初中数学教学课件：垂线(人教版)

a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
3.垂直的书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，A
D
∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足
为O。
书写形式：
O
∵∠AOD=90°（已知） C
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中，垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
A
B
C3 C1
O
C2
D C4
特别强调:
垂线段是垂线上的一部分，它是线段， 一端是一个点，另一端是垂足。
P
A
B
D
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离。
P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线
则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD;
B F
CE D MA
P
NB
小结：
1、垂线的定义
2、垂线的画法
一、放；二、靠；三、移；四、画线
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
祝同学们学习进步
新人教版-七年级（下）数学-第五章
5 .1.2 垂线（2）
一、学习目标
1、了解垂线段的概念, 2、了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离 的意义, 3、学会度量点到直线的距离。
(A)、AC (B)、BC、(C)、CD (D)、不能确定 C
A
D
B
例2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂 足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解：∵∠ABC=90°(已知 )
∠1=60°（已知 ） A
∴∠ABO=30°（余角定义）
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，
那么，∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂直,O
叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的
垂线。
a
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
a
αb O
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为：
解: ∵ AB⊥OE （已知）
CE
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) 1(
∵ ∠BOD= ∠1=55°
AO
B
（对顶角相等）
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
解：∵ AC⊥BC于C(已知）
C
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
E
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∵ DE⊥BC于E(已知）A
D
B
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
m
30
m
20
例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
A
25m
8m C 答:……。 B
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
请同学们
A
则所画直线AB是过点
画一下
A的直线l的垂线.
B
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角4板,把5 三6 角7板的8 一9 直1角0 边11 靠在直尺上;
过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直.
如图，请你过点P画出线段AB或射 线AB的垂线.
E
E
E
画一条线段或射线的垂线，就是画它们 所在直线的垂线.
思考： 在灌溉时，要把河中的水引到
农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
P
请你画图，把这个问题转化为数学问题.
∟
P
l DC B A 0 E F 如图PO⊥l ，我们称PO为点P到直线l 的垂线段.
新人教版-七年级（下）数学-第五章
5 .1.2 垂线（1）
一、学习目标
1、了解垂直的概念； 2、能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的 一条垂线，并且只能画出一条垂线”； 3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线； 4、会用几何语言准确表达能力。
二、重点和难点
重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：垂线的性质
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=125°,求∠COE的度数.
CE
A 1O B D
垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
1.垂线的画法：
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
0 2靠1 :靠2 三3 角4板,把5 三6 角7板的8 一9 直1角0 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的性质（1）:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是
画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
A
M
B ∴直线MF为所
求垂线。
CN
FD
拓展应用1
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火 车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近） ，请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓展应用2
G
D
C
问题1：长方体的顶点A处有一 只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说 明理由。
二、重点和难点
重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离 的概念及其简单应用。
难点：点到直线的距离的概念的理解。
一、复习
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角
中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂
直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足。
a
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
垂线的性质（1）
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l 的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就 是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
一条直线的垂线有无数条.
过直线上一点能画这条直线 的垂线吗？能画几条？
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
o
过直线上一点有且只有 一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点能画这条直线的垂 线吗？能画几条？
1. 放
o
2. 靠
3. 移
4. 画
过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质1：
经过一点（已知直线上或直线外），能 画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一 条垂线，即：
那么，∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂线的画法复习：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B 则所画直线AB是过
点A的直线l的垂线.
l A
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
观察与思考
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角
中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂
O
∵BO⊥AC于O点 （已知）
2
∴∠BOC=90°（垂直定义） ）1
又∵∠2=∠1=60°（已知）B D
C
∴∠BOD=30°（余角定义）
想一想： 已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的 长是A到BC的距离吗？
A
答：不能。
B
D EC
例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E,试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
3、垂线的性质（2）
垂线段最短
祝同学们学习进步
第五章 相交线与平行线