2]张金良.名师面对面之核心素养谈[M]•杭州：浙江教育出版社，2018.。
浙江省高中数学课程改革与思考
2、高中数学课程设置
大纲教材
第一章 集合与简易逻辑
一 集合 二 简易逻辑
第二章 函数 一 函数 二 指数与指数函数 三 对数与对数函数
第三章 数列
第四章 三角函数 一 任意角的三角函数
二 两角和与差的三角函 数 三 三角函数的图象和性质 第五章 平面向量 一 向量及其运算 二 解斜三角形
第六章 不等式 第七章 直线和圆的方程 第八章 圆锥曲线方程
2008年上半年：在杭州二中 、杭州四中、嘉兴 一中、桐高、奉化中学等调研听课30节
专业引领 ➢ 文件汇编 ➢教学用书编制 ➢办好《中学教研》中课改视角栏目 ➢优秀视频课点评与示范 ➢三项评比与课改整合
二、浙江省高中数学 课程改革基本方案
1、高中课改基本思路
普通高中课程结构
领域 语言 数 人文 科
选修2-2： 导数及其应用；数系的扩充与复数的引入。
选修2-3： 计数原理；统计；概率。
选修系列3 选修3-1：数学史选讲 选修3-2：信息安全与密码 选修3-3：球面上的几何 选修3-4：对称与群 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类 选修3-6：三等分角与数域扩充
选修系列4 选修4-1：几何证明选讲 选修4-2：矩阵与变换 选修4-3：数列与差分 选修4-4：坐标系与参数方程 选修4-5：不等式选讲
……
必修-1 必修-2 必修-3 必修-4 必修-5 *上图中 代表模块， 代表专题，其中2个专题组成1个模块.
3、浙江省普通高中 新课程数学实验第一 阶段课程方案
浙江省普通高中新课程数学实验第一阶段课程方案
科目 年级
必修
选修ⅠA 选修ⅠB 选修ⅠC
学分
高一
必修1、 4、5、2
8
对浙江省高中数学新课程实验的调查与思考
对浙江省高中数学新课程实验的调查与思考
张金良; 朱成万
【期刊名称】《《教学月刊（中学版）》》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】浙江省全面实施新课程已有半年，半年来在积极稳妥、逐步推进的方针指引下，高中课程改革正在稳步推进，部分预设目标正在达成。
为了全面了解浙江省高中数学课程改革以及《普通高中数学课程标准实验教科书·数学》（以下简称“课标教材”）的实验情况，更好改进实验工作，我们以人教社关于《高中课程标准实验教科书·数学（人教版）实验调查表》为基础制定了《浙江省高中数学新课程实验情况调查问卷》。
【总页数】6页(P5-10)
【作者】张金良; 朱成万
【作者单位】浙江省教育厅教研室浙江杭州 310012; 杭州长征中学浙江杭州310014
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.浙江省高中化学会考实验操作考查现状调查与思考 [J], 林卫民
2.甘肃省高中数学新课程准备情况的调查与思考 [J], 彭燕伟
3.浙江省高中数学新课程改革的实践与思考 [J], 张金良
4.高中数学新课程实施情况调查与思考 [J], 李彦峰;余宏仁
5.对浙江省高中数学新课程实验的调查思考 [J], 张金良;朱成万
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兴 州 华 州 州 水 山 州 波 州 兴 绍 金 衢 台 湖 丽 舟 杭 宁 温 嘉 全 省
衢
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事 事
工作 工作
（3） 高中数学教师的课改意识与现代教育观念 课程改革的意识 模块教学的认识 对模块教学的认识 对数学学习的认识 对数学教学目的的认识 对影响数学教学质量的认识 对提高数学教学质量途径的认识 对数学学习新方式的认识 对学生应用意识培养的认识 对当前高中生的数学课业负担的认识 对现行高中数学能力的评价 对数学教学评价的认识 对数学教学评价的认识
杭 州 宁 波 温 州 嘉 兴 湖 州 绍 兴 金 华 衢 州 丽 水 台 州 舟 山 全 省
在职培训 27.3 50.6 17.9 4.3
有组织的专 和同事的日 阅读专业书 自身教学经 常交流 业培训 刊 验反思 36.7 48.8 11.1 3.4 52.2 40.6 5.4 1.8 46.3 48.2 3.6 1.8 66.4 29.4 3.1 1.1
嘉 兴 16.7 31.3 13.2 22.2 13.6 3.0
湖 州 7.3
绍 兴 14.0
金 华 21.2 30.8 11.2 19.0 13.4 4.4
衢 州 16.8 32.2 11.7 24.8 11.1 3.4
台 州 26.1 19.3 22.7 21.0 8.4 2.5
丽 水 13.5 22.4 11.1 35.4 14.2 3.4
科
专
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中
三
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学
学
学
比
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高
一
二
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45.00% 40.00% （1）高中数学教师队伍基本结构 ） 35.00% 30.00% 100.00% 25.00% 90.00% 20.00% 80.00% 全省高中专任 15.00% 70.00% 教师学历比 10.00% 60.00% 50.00% 5.00% 全省高中数学 40.00% 0.00% 专任教师学历
学生对学科课程的具体感受
最喜欢的 最不喜欢的 压力很大的 内容偏多的 内容太难的 外语20%、数学17%、体育、 外语20%、数学17%、体育、 20% 17% 信息技术 政治、物理、数学、 政治、物理、数学、外语 数学、物理、外语、 数学、物理、外语、化学 数学、物理、政治、 数学、物理、政治、历史 物理、数学、化学、 物理、数学、化学、外语
级
级
中
中
中
本
大
究
研
高
全省高中数学教师教龄分布 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00%
5年 以 6至 内 1 11 0年 至 1 16 5年 至 2 21 0年 至 2 26 5年 至 3 30 0年 年 以 上
1、调查结果的统计与分析 、
（1）高中数学教师队伍基本结构 ） （2）高中数学教师的职业境界状况 ） （3）高中数学教师的课改意识与现代教育观念 ） （4）高中数学教师的身心素质 ） （5）高中数学教师知识储备状况 ） （6）高中数学教师的教学能力与教学行为表现情况 ） （7）高中数学教师的教学研究能力状况 ） （8）现代信息技术的使用能力 ） （9）高中数学教师业务进修与提高状 ） （10）结论与存在的问题 ）
浙江省高中数学新 课程实施方略
一、对高中数学课改 的认识
以美国为首的三次国际数学教育 改革的思考
第一次数学课改——20世纪初 史称“克莱 世纪初,史称 第一次数学课改 世纪初 史称“ 贝利运动” 因—贝利运动” 贝利运动 第二次数学课改——20世纪中叶 史称“新数 世纪中叶,史称 第二次数学课改 世纪中叶 史称“ 运动” 运动” 第三次数学课改——20世纪 年代初开始 世纪80年代初开始 第三次数学课改 世纪 一直延续至今. 一直延续至今
（4）高中数学教师的身心素质 ）
80 70 60 50 40 30 20 10 0
华 水 兴 兴 州 州 州 波 州 州 金 丽 山 嘉 绍 台 温 杭 宁 湖 衢 舟 全 省
合作者 竞争对手 同事 朋友
杭 州
温 州
嘉 兴
宁 波
湖 州
金 华
衢 州
绍 兴
台 州
舟 山
全 省
丽 水
38％教师每 ％ 天上完课后 感到相当疲 惫或比较疲 惫
美国——始终走在改革的前列 英国——为所有学生提供有效的学习机会 荷兰——数学的现实与实现 俄罗斯—大胆讨论、稳定实施 日本——善于学习、不断更新 德国——重视基础、倡导自主 香港——中西交汇、兼收并蓄
数学课程自身存在的问题
课程目标缺乏完整性， 课程目标缺乏完整性，缺乏对学生问题意识以及提 出问题能力的培养； 出问题能力的培养； 过分强调了学科知识的严谨性、系统性、 过分强调了学科知识的严谨性、系统性、逻辑性及 运算能力； 运算能力； 课程内容“繁、难、偏、旧”，不自然，强加于人， 不自然，强加于人， 课程内容“ 对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响； 对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响； 重结果轻过程，关注知识背景和应用不够， 重结果轻过程，关注知识背景和应用不够，导致学 生学习过程不完整； 生学习过程不完整； 方法论层次的内容渗透不够， 方法论层次的内容渗透不够，导致数学思维层次不 讲逻辑而不讲思想” 关注数学思想、 高；“讲逻辑而不讲思想”，关注数学思想、理性精 神不够，对学生整体数学素养的提高不利。 神不够，对学生整体数学素养的提高不利。
数学史选讲 信息安全与密码 球面上的几何 对称与群 欧拉公式与闭曲面分类 三等分角与数域扩充
熟练掌握 基本掌握 了解不多 不了解
几 何 证
Hale Waihona Puke 30 2050 40
60
10 0
选 讲 换 分 变 差 程 讲
明 与 与 方 选 步
矩 阵 列 数 式 初 步 图 风 关 电 路 与 论 险 布 初 与 尔 步 决 代 策 数 坐 标 系 与 参 等 论 初 不 优 选 法 与 试 验 设 计 与 法 筹 统 数 等 初 数
综 合 实 践 活 动
数学
（8）现代信息技术的使用能力 ）
60 50 40 30 20 10 0
杭 州 金 华 温 州 嘉 兴 湖 州 宁 波 绍 兴 衢 州 台 州 丽 水 舟 山 全 省
熟练掌握 基本掌握 不够熟练 未掌握
（9）高中数学教师业务进修与提高状况 ）
职前培训 很大 有些 很小 没有贡献
60 50 40 30 20 10 0
完全能满足工作需要
全 省
宁 波
嘉 兴
绍 兴
金 华
衢 州
台 州
丽 水
舟 山
40 30 20 10 0
嘉 兴 湖 州 绍 兴 丽 水 温 州 舟 山 宁 波 杭 州 金 华 衢 州 台 州 全 省
能满足工作需要 基本满足工作需要 很欠缺，不能满足工作 需要
数 学 教 师 的 社 会 知 识 面
60 50 40 30 20 10 0
宁 波 温 州 金 华 衢 州 全 省 杭 州 嘉 兴 湖 州 绍 兴 台 州 丽 水 舟 山
经常进行 有时进行 未进行 想做，但工作太忙
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
台 州 金 华 温 州 杭 州 宁 波 嘉 兴 湖 州 绍 兴 衢 州 丽 水 舟 山 全 省
没有 一篇 两篇 三篇以上
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
从不 经常 偶尔 需要时交流一下
（5）高中数学教师知识储备状况 ）
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
杭 州 温 州 湖 州
完全能满足工作需要 能满足工作需要 基本满足工作需要 很欠缺，不能满足工作 需要
60 50
三、浙江省高中数学
课程改革基本方案
普通高中课程结构
领域 语言 与 文学
数 学
人文 与 社会
科 学
技 术
体育 与 健康
艺 术
综合 实践 活动
语 外 数 政历地 物 化 生 通 信 用息 科目 文 语 学 治史理 理 学 物 技 技 术术
模块
（系列、专题） 系列、专题）
体 育 美音艺 与 健 术乐术 康
开
熟练掌握 基本掌握 了解不多 不了解
80 70 60 50 40 30 20 10 0
高中数学教师职前教学技能获取情况
（6）高中数学教师的教学能力与教学行为表现情况 ）
怎 怎 样 样 讲 怎 进 授 样 行 使 课 用 堂 计 管 算 理 机 进 行 教 学 发 现 学 习 合 数 作 学 学 有 学 习 关 习 一 建 般 构 学 理 生 论 有 学 有 关 习 关 学 的 学 习 知 习 矫 识 困 治 难 、 的 有 知 效 识 怎 教 样 学 教 的 具 知 体 识 的 数 学 内 容
是 否 不记得
教师对课程目标的关注情况 教师教学行为现状 课堂教学的自我监控
工作特长 80 70 60 50 40 30 20 10 0 69.1 50.6
工作特长
18
24.4 16.8
课堂教学
解题
竞赛
命题
教科研
（7）高中数学教师的教学研究能力状况 ）
70 60 50 40 30 20 10 0
实用性最差的 政治、历史、美术、数学 政治、历史、美术、
二、浙江省高中数学课 改的前期准备