初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点 1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点 2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点 3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点 4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。

考点 5

点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d＞ r ；②点在圆上d=r ；③点在圆内 d ＜r ；

【典型例题】

例 1 在⊿ABC中，∠ACB=90° , AC=2, BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以

5为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与⊙ C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

A

M

B C

例 2．已知，如图， CD是直径，EOD 84 ，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

E

B

D

A

O C

例 3⊙ O平面内一点P 和⊙ O 上一点的距离最小为3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是

_________cm 。

例4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多少？

例 5如图,⊙ O的直径AB和弦CD相交于点E，已知 AE=6cm，EB=2cm,CEA 30 ，

求 CD的长．

C

E

A·B

O

D

2

例 7. 如图，已知在ABC 中，A90 ，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求 CD的长．

C

A B

D

例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB＝ 16cm，拱高 CD＝ 4cm，那么拱形的半径是＿

＿ m。

C

A B . 思考题D

如图所示 , 已知⊙ O的半径为 10cm，P 是直径 AB上一点 , 弦 CD过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD引垂线 AE和 BF, 求 AE-BF 的值 .

C

E

A·P

B

O

F

二．垂径定理及其推论

D 【考点速览】

考点 1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．

推论 1：

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

③平分弦所对的一条孤的直径

,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．

推论 2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．

垂径定理及推论 1 中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦 ( 不是直径 ) ；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的

劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】 例 1

如图 AB 、 CD 是⊙ O 的弦， M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点，且

AMN C NM ．

求证： AB=CD ．

A

C M

N

· O

B D

例 2 已知，不过圆心的直线 l 交⊙ O 于 C 、D 两点， AB 是⊙ O 的直径， AE ⊥ l 于 E ，BF ⊥ l 于F 。求证： CE=DF ．

B

B

O

O

A

O

B

A

E l

D F

l

l

E C

H

D

F C

HF D

E C

H

A

问题一图 1

问题一图 2

问题一图 3

例 3 如图所示，⊙ O 的直径 AB ＝15cm ，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑动（点

C 与点 A ，点

D 与 B 不重合），且 C

E ⊥CD 交 AB 于 E ， D

F ⊥ CD 交 AB 于 F 。

（ 1）求证： AE ＝ BF

（ 2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证

F B

明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例 4如图，在⊙ O内，弦CD与直径AB交成450角，若弦CD交直径 AB于点 P，且⊙ O

半径为 1，试问：PC2PD 2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

D

A P。B

O

C

例5. 如图所示，在⊙ O中，弦 AB⊥ AC，弦 BD⊥ BA，AC、BD交直径 MN于 E、F. 求证： ME=NF.

M

A E C

·O

B F

D N

例 6. （思考题）如图，o1与o2交于点A，B，过A的直线分别交o1，o2于M,N，