(完整版)指数、对数函数基本知识点

oo (2)过定点：所有的幂函数在
都有定义，并且图象都通过点 .
are g 定义域 ing 值域 ir be 过定点
图象过定点
，即当
时，
.
(3)单调性：如果
，则幂函数的图象过原点，并且在
上为增函
数.如果
，则幂函数的图象在
上为减函数，在第一象限内，图
象无限接近 轴与 轴. (4)奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶
⑦奇函数不一定 f(0)=0，也不一定有 f(0)=0 推出奇函数
⑧定义在 R 上的奇函数 f（x）必满足 f（0）=0；
（4）奇偶函数图象。 ①奇函数的图象关于原点成中心对称。 ②偶函数的图象关于 Y 轴成轴对称。 ③奇偶函数的定义域一定关于原点对称！
④奇函数的偶数项系数等于 0，偶函数的奇数项系数等于 0。 ⑤Y=0 即是 X 轴，既是奇函数也是偶函数 ~！
下方，若
an 象的影响 看图象， 逐渐减小. e 知识点六：幂函数
，其图象在直线
，其图象在直线
上方，当
上方，若 ，其图象在直线
时，若 下方.
ing at a tim 1.幂函数概念 形如
的函数，叫做幂函数，其中
ll things in their being are good for somethin 补充：函数 A 1. 映射定义：设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对集合 d A 中任一元素 x，在集合 B 中有唯一元素 y 与之对应，则称 f 是从集合 A 到 n 集合 B 的映射。这时，称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象记作 f（x）。x 称作 a y 的原象。 e 2.函数定义：函数就是定义在非空数集 A，B 上的映射，此时称数集 A 为定 tim 义域，象集 C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数 ing at a 的三要素
一般地，函数 的定义域为 . 2.指数函数函数性质：
叫做指数函数，其中 是自变量，函数
a ；当 为偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表函数名称
指数函数
ing 示为 .
定义
函数
且
叫做指数函数
be 负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0.
eir 式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. in th 2.n 次方根的性质：
④解析式类型
od 一般式 ：ax+by+c=0 go 斜截式 ：y=kx+b （k 为直线斜率， b 为直线纵截距；其中正比例函数 re b=0） a 点斜式 ：y-y1=k(x-x1) （k 为直线斜率 ,(x1,y1)为该直线所过的一个点）
ing 两点式 ：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（ x1,y1）与
在 上是增函数
在 上是减函数
for so 函数值的
变化情况
②减法：
③数乘：
good 变化对图 在第一象限内，从逆时针方向看图象， 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向
re 象的影响 看图象， 逐渐减小. a 知识点三：对数与对数运算
④
⑤
ing 1.对数的定义 be (1)若
，则 叫做以 为底 的对数，记作
图象
gs (1)当 为奇数时，
；当 为偶数时，
(2)
ll thin 3.分数指数幂的意义：
and A
；
e 注意：0 的正分数指数幂等与 0，负分数指数幂没有意义.
ing at a tim 4.有理数指数幂的运算性质：
定义域 值域
过定点 奇偶性
图象过定点
，即当
时，
.
非奇非偶
methin 单调性
⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质
eir ，其中 叫做底数， 叫做真数.
1.对数函数定义
th (2)负数和零没有对数.
一般地，函数
in (3)对数式与指数式的互化： gs 2.几个重要的对数恒等式
thin
，
，
.
ll 3.常用对数与自然对数
d A 常用对数： ，即
；自然对数：
an …).
②图像法：如果图形 F 是函数 y f (x) 的图像，则图像上的任意点的坐标
ethin 满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数 om 的方法叫做图像法. r s ③如果在函数 y f (x) (x A) 中， f (x) 是用代数式来表达的，这种方法 fo 叫做解析法 d 7．分段函数 o 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则， go 这样的函数通常叫做分段函数。 re 8 函数单调性及证明方法:
e （x2,y2）两点）
ir b 截距式 ：x/a + y/b=1 （a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截 距）
e ⑤当 k>0 时，函数为增函数； th （2）二次函数
当 k<0 时，函数为减函数。
iBaidu Nhomakorabea ①函数 y ax2 bx c (a 0) 叫做二次函数，定义域为 R
些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系 数法。 ②一般过程：首先 确定所求问题含待定系数的解析式； 其次 根据恒等 条件，列出一组含待定系数的方程； . 最后解方程或消去待定系数 。 12、函数与方程 ①函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的 数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题，从而使问题获得解决。 ②方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质 去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的 等量关系； ③零点：对于函数 y=f(α)，使得 f(α)=0 的实数 α 叫做函数 f(x)的零点 . 。
3.求函数的定义域常涉及到的依据为 ①分母不为 0； ②偶次根式中被开方数不小于 0； ③实际问题要考虑实际意义 ④零指数幂的底数不等于零； ⑤对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1； ⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响 4.函数值域：
①y 3 2x
②y x3 5 x
5、函数图像变换知识 ①平移变换： 形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜ 个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。 形如：y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜ 个单位，就得到 y=f(x)+a 的图象 ②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) , 关于ｘ轴对称 ③.翻折变换 y=f(x)→y=f|x|, (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换） 把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近 y 轴。 6 函数的表示方法 ①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列 表法
gs ②a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 in 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 th ③抛物线是 轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 ll ④定点坐标 ：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； A ⑤抛物线与 x 轴交点个数 ： d Δ= b^2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 n Δ= b^2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。 a Δ= b^2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点 。 e 11．待定系数法 tim ①定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把 ing at a 所求函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这
methin 基本初等函数知识点 o 知识点一：指数及指数幂的运算 r s 1.根式的概念
fo 的 次方根的定义：一般地，如果
，那么 叫做 的 次方根，
ood 其中 re g 当 为奇数时，正数的 次方根为正数，负数的 次方根是负数，表示为
(1)
(2)
(3)
知识点二：指数函数及其性质
1.指数函数概念
10.一次函数二次函数 （1）一次函数
①函数 y kx bk 0叫做一次函数，定义域为 R，值域为 R。k 叫做
直线的斜率，b 叫做该直线在 y 轴上的截距。一次函数又叫线性函数。 ②当 b=0 时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是
特殊的一次函数 .
methin ③当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。 o 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。 r s 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。 fo 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
the 奇偶性
非奇非偶
函数.当
(其中
in 单调性 things 函数值的 ll 变化情况
在
上是增函数
在
上是减函数
互质， 和
)，若 为奇数 为奇数时，则
是奇函数，若
为奇数 为偶数时，则
是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则
(5)图象特征：幂函数
，当
是非奇非偶函数.
时，若
，其图
d A 变化对图 在第一象限内，从顺时针方向看图象， 逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方象向在直线
，即
(其中
.
函数的定义域
.
2.对数函数性质：
函数名称
定义
函数
图象
time 4.对数的运算性质
ing at a 如果
，那么①加法：
叫做对数函数，其中 是自变量，
对数函数
且
叫做对数函数
ethin 为常数. om 2.幂函数的性质 s (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象 r 限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 fo 关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象 d 关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
⑤定义域关于原点对称。 （2）偶函数 ①设函数 y=f（x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈D， 且 f(-x)= f(x)，则这个函数叫做偶函数。 ②如果知道图像,偶函数图像关于 y 轴（直线 x=0）对称. ③定义域关于原点对称。 （3）奇函数偶函数运算
①两个偶函数相加所得的和为偶函数 . ② 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ③ 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶 函数. ④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . ⑤ 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . ⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 .
①增函数： 一般地 ,设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域 D 内的某
a 个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2),那 ing 么就说 f(x)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数 f(x)的单调增区 e 间。 b ②减函数： 一般地 ,设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域 D 内的 ir 某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2), e 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数 f(x)的单调减区 th 间。 in ③证明方法
第一步：设 x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且 x1<x2；
gs 第二步：作差 f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解” in 或“配方法”； th 第三步：判断差式 f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性 ll 9.函数的奇偶性 A ⑴奇函数 d ①设函数 y=f（x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈D， n 且 f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。 a ②奇函数图象关于原点（ 0，0）中心对称。 e ③奇函数的定义域必须关于原点（ 0，0）中心对称，否则不能 tim 成为奇函数。 ing at a ④若 F(X)为奇函数，且 X 在零处有定义，则 F(0)=0.