高中数学 平面向量的线性运算教案1 新人教版必修
高一数学平面向量 新课标 人教版 教案
高一数学平面向量一、向量及向量的基本运算 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b BC a AB==,，则a +b =BC AB +=AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a -+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
教学准备教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;教学重难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学工具投影仪教学过程一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第2、3题课后小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.课后习题作业：P103第2、3题板书略-------- Designed By JinTai College ---------。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
人教A版高中数学必修四人教平面向量的线性运算教案(1)
第01讲 平面向量及其线性运算高考《考试大纲》的要求：① 了解向量的实际背景。
② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③ 理解向量的几何表示。
④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义; （一）基础知识回顾：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使a =_____________________.8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________. （二）例题分析：例1.下列命题中，正确的是（ ）A ．若//,//，则//B ．对于任意向量,+≥+ C =，则=或-= D ．对于任意向量,-≥+例2．（2007北京理)已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =例3．(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b +（三）基础训练：1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．2．（2007湖南文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--3．（2003辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）ABCDA ．)1,0(),(∈+λλB ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+5．（2003江苏；天津文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )（A ）外心（B ）内心（C）重心（D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( ) （A ）２ （B ）12（C ）－３ （D ）－137．设,是两个不共线的非零向量，若向量k 2+与k +8的方向相反，则k=__________.8.（2007江西理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ． 9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30＝122.若＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .（四）拓展与探究：11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
教学准备
教学目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;
教学重难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具
投影仪
教学过程
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二(P94—95)略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第2、3题
课后小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 课后习题
作业：
P103第2、3题
板书
略。
高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计
高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高中数学必修四《平面向量的线性运算》教案教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．教师备课系统──多媒体教案学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．2新课标普通高中◎数学④必修合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求BC=b，两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？3.数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当a，b不共线时，|a+b||a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．3.如下左图，作AB=a，AD=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a．如上右图，因为AD=AC+CD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c，，所以（a+b）+c=a+（b+c）．AD=AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是-（-a）=a．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）=（-a）+a=0．所以，如果a、b是互为相反的向量，那么4新课标普通高中◎数学④必修a=-b，b=-a，a+b=0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O 的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，以OA、OB为邻边作OB=b．连接OC，则OC=a+b．例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．OACB，活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．解：如上右图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作则AC表示船实际航行的速度．（2）在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=5，所以|AC|=|AB|?|BC|?因为tan∠CAB= 22ABCD，22?52?29≈5.4．29，由计算器得∠CAB=68°．2答：船实际航行速度的大小约为5．4km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．例4如图，ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（）①a+b=b+a②a-b=b③0-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0A．5B．4C．3D．2 2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于（）A．FDB．FCC．FED．BE3．下列式子中不能化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BCB．（AD+MB）+（BC+CM）C．MB?AD?BMD．OC-OA+CD。
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。
通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。
一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。
平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。
我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。
2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。
3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。
即A - A = A + (-A)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。
数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。
2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。
3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。
五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。
六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。
2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。
2022年 《高三数学第一节 平面向量的概念及其线性运算》优秀教案
第一节平面向量的概念及其线性运算教学目标知识与技能：1.掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线.过程与方法: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观：培养学生认识客观事物的数学本质的能力及渗透类比的数学方法.[备考方向要明了]1．向量的有关概念23.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[例1] 给出以下命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a与b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b共线．其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，假设四边形ABCD 是平行四边形，那么AB 綊DC 且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． [答案] C[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否认也是行之有效的方法．[巧练模拟]1．给出以下命题：①向量与向量的长度相等，方向相反； ②＋＝0；③a 与b 平行，那么a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，那么其终点必相同； ⑤与是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点共线． 其中假命题的个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B ①正确；②中＋＝0，而不等于0，故②错误；③中a 或b 为零向量时满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量的方向是任意的，故③错误；④正确；⑤中当与是共线向量时，与所在直线可能平行、可能重合，故⑤错误．因此假命题的个数为3.[例2] (1)(2021A ．0 B ． C ． D ．(2)如图，在△ABC 中，＝13，P 是BN 上的一点，假设＝m ＋211，那么实数m 的值为________．[自主解答] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，＝，＝，那么＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. (2)由＝13，得＝14. ＝＋＝＋n＝＋n(－)＝(1－n) ＋14n＝m＋211，由14n＝211，得m＝1－n＝3 11 .[答案] (1)D (2)311[冲关锦囊]1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用，运用上述法那么可简化运算．[例3] (1)(2021·南昌模拟)向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向(2)假设A，P，B三点共线，且＝m＋n (m，n∈R)，那么m＋n＝________.[自主解答] (1)∵c∥d，∴c＝λd.即k a＋b＝λ(a－b)．∴k＝λ＝－1.∴c＝－d，即c与d反向．(2)∵A，P，B三点共线∴存在λ∈R使＝λ.那么＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，∴m＋n＝1－λ＋λ＝1[答案] (1)D (2)1[冲关锦囊]1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，求解时要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．[巧练模拟]2．设两个非零向量a与b不共线．(1)假设＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.板书设计：教学反思：。
高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案
课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
一、教学目标
1.知识目标
•熟悉平面向量的概念和性质
•掌握平面向量的线性运算方法，了解向量的数量积和向量积的概念和性质
2.能力目标
•能够应用平面向量的线性运算方法解决几何问题
•能够通过向量的数量积和数量积的计算对平面上的向量进行分类
3.情感态度目标
•培养学生的独立思考和解决问题的能力
•激发学生对数学的兴趣和热爱，培养优秀的数学思维和学习方法
二、教学重点和难点
1.教学重点
•平面向量的线性运算方法和相关概念的掌握
•根据向量的线性运算方法解决几何问题
2.教学难点
•向量的数量积和向量积的概念和性质的理解
•向量的数量积和向量积的应用
1。
【精品】高中数学必修3《2.2平面向量的线性运算公开课优质教学设计教案
2.2 平面向量的线性运算[教学目标]一、知识与能力：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；3．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。
4．理解实数与向量的积和它的几何意义；5．理解实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；6．理解一个向量与非零向量共线的充要条件；会表示与非零向量共线的向量，能判断两个向量是否共线二、过程与方法：1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．[教学重点]向量加法、减法定义的理解；实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．[教学难点]向量加法、减法的意义；向量共线的充要条件．[教学时数]2课时。
[教学过程]第一课时一、新课导入1．物理学中，两次位移,OA AB的结果与位移OB是相同的。
2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。
二、向量的加法1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b 的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC+=求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a例1 已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。
作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。
高中数学 《向量的线性运算》教案(1)
向量的线性运算【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。
最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。
【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量难点：对向量加法定义的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为→--OA，从景点A到景点B的位移为→--AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB●这里，向量→--OA,→--OB,→--OC三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
必修四-2.2--平面向量的线性运算(教案)
必修四 -2.2-- 平面向量的线性运算( 教课设计)人教版新课标一般高中◎数学④必修2. 2平面向量的线性运算教课设计 A第 1课时教课目的一、知识与技术1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义 .2．会用三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量，培育数形联合解决问题的能力 .3．经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的互换律和联合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，能够合成，并且知道这些矢量的合成都依照平行四边形法例，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得1人教版新课标一般高中◎数学④必修出向量加减法的三角形法例、平行四边形法则，并对向量加法的互换律、联合律进行证明，同时运用他们进行有关计算，这可让同学们进一步增强对向量几何意义的理解．三、感情、态度与价值观1．经过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转变，培育学生的数学应意图识．2．领会数学在生活中的作用．培育学生类比、迁徙、分类、概括等能力．教课重点、难点教课重点：会用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量．教课难点：理解向量加减法的定义．教课重点：向量加法的三角形法例和平行四边形法例的研究指引 .教课打破方法：由物理中力的合成与分解拓展延长，指引学生商讨获取结论．教法与学法导航2人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法；启迪引诱，讲练联合．学习方法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启迪我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义．联合图形掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和联合律．教课准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课上一节，我们一同学习了向量的有关观点，明确了向量的表示方法，认识了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等观点，并接触了这些观点的辨析判断．数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？这一节，我们将借3人教版新课标一般高中◎数学④必修助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题研究，合作沟通提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应如何定义向量的加法？2.向量加法的法例是什么？3.与数的运算法例有什么不一样？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师指引学生回首物理中位移的观点，位移能够合成，如图．某对象从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 AB 、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC 结果相同．力也能够合成，老师指引，让学生共同研究以下的问题 .图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 GC 的方向伸长了 EO；图（2）表示撤去4人教版新课标一般高中◎数学④必修F1和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力 F1与 F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现 F 与 F1、F2之间的关系吗？力 F 对橡皮条产生的成效与力F1与 F2共同作用产生的成效相同，物理学中把力 F 叫做F1与 F2的协力．协力 F 与力 F1、F2有如何的关系呢？由图（3）发现，力 F 在以 F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启迪我们，从运算的角度看， F 能够以为是 F1与 F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．议论结果： 1.向量加法的定义：以以下图，5人教版新课标一般高中◎数学④必修已知非零向量 a、b，在平面内任取一点A，作AB =a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b= AB + BC = AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法例：（1）向量加法的三角形法例在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法例．运用这一法例时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成能够看作向量加法三角形法例的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法例如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量6人教版新课标一般高中◎数学④必修a、b 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC 就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法例．力的合成能够看作向量加法平行四边形法例的物理模型．对于零向量与任一向量 a ，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量乞降时，用三角形法例较为适合．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思虑|a+b|，|a|，|b|存在着如何的关系？3.数的运算和运算律密切联系，运算律能够有效地简化运算．近似地，向量的加法能否也有运算律呢？师生互动：察看实质例子，教师启迪学生思虑，并合时点拨，引诱，研究向量的加法在特别状况下的运算，共线向量加法与数的加法7人教版新课标一般高中◎数学④必修之间的关系．数的加法知足互换律与联合律，即对随意 a，b∈R，有 a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．随意愿量a，b的加法能否也知足互换律和联合律？指引学生绘图进行研究．议论结果： 1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点 ;在数轴上的两个向量相加，它们的和还是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当 a，b 不共线时， |a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边） ;当 a，b 共线且方向相同时， |a+b|=|a|+|b|;当 a，b 共线且方向相反时， |a+b|=|a|- |b|（或 |b|- |a|）．此中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a 的长度小于向量 b 的长度时， |a+b|=|b|- |a|．一般地，我们有 |a+b| ≤|a|+|b|．3.以下左图，作AB =a，AD =b，以 AB、AD 为邻边作 ABCD，则BC =b，DC =a．因为 AC =AB+AD=a+b， AC =AD+ DC =b+a，所8人教版新课标一般高中◎数学④必修以 a+b=b+a．如上右图，因为 AD=AC+CD=（ AB+BC）+CD=（a+b）+c，AD = AB + BD = AB +（BC+CD）=a+（b+c），所以（ a+b）+c=a+（b+c）．综上所述，向量的加法知足互换律和联合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法例和三角形法例，那么，向量的减法能否也有近似的法例？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，所以向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的观点，这个观点又该如何定义？指引学生思虑，相反向量有哪些性质？9人教版新课标一般高中◎数学④必修因为方向反转两次仍回到本来的方向，因此 a 和- a 互为相反向量．于是-（- a）=a．我们规定，零向量的相反向量还是零向量．任一直量与其相反向量的和是零向量，即a+（- a）=（- a）+a=0．所以，假如a、b 是互为相反的向量，那么a=- b，b=- a，a+b=0．A.平行四边形法例如上图，设向量AB =b，AC=a，则AD =-b，由向量减法的定义，知AE =a+（-b）=a-b．又b+ BC =a，所以BC =a- b．由此，我们获取a- b 的作图方法．B.三角形法例10人教版新课标一般高中◎数学④必修如上图，已知 a、b，在平面内任取一点O，作 OA =a，OB =b，则BA=a-b，即a-b能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．议论结果：①向量减法的定义．我们定义a- b=a+（- b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法例和三角形法例，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形联合思想的重要表现．三、拓展创新，应用提升例 1 以下左图，已知向量 a、b，求作向量a+b．活动：教师指引学生，让学生研究分别用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作11人教版新课标一般高中◎数学④必修两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生领会作法中在平面内任取一点 O 的依照——它表现了向量起点的随意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法例作图时应重申向量的起点放在一同，而用三角形法例作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点 O（上中图），作 OA =a，AB=b，则 OB =a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA =a， OB =b．以OA、OB为邻边作OACB，连结 OC，则OC =a+b．例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮渡进行运输．以以下图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及12人教版新课标一般高中◎数学④必修船实质航行的速度（保存两个有效数字）;（2）求船实质航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精准到度）．活动：本例联合一个实质问题说明向量加法在实质生活中的应用．这样的问题在物理中已有波及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，领会此中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．指引点拨学生正确理解题意，将实质问题反应在向量作图上，进而与初中学过的解直角三角形成立联系．解：如上右图所示，AD 表示船速，AB 表示水速，以 AD、AB 为邻边作 ABCD，则AC表示船实质航行的速度．（2）在 Rt△ABC 中， |AB |=2， |BC |=5，所以| |=≈5 ．AC|AB |2|BC|2 2 25229. 413人教版新课标一般高中◎数学④必修因为tan ∠ CAB=29，由计算器得∠2CAB=68°．答：船实质航行速度的大小约为 5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为 68°．评论：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例 3 如图（ 1）已知向量 a、b、c、d，求作向量 a- b，c- d．活动：教师让学生亲身着手操作，指引学生注意规范操作，为此后解题打下优秀基础;点拨学生依据向量减法的三角形法例，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（ 2），在平面内任取一点 O，作OA =a，OB =b，OC =c，OD =d．则BA=a-b，DC =c-d．例 4 如图， ABCD 中，AB =a，AD =b，你能用 a、b 表示向量AC、DB吗？14人教版新课标一般高中◎数学④必修活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其余向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法例，我们知道 AC =a+b，相同，由向量的减法，知DB = AB - AD =a-b．四、小结1．先由学生回首本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法例和平行四边形法例，向量加法知足互换律和联合律，几何作图，向量加法的实质应用．2．教师与学生一同总结本节学习的数学方法：特别与一般，概括与类比，数形联合，分类议论，特别是经过知识迁徙类比获取新知识的过程与方法．15人教版新课标一般高中◎数学④必修讲堂作业1．以下等式中，正确的个数是（）① a+b=b+a② a-b=b③ 0-a=-a ④-（- a）=a⑤a+（ - a）=0A．5B．4 C．3D．22．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边AB、BC、CA的中点，则 AF - DB等于（）A．FD B．FC C．FE D．BE3．以下式子中不可以化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BC B．（AD + MB）+（BC +CM）C．MB AD BM D．OC- OA+CD4．已知 A、B、C 三点不共线， O 是△ABC内一点，若 OA + OB + OC =0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内16人教版新课标一般高中◎数学④必修心D．外心参照答案：1．C 2．D 3．C 4．A.第 2课时教课目的一、知识与技术1．经过经历研究数乘运算法例及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量能否平行．二、过程与方法充足抓住本节教课中的学生研究、猜想、推证等活动，指引学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生研究向量数乘的结果还是向量（特别地 0·a=0），它的几何意义是把向17人教版新课标一般高中◎数学④必修量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或减小，当λ>0 时，λa与 a 方向相同，当λ<0 时，λa 与 a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量能否共线．而后对所研究的结果进行运用拓展．三、感情、态度与价值观经过研究，领会类比迁徙的思想方法，浸透研究新问题的思想和方法，培育创新能力和积极进步精神．经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用．教课重点、难点教课重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教课难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教课重点：两个向量共线的等价条件的研究过程的指引 .教课打破方法：从向量共线的定义出发，指引学生疏组议论，得出结果．教法与学法导航18人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法：问题式教课，启迪引诱．学习方法：合作商讨，在向量加减法的基础长进行推行．教课准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课前一节课，我们一同学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简易计算及推行．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法能够当作是相同实数加法的简易计算方法，那么相同向量的乞降运算能否也有近似的简易计算．二、主题研究，合作沟通提出问题：①研究：已知非零向量 a，试一试作出 a+a+a和（ - a）+（- a）+（- a）．② 你能说明它们的几何意义吗？19人教版新课标一般高中◎数学④必修③ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的地点关系吗？如何理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：指引学生回首有关知识并猜想结果，对于运算律的考证，点拨学生经过作图来进行．经过学生的着手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要指引学生特别注意 0·a=0，而不是 0·a=0．这个零向量是一个特别的向量，它仿佛很不起眼，但又到处存在，略不注意就会犯错，所以要指引学生正确理解和办理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量能够求积，可是不可以进行加、减运算，比方λ+a，λ-a 都没法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相像，不过数乘运算的分派律有两种不一样的形式：（λ+μ）a=λa+μa 和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的重点是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量能否平行（共线），实质上就是看可否找出一个实数，使得这个实数乘以20人教版新课标一般高中◎数学④必修此中一个向量等于另一个向量．必定要确实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题①，学生经过作图可发现，OC = OA +AB+ BC =a+a+a．近似数的乘法，可把a+a+a 记作3a，即OC =3a．明显 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即|3a|=3|a|．相同，由以下图可知，PN =PQ QM MN =（-a）+（-a）+（-a），即（ - a）+（- a）+（- a）=3（- a）．明显3（- a）的方向与 a 的方向相反， 3（- a）的长度是 a 的长度的 3 倍，这样， 3（- a） =- 3a．对问题②，上述过程推行后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度21人教版新课标一般高中◎数学④必修与方向规定以下：（1） |λa|=|λ||a|；（2）当λ>0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．由（1）可知，λ=0 时，λa=0．依据实数与向量的积的定义，我们能够考证下边的运算律．实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么（1）λ（μa）=（λμ）a；（2）（λ+μ）a=λa+μa；（3）λ（a+b）=λa+λb．特别地，我们有（ - λ）a=- （λa）=λ（- a），λ（a- b）=λa-λb．对问题③，向量共线的等价条件是：假如a（a≠0）与 b 共线，那么有且只有一个实数λ，使 b=λa．推证过程教师可指引学生自己达成，推证过程以下：对于向量 a（a≠0）、b，假如有一个实数λ，使 b=λa，那么由向量数乘的定22人教版新课标一般高中◎数学④必修义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即 |b|=μ|a|，那么当 a 与 b 同方向时，有 b=μa；当 a 与 b 反方向时，有 b=-μa．对于向量共线的条件，教师重点拨学生做进一步深层研究，让学生思虑，若去掉 a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是经过 0 与随意愿量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量能否共线时，只需看这两个向量的方向能否相同或相反即可，与这两个向量的长度没关．在没有指明非零向量的状况下，共线向量可能有以下几种状况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（ 5）反向且模相等；（6）反向且模不等．议论结果：①数与向量的积还是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确立，大小由 |λ|·|a|确立．②它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或23人教版新课标一般高中◎数学④必修a的反方向放大或减小．③向量的平行与直线的平行是不一样的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包括没有交点的状况，又包括两个向量在同一条直线上的情况．三、拓展创新，应用提升例1 计算：（1）（- 3）×4a；（2）3（a+b）- 2（a- b）- a；（3）（2a+3b- c）-（3a- 2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己达成，要修业生娴熟运用向量数乘运算的运算律．教课中，点拨学生不可以将此题看作字母的代数运算，能够让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特色．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于随意愿量a、b，以及随意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．24人教版新课标一般高中◎数学④必修解：（1）原式 =（- 3×4）a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b- a=5b；（3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b- 2c．评论：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程能够模仿多项式运算中的“归并同类项”．例 2 如图，已知随意两个非零向量 a、b，试作 OA =a+b，OB =a+2b，OC =a+3b．你能判断A、B、C 三点之间的地点关系吗？为何？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教课中能够先指引学生作图，经过察看图形获取 A、B、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转变为用向量共线证明三点共线．此题只需指引学生理清思路，详细过程可由学生自己完成．此外，此题是一个很好的与信息技术整合的题材，教课中能够经过计算机作图，进行动向演示，揭露向量 a、b 变化过程中， A、B、25人教版新课标一般高中◎数学④必修C三点一直在同一条直线上的规律．解：分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点A、C作直线AC（如上图）．察看发现，无论向量a、 b 如何变化，点 B 一直在直线AC上，猜想 A、B、C 三点共线．事实上，因为 AB =OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而 AC =OC - OA =a+3b-（a+b）=2b，于是 AC=2AB．所以 A、B、C 三点共线．评论：对于三点共线问题，学生接触许多，这里是用向量证明三点共线，方法是一定先证明两个向量共线，并且有公共点．教师指引学生解完后进行反省，领会向量证法的新奇独特．例 3如图，ABCD 的两条对角线订交26人教版新课标一般高中◎数学④必修于点 M，且AB =a，AD =b，你能用 a、b表示MA、MB、MC 和MD吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．此外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教课中能够给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC =AB+AD=a+b，DB=AB-AD=a-b，又∵平行四边形的两条对角线相互均分，111a-1∴MA = 2AC = 2（a+b）=22 b，MB =21 DB =12（a-b）=21a-21b，MC=1AC =1a+1b，222MD =MB=-1DB =-1a+1b．222评论：联合向量加法和减法的平行四边形法例和三角形法例，将两个向量的和或差表示27人教版新课标一般高中◎数学④必修出来，这是解决这种几何题的重点．四、小结1．让学生回首本节学习的数学知识：向量的数乘运算法例，向量的数乘运算律，向量共线的条件．2．领会本节学习顶用到的思想方法：特别到一般、概括、猜想、类比、分类议论、等价转变．讲堂作业．11（2a+8b）-（4a- 2b）]等于（）1 3 [2A． 2a- b B．2b- a C．b- a D．a- b．设两非零向量1、e2不共线，且 ke1 22e+e 与 e12共线，则 k 的值为（）+keA． 1B．- 1 C．±1D．03．若向量方 2x- 3（x- 2 a）=0，则向量x等于（）28人教版新课标一般高中◎数学④必修A．6a B．- 6a5C．6a D．6a54．在△ABC 中，AE = 1AB， EF ∥BC，EF5交 AC 于 F，设AB =a，AC =b，则BF用 a、b 表示的形式是 BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N、P 分别是AB、BC、CA 边上的凑近 A、B、C 的三均分点， O 是△ABC 平面上的随意一点，若11=________．+=1-2，则OA OB OC OM ON OP6．已知△ABC 的重心为 G，O 为坐标原点， OA =a， OB =b， OC =c，求证： OG =1（a+b+c）．3参照答案：1. B2. C3. C4 ．- a+ 1 b5 5．1 e1-1 e2．3229人教版新课标一般高中◎数学④必修6．连结 AG 并延长，设 AG 交BC于 M ．∵AB =b-a，AC=c-a，BC=c-b，∴AM=AB+1BC =（b-a）+1（ c- b） =1222（c+b- 2a）．∴AG =2AM=13（c+b-2a）．3∴OG = OA+ AG =a+1（c+b-2a）=1（a+b+c）．33教课设计 B第 1课时教课目的一、知识与技术1．理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法例和平行四边形法例；2．会用向量加法的互换律与联合律进行向量运算．二、过程与方法30人教版新课标一般高中◎数学④必修经历向量加减法观点、法例的建构过程；经过察看、实验、类比、概括等方法培育学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力．三、感情、态度与价值观经历运用数学来描绘和刻画现实世界的过程；在着手研究、合作沟通中培育学生勇于研究、敢于创新的个性质量．教课重点、难点重点：运用向量加减法的三角形法例和平行四边形法例，作两个向量的和向量和差向量．难点 :理解向量的加减法法例及其几何意义．教课假想一、创建情境：类比是人类思想中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也拥有数的特征，那么向量也应当是能够进行运算的，那么向量的运算又如何呢？31人教版新课标一般高中◎数学④必修二、研究新知：（一）教师指引学生认真阅读课本，分组议论，概括以下：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．注意：两个向量的和依旧是向量（简称和向量）2．三角形法例：a a ab bb a+a a+a+●b A B重申：（1）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点．32人教版新课标一般高中◎数学④ 必修（2）能够推行到 n 个向量连加．（ 3） a 0 0 a a ．（ 4）不共线向量都能够采纳这种法例——三角形法例．3．已知向量 a 、 b ，求作向量 a +b .作法：在平面内取一点Oa AO ，作 OA bbba ABb ，a a B则 OB a b .4．加法的互换律和平行D四边形法例a +b b+c c上题中 b + a 的结果与Aa +bCa +b 能否相同，考证结果相a b同．进而获取：B（ 1）向量加法的平行四边形法例；（ 2）向量加法的互换律： a +b = b + a .5． 向量加法的联合律：（ a + b ） + c = a + （ b + c ）证：作图：使 ABa， BCb， CDc，则（ a + b ）+ c = AC CDAD，a + （ b + c ） = ABBDAD，∴（ a + b ）33人教版新课标一般高中◎数学④必修+c = a +（ b + c ）．进而，多个向量的加法运算能够依照随意的序次、随意的组合来进行．（二）教师指引学生认真阅读课本，类比向量加法的定义和运算法例，分组议论，概括以下：1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量．记作a.（2）规定：零向量的相反向量还是零向量．（ a）= a．任一直量与它的相反向量的和是零向量． a +（ a）= 0．假如 a、b 互为相反向量，则 a = b， b =a，a + b = 0．（3）向量减法的定义：．向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差．即： a b = a +（ b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．34。
人教版高中数学平面向量的运算教案2023
人教版高中数学平面向量的运算教案2023人教版高中数学平面向量的运算教案一、教学目标：1. 了解平面向量的概念及其表示方法；2. 掌握平面向量的加减法规则；3. 学会求平面向量的数量积；4. 能够应用平面向量的运算解决相关问题。
二、教学内容分析：1. 平面向量的概念：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、分量表示法。
3. 平面向量的加减法规则：平行四边形法则、三角形法则。
4. 平面向量的数量积：定义、性质、计算公式。
5. 平面向量的应用：力的合成与分解、几何问题。
三、教学过程：1. 引入活动：利用实物或图片展示平面向量的概念，引起学生的兴趣，激发他们的思考。
2. 知识讲解：（1）平面向量的表示方法：介绍坐标表示法和分量表示法，以及它们的区别和联系。
（2）平面向量的加减法规则：详细讲解平行四边形法则与三角形法则，并通过例题进行演示和解析。
（3）平面向量的数量积：给出定义和性质，讲解数量积的计算公式，并进行实例分析。
（4）平面向量的应用：介绍力的合成与分解问题，并通过实际案例引发学生思考和讨论。
3. 案例分析与解答：选择一些典型的题目，引导学生进行思考和解答，帮助他们理解和掌握平面向量的运算方法。
4. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生进行个人或小组完成，并给予及时的反馈和指导。
鼓励学生举一反三，将所学知识应用到其他相关问题中。
5. 拓展活动：引导学生进行一些拓展思考，如使用平面向量解决几何问题、应用平面向量解决实际生活中的问题等。
6. 总结与归纳：对本节课所学内容进行总结，并引导学生归纳出平面向量运算的基本规律和方法。
四、教学评价：1. 教师在实际教学过程中，要及时观察学生的学习情况，引导他们积极参与课堂讨论和练习，及时纠正他们的错误。
2. 学生可以通过课堂参与、小组合作、个人练习等形式进行评价，如思维导图、练习册、小组讨论记录等。
3. 教师可以根据学生的评价结果，及时调整教学策略，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的运算方法。
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第01讲 平面向量及其线性运算高考《考试大纲》的要求：① 了解向量的实际背景。
② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③ 理解向量的几何表示。
④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义; （一）基础知识回顾：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;5.向量的运算:加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使=_____________________.8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则++ =_________,++ =____________. （二）例题分析：例1.下列命题中，正确的是（ ）A ．若c b b a //,//，则//B ．对于任意向量b a ,+≥+C=，则=或-= D ．对于任意向量b a ,-≥+例2．（2007北京理)已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =例3．(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b +（三）基础训练：1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．2．（2007湖南文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+D . EF OF OE =--3．（2003辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）ABCDA ．)1,0(),(∈+λλAD ABB ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+5．（2003江苏；天津文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( ) （A ）２ （B ）12（C ）－３ （D ）－137．设b a ,是两个不共线的非零向量，若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反，则k=__________.8.（2007江西理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为.（四）拓展与探究：11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）A ．1230b b b -++=B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=12. （2006湖南理）如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是;当12x =-时,y 的取值范围是.第02讲 平面向量的坐标表示高考《考试大纲》的要求：AOMPB① 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示② 学会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; ③ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（一）基础知识回顾：1. 平面向量的正交分解及其坐标表示:),(y x y x =+=.2. 平面向量的坐标运算:若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),λ∈R,则+=__________________;-=__________________ ; λ=___________________.3. 向量平行的坐标表示://⇔______________________ .4. 向量模的公式:设=(x,y),=______________________6. 若已知点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2), 则向量AB =______________________; 若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________00y x（二）例题分析：例1.(2008安徽理)在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若(2,4)AB =,(1,3)AC =,则BD =( )A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）例2.(2004春招安徽文)已知向量)4,3(c ),3,2(b ),2,1(a === ,且b a c 21λλ+=,则21,λλ的值分别是( )（A ）－2，1 （B ）1，－2 （C ）2，－1 （D ）－1，2例3.(2005全国卷III 理、文)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A 、B 、C 三点共线，则k= _______ .（三）基础训练：1．(2008四川文)设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( ) （Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,32．（2006全国Ⅱ卷文）已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝( ) （A ）9 (B)6 (C)5 (D)33.（2004浙江文）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = ( ) （A ）43 （B ）43- （C ）34 （D ）34-4．(2007海南、宁夏文、理)已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，5．(2008辽宁文)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =， 则顶点D 的坐标为（ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，6．（2006山东文）设向量a =(1,－3), b =(－2,4),若表示向量4a ,3b －2a ,c 的有向线段首尾相接 能构成三角形，则向量c 为（ ）(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）7．（2005湖北文）已知向量=(－2, 2) ,=(5, k). +不超过5，则k 的取值范围是() A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－6，2]D ．[－2，6]8．(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且∥，则32+=（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）9．（2004天津理、文）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则=( ) A. )6,3(- B. )6,3(- C. )3,6(- D. )3,6(-10．(2008湖南文) 已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则||b a +=________.11、（2004上海文）已知点A(-1,5)和向量=（2,3）,若AB =3,则点B 的坐标为. .12．(2008全国Ⅱ卷文、理)设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ．（四）拓展与探究：13.（2004上海理）已知点A(1, －2),若向量与=（2,3）同向 =213,则点B 的坐标为14.(2004春招安徽理)已知向量集合M ＝{a →|a →＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a →|a →＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R }. 则M ∩N ＝( )A .{(1，1)}B .{(1，1)，(－2，－2)}C .{(－2，－2)}D .Φ第03讲 平面向量的数量积高考《考试大纲》的要求：① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算④ 能运用数量积表示两个 向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。