八年级下册数学正方形的性质和判定
八年级正方形的性质和判定
正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。
知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。
2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。
②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。
3、判定：①的矩形是正方形。
②的菱形是正方形。
③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。
4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。
（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。
3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。
（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。
【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。
2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。
（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。
八年级下学期正方形的性质和判定讲义
正方形知识精讲一、正方形的定义有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形。
二。
正方形的性质１、正方形的四条边都相等,四个角都是直角;2、正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质、3、正方形是轴对称图形,对称轴有４条、三、正方形的判定1、有一组邻边相等的矩形是正方形;2、有一个角是直角的菱形是正方形;3、对角线互相垂直的矩形是正方形;4、对角线相等的菱形是正方形;５、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形;６、四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形、四、弦图模型如图１,Ｒｔ△ＤＣＥ≌Rt△CAF;如图２,Rt△ＢAE≌Rｔ△ＣBF、三点剖析一、考点:１。
正方形的性质;２、正方形的判定;３、弦图模型二、重难点:正方形性质的应用和判定;弦图模型、三。
易错点:正方形、矩形、菱形性质与判定的区别、例题讲解一:性质例2、1、1如图,在正方形ABCD中,点F为ＣＤ上一点,BF与AC交于点E、若∠CBF=20°,则∠AＥD等于度、【答案】65【解析】∵正方形ABCD,∴AB=AＤ,∠BAE=∠DAＥ,在△ABE与△ＡDＥ中,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠ＡED,∠AＢE=∠ＡＤE,∵∠CBF＝2０°,∴∠ABＥ=7０°,∴∠AED＝∠AEB=１80°﹣45°﹣7０°=6５°,例2。
1、2如图,正方形ABＣＤ的对角线ＡC与ＢＤ相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB、BＤ于M、N两点,若AM=2,则正方形的边长为( )A、4B、3C、２+D、【答案】Ｃ【解析】过点M作MF⊥AＣ于点Ｆ,如图所示、∵ＭＣ平分∠ACB,四边形ABＣD为正方形,∴∠ＣAB=45°,FM=BＭ。
在Rt△AFM中,∠AＦM=90°,∠FAＭ=45°,AM＝２,∴FM=AM•sin∠FＡM=、AB＝ＡM+MＢ=2+、例2、1。
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。
二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。
三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。
（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。
2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。
3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。
4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。
（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。
（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。
四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。
同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。
八年级数学下册《正方形的性质及判定》教案、教学设计
2.注重启发式教学：针对正方形性质和判定的学习，教师应采用问ห้องสมุดไป่ตู้驱动、实例分析等方法，引导学生主动思考、探索，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作，共同解决以下问题：
a.证明正方形的对角线互相垂直平分。
b.证明正方形的四条边都相等。
c.探讨正方形的内角和与外角和的关系。
4.完成以下拓展练习：
a.画出一个正方形，并标出其周长和面积。
b.画出一个正方形，并将其分割成四个大小相等的小正方形。
c.画出一个正方形，并找出其内切圆和外接圆，计算它们的半径。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第35页的练习题，包括以下内容：
a.判断下列四边形是否为正方形，并说明理由。
b.计算给定正方形的周长和面积。
c.探索正方形与矩形、菱形之间的联系与区别。
2.结合生活实际，找一找身边的正方形物体，并描述它们的特点。例如，正方形瓷砖、桌面、窗户等。
3.教师引导学生观察正方形的特点，如四条边相等、四个角相等等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教师引导学生探究正方形的性质，通过观察、猜想、验证等方法，发现正方形的性质，如四条边相等、四个角相等、对角线互相垂直平分等。
2.教师结合实例，讲解正方形性质的应用，如计算正方形的周长、面积等。
3.教师讲授正方形的判定方法，如邻边相等、对角线互相垂直平分、四条边都相等等，并通过实例进行解释和说明。
（三）学生小组讨论
卓越八年级下册数学19-4正方形的性质和判定
正方形定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
正方形性质：1、正方形四个角都是直角； 2、正方形四条边都相等；3、正方形对角线垂直相等，每一条对角线平分一组对边。
正方形判定：1、有一个角是直角的菱形是正方形； 2、有－组邻边相等的矩形是正方形； 3、既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
例 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．ABCDEF EG分析：（1）由正方形ABCD 知，DC=BC ，∠DCB=90°，又由∠DCB=90°得∠DCE=90°，所以，根据SAS 得到△BCG ≌△DCE ；（2）四边形E ′BGD 是平行四边形。
理由： ∵ 四边形ABCD 是正方形∴ AB//CD,AB=CD ∵ CG=CE=A E ′ ∴ BE//DG,BE=DG∴ 四边形 E ′BGD 是平行四边形第四部分：典型例题例1、有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将C 点折至MN 上，落在P 点位置，折痕为BQ ，连结PQ. 求MP 的长.【变式练习】1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BDC.AD ∥BC ，∠A =∠CD.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ） A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623. 已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4. 下列命题中的假命题是( )．A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．一组邻边相等的矩形是正方形c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.例2、如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得得结论：①DE AF =；②DE AF ⊥。
八年级数学下正方形判定_PPT
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线)
E B
A F D C
√ √ √ √ √ √ √ √
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形
2．四角相等的四边形是正方形
3．对角线垂直的平行四边形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形
是正方形。
5．四条边相等且有一个角是直角的四边形 是正方形
形成性测试题
1、选择题： ①、下列判断中正确的是（ ） A、四边相等的四边形是正方形 B、四角相等的四边形是正方形 C、对角线垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ②、在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这 个四边形是正方形的是（ ） A、AC = BD，AB∥CD，AB = CD B、AD∥BC，∠A =∠ C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 （填上一个条件即可）
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定
1 定义法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行 四边形是正方形。
2、 对角线法：
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是 正方形。
3．四个内角都相等，四条边也都相等的四 边形一定是：（A ）
性质 图形 平行四 矩形 边形
菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分
18.5正方形的性质与判定(原卷版)
【例题3】（2022秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．34B．36C．40D．100
解题技巧提炼
正方形的周长：边长×4.
正方形的面积：（1）边长的平方；（2）对角线乘积的一半；
【变式31】（2022秋•永安市期中）正方形的周长为8cm，则它的面积为（ ）
（1）若连接GF，求证：DG＝GF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度数．
【例题5】（2022秋•武侯区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
解题技巧提炼
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
【变式12】（2022秋•新城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【变式13】（2022秋•保定期末）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB等于（ ）
AE＝BF＝CM＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．
【变式72】（2022秋•胶州市校级月考）如图所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．
八年级下册数学《第十八章平行四边形》
18.5正方形的性质与判定
●●定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
◆1、正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
最后，今天的总结回顾环节，同学们能够较好地概括出正方形的性质和判定方法，说明他们对本节课的知识点有了较好的掌握。但在提问环节，我发现有些同学对自己的疑问表达得不够清晰，可能是他们对自己的问题认识不够准确。在以后的教学中，我会更加关注学生的疑问，引导他们准确地表达自己的问题，并给予耐心解答。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线垂直平分性质和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的对角线，验证其互相垂直平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定：
1.正方形的定义及性质：准确理解正方形的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分等性质。
正方形的性质和判定定理
新知探究
3.如何判定一个四边形是正方形？
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的
既平是行四矩边形形又是是正方菱形形．的四边形是正方形．
巩固训练
下列说法是否正确？为什么？
1.四条边都相等的四边形是正方形.
（×）
2.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形. （×）
3.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形（. √ ）
∠DCA =∠BCA, 对
∠ADB =∠CDB, ∠ABD =∠CBD.
称 轴
学以致用
已知：如图,四边形ABCD 是正方形,对角线AC,BD 相交于点O. 求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD 是正方形, 正方形的两条对角线把这个正方形 ∴分A成C四⊥个BD全,A等O的=B等O腰=C直O角=D三O角. 形. ∴△ABO,△图B中C共O,有△多CD少O个,△DAO 都是 等腰直角等三腰角直形角,并三且角形？ △ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO .
A.AB∥CD,AB=CD,AB=BC,∠ABC=90° B.∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC,AD=AB C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
当堂检测、巩固新知
5.已知四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =90°, 对角线AC，BD相交于点O，请添加一个适当的条 件 AB=BC （填一个即可）,使四边形ABCD为正 方形.
新知新究
1.类比矩形和菱形的定义,说说正方形的定义.
定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形．
正方形正是矩方形形吗？既是矩形正又方形是是菱菱形形吗.？
八年级数学《正方形的判定及性质的应用》课件
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C10
《探究在线》P71—P72 全部
11
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
7
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分
பைடு நூலகம்
∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并
下面的证明请大家完成
6
例3．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
第20章 平行四边形的判定
§20.4 正方形的判定
1
正方形性质:
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
0D
2
1.平行四边形
常
有一组邻边相等 有一个角是直角
见
说
有一组邻边相等
2.矩形
明
正方形
方
3.菱形 有一个角是直角
法
3
范例精讲 例1求证：正方形的两条对角线把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形。
．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD 相交于点O。
18.2.3正方形的性质和判定
第18章 平行四边形
18.2.3 特殊的平行四边形
正方形
教学目标
知识与技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形 的性质、判定方法。
过程与方法
经历探索正方形有关性质，判定条件的过程， 在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力， 逐步掌握说理的基本方法。
情感、态度与价值观
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几 何的内在价值。
D
∴∠HEF=∠EFG=
∠FGH=∠GHE=90°∴ 四边形EFGH是矩形
∵AF平分∠BAD ∴∠BAF=∠DAF=45° 同理∠ABH=∠CBH=45° ∠BCH=∠DCH=45° ∠CDF=∠ADF=45° ∵∠DAF=∠CBH AD=BC ∠ADF=∠BCH ∴△AFD≌△BHC（ASA） ∴AF=BH
2 面积S AB2 （2 2） 8cm2 1 1 2 或面积 S AC 4 2 8cm 2 2 2
1、正方形的面积等于边长的平方。 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。 3、正方形的周长等于边长的4倍。
练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC
EF与AC相交于P点 求证：EF ⊥ AC，EF ∥ BD A
H
A B D G C F ∵∠BAF=∠ABH ∴AE=BE ∴EH=EF ∴四边形EFGH是正方形
E
课堂练习：
1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作a∥b,作 BM⊥a于M，DN⊥a于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。 求证：四边形PNMQ是正方形。
2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H， 且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形 H A D
人教版初二数学下册正方形、梯形知识点总结及例题-2b95
正方形一周强化一、一周知识概述1、正方形的定义及性质、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特，因此它具有矩形和菱形的所有性质．殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．2、正方形的判定、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳1、利用正方形对角线的性质解题、利用正方形对角线的性质解题2、利用正方形的轴对称性解题、利用正方形的轴对称性解题上． 例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．3、利用旋转法解决有关正方形问题、利用旋转法解决有关正方形问题 ∴．4、构造正方形解题、构造正方形解题5、利用正方形性质解选择题、利用正方形性质解选择题梯形一周强化一、一周知识概述 1、梯形的概念、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形．等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形． 2、等腰梯形的性质与判定、等腰梯形的性质与判定 (1)等腰梯形的性质等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； ②等腰梯形同一底边上的两个角相等；②等腰梯形同一底边上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形的两条对角线相等． (2)等腰梯形的判定等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． 3、梯形中常见辅助线作法、梯形中常见辅助线作法(1)平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图(1))； (2)平移一条对角线，使两条对角线及两底之和构成一个三角形，并且能得出两底之和(如图(2))；(3)延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图(3))； (4)作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图(4))；(5)延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图(5))；(6)将梯形割补为平行四边形(如图(6))；1、直接利用等腰梯形的性质或判定解题、直接利用等腰梯形的性质或判定解题∴EF∥AD，．∴EF∥BC．又，∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴．2、梯形辅助线的作法、梯形辅助线的作法在Rt△BDE中，∴∴∴AF=7cm ∴．同理．∴．∴．(3)若AD=3，BC=7，，求证：AC⊥BD．(1)分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则．又AE=DF=4，∴(2)．∴．∵，∴BD2＋DG2=BG2．点评：(1)是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由(3)知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。
八年级下册数学—正方形的性质和判定
八年级数学—正方形的性质和应用正方形的性质：正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质。
①正方形四个角都是直角②四条边都相等③对角线互相垂直平分④每一条对角线平分一组对角⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
正方形的判定：同时满足菱形和矩形的判定即可。
常用判定有：①先证菱形后证一个角是直角②先证矩形后证一组邻边相等基础篇：例一、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC②∠ABC=90°③AC=BD④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，下列选法错误的是（）A、①②B、②③C、①③D、②④例二、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。
例三、如图，在正方形ABCD中，点P，Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，分别交AC、BC于E、G，AP，EQ的延长线相交于R。
（1）求证：DP=CG；（2）判断△PQR的形状，并说明理由例四、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。
（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？提高篇：例五、如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F。
（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数。
变式练习1：如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED 。
（1）求证：△BEC ≌△DEC（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED=120°时，求∠EFD 的度数。
例六、如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE=EF=FA 。
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正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都 相等且对边平行。 正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相
三段论形式：垂直 平分，每条对角线平分一组对角。 A D
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAB＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA＝90°
∴AB＝BC＝CD＝DA ∴AD∥BC，AB∥CD ∴AC ＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO ∴AC平分∠BAD和∠BCD
例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。 已知：四边形ABCD是正方形，对角 线AC、BD相交于点O A O D
求证：⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、
⊿ DAO是全等的等腰直角三角形 证明：∵四边形ABCD是正方形
B
C
∴AC＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO ﹙正方形的对角线相等，并且互相垂直平分﹚
思考：1、在第四章中我们已经学习了 哪些特殊的四边形？
平行四边形、矩形、菱形。 思考：2、分别叙述这三种四边形的定义。
两组对边 四边形 分别平行 邻边 平行四边形 菱 形 矩 形
复习
矩 形
相等 有一个角 是直角
？
？
菱 形
正 方 形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相 等的矩 形
想一想：正方形是怎样的菱形？
面积S 4cm2
练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm
求: 它的边长和面积。 A 解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB ＝ BC，∠ABC＝90° ﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚ 2 2 2 B AB BC AC 在Rt⊿ABC中， D
C
2 2 边长AB AC 4 2 2cm 2 2
矩形、正方形（2）
自主学习
2、正方形两条对角线的和为8cm，它的 面积为____________.
矩形、正方形（2）
自主学习
3、如图，点E、F在正方形ABCD的边 BC、CD上，BE=CF. （1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A D
G B E
F C
尝试练习：
例题1:四边形ABCD是正方形,两条对角线 相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。 F D 解：∵四边形ABCD是正方形 A ∴AC⊥BD ∠AOB=900 O ∠BAC=∠DAC ∴∠OAB=450 C B E (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方 形的面积是 8 (3)正方形的面积64cm2，则对角线交点 到正方形一边的距离 4㎝
B
E
∴△AFD≌△BHC（ASA） ∴四边形EFGH是正方形 ∴AF=BH
课堂练习：
1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作a∥b,作 BM⊥a于M，DN⊥a于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。 求证：四边形PNMQ是正方形。
2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H， 且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形 H A D
∴⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO 都是等腰直角三 角形，并且⊿ABO ≌⊿ BCO ≌ ⊿ CDO ≌ ⊿ DAO
由于正方形的面积等于⊿ABO 面积的4倍，所 以正方形的面积等于对角线的平方的一半。
做一做
现在请大家做一做这样一个
实验：将一张长方形纸对折 两次，然后剪下一个角，打 开，怎样剪才能剪出一个正 方形？
D
∴∠HEF=∠EFG=
∠FGH=∠GHE=90° ∴四边形EFGH是矩形
∵AF平分∠BAD ∴∠BAF=∠DAF=45° 同理∠ABH=∠CBH=45° ∠BCH=∠DCH=45° ∠CDF=∠ADF=45° ∵∠DAF=∠CBH AD=BC ∠ADF=∠BCH
H
A D G C F ∵∠BAF=∠ABH ∴AE=BE ∴EH=EF
请你当设计师
应用举例：
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
证题思路分析
②、证得菱形； ③、再证直角； ④、是正方形
上一页
A
D/ D
C/
①、由已知正方形证三角形全等； A/
B
B/
C
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D 。 求证：四边形A`B`C`D`是正方形。 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA 又∵A`A=B`B=C`C=D`D ∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C` ∴四边形A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴四边形A`B`C`D`是正方形。
例 2 已知：如图，在矩形 ABCD 中， AF ， BH ， CH ， DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交 于G。 求证：四边形EFGH是正方形 证明：∵AD∥BC，AF、BH是角平分线 H ∴AF⊥BH A 同理 BH⊥CH CH⊥DF DF⊥AF G E B F C
B
矩形、正方形（2）
快速反应
4、判断。 （1）正方形一定是矩形。（ ） （2）正方形一定是菱形。（ ） （3）菱形一定是正方形。（ ） （4）矩形一定是正方形。（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （ ）
自主学习
矩形、正方形（2）
1、在下列性质中，平行四边形具有的是_______， 矩形具有的是_________，菱形具有的是_______， 正方形具有的是_______________。 （1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。
自我检测
1、下列说法对吗？
1）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。 2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
2、周长为20cm的正方形,边长是 5㎝ 对角线长是5√2 cm 面积是 25cm2 。 3、如图，有 8 个等 腰直角三角形 A D
O
B C
练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形
G
B
F
E
K
C
O
B
C
∴BD平分 ∠ ABD和∠ADC
对称轴
思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别 有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？
性质 图形
平行四 矩 边形 形
有 有
菱 形
有 有
正方 形
有 有
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分一组 对角
（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方 形，求证：MD=KB。
尝试练习：
（2）如图，正方形ABCD中，AC交BD于 O，点M、N分别在AC、BD上，且 OM=ON， 求证：BM=CN。
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分（不考虑道路的 宽度），你有几种方法？（至少说出三 种）
菱形 正方形
一个角是直角的菱形
1.正方形定义:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形 ⑴有一组邻边相等的平行 正 两层 四边形（菱形） 方 含义 ⑵并且有一个角是直角的 形 平行四边形（矩形）
快速反应
1、__________________ 有一组邻边相等的 的矩形叫做正方形。
①、对角线相等的菱形是正方形
动 脑 想 一 想
吗？为什么？ ②、对角线互相垂直的矩形是正 方形吗？为什么？ ③、对角线互相垂直且相等的四 边形是正方形吗？为什么？如果 不是，应该加上什么条件？ ④、能说“四条边都相等的四边 形是正方形吗？”为什么？ ⑤、能说“四个角都相等的四边 形是正方形吗？”为什么？
2 面积S AB2 （2 2） 8cm2 1 1 2 或面积 S AC 4 2 8cm 2 2 2
1、正方形的面积等于边长的平方。 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。 3、正方形的周长等于边长的4倍。
练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC
上，且BE ＝ DF，AC与BC相交于O点，EF
的周长、对角线长和正方形的面积。 解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝ BC ＝ 2cm，∠ABC ＝ 90° ﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚ A D
在RtABC中， AC AB2 BC2
B
C
对角线AC 22 22 2 2cm
∵边长AB＝2cm
∴周长C＝4AB＝8cm
有
有
有
有 有 有
有
有 有
有
有 有 有 有
有