2015年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程

2015年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程

主编：宁永辉

第一部分：极坐标知识点讲解

一、极坐标系与极坐标：

1、极坐标系：

如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。

其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。

2、极坐标的表示：

如下图所示：

点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角

ρ。

用θ表示。点P的极坐标为)

(θ

,

二、极坐标与直角坐标的转换：

1、极坐标与直角坐标的对应关系：

如下图所示：

2、极坐标转换为直角坐标：

θ

ρc o s =x ； θρs i n

=y ； 例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。

（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)2

3,3(π

（5）、),4(π

【解析】：（1）、12123

c o s

2=⨯

=⋅=π

x ；32

3

23sin 2=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)3,2(π

转换为直角坐标)3,1(。

（2）、23)21(332cos

3-=-⨯=⋅=πx ；23323332sin 3=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)32,

3(π转换为直角坐标)2

33,23(-。 （3）、因为：极角2π

θ=

；所以：点)2,4(π

在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π

在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-；

（5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ； 2

2

s i n y x y +=

θ；

2

2

c o s y

x x +=

θ；

x

y

=θt a n

例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。

（1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2(

【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，3

3

tan =

θ，点)3,3(为第一象限角，6πθ=。

所以：直角坐标)3,3(对应的极坐标为)6,32(π

。

（2）、2)3()1(22=+-=ρ，31

3

tan -=-=

θ，点)3,1(-为第二象限角，32πθ=。 所以：直角坐标)3,1(-对应的极坐标为)3

2,2(π

。 （3）、222)2(22=+-=ρ，12

2

tan -=-=

θ，点)2,2(-为第二象限角，43πθ=。

所以：直角坐标)2,2(-对应的极坐标为)4

3,22(π

。

（4）、22)2()6(22=-+=ρ，33

6

2tan -

=-=

θ，点)2,6(-为第四象限角，6πθ-=。 所以：直角坐标)2,6(-对应的极坐标为)6

,22(π

-。

（5）、20)2(22=+-=ρ，点)0,2(-在x 轴的负半轴上，πθ=。 所以：直角坐标)0,2(-对应的极坐标为),2(π。

（6）、66022=+=ρ，点)6,0(在y 轴的正半轴上，2

π

θ=

。

所以：直角坐标)6,0(对应的极坐标为)2

,6(π

。

（7）、3)3(022=-+=ρ，点)3,0(-在y 轴的负半轴上，2

π

θ-

=。

所以：直角坐标)3,0(-对应的极坐标为)2

,3(π- 。 （8）、20222=+=ρ，点)0,2(在x 轴的正半轴上，0=θ。 所以：直角坐标)0,2(对应的极坐标为)0,2(。 三、常见的极坐标方程。

1、直线的极坐标方程。 第一类：直线的极坐标方程。

αρ=（α为一个具体的角度）。

例一：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。 （1）、3

π

θ=

（2）、65πθ=

（3）、4πθ-= （4）、6

7π

θ= 【解析】：（1）、如下图所示：

33

tan

tan ===π

θk ；所以：直线的方程为x y 3=（0≥x ）

（2）、如下图所示：

3365tan

-==πk ；所以：直线的方程为)0(3

3

≤-=x x y （3）、如下图所示：

1)4

tan(-=-=π

k ；所以：直线的方程为x y -=（0≥x ）

（4）、如下图所示：

3367tan

==πk ；所以：直线的方程为x y 3

3

=（0≤x ）

第二类：直线的极坐标方程。

b a =+)cos(ϕθρ或者b a =+)sin(ϕθρ（其中b a ,是常数，ϕ是一个具体的角度）

例二：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。

（1）、5)3cos(2=-πθρ （2）、2)6s i n (

3=--π

θρ （3）、2)4cos(-=+πθρ （4）、2)4s i n (

=+-π

θρ 【解析】：（1）、5)s i n 2

3

c o s 21(25)3s

i n s i n 3

c o s

(

c o s 25)3

c o s

(2=+⇒=+⇒=-θθρπ

θπ

θρπ

θρ 535sin 3cos =+⇒=+⇒y x θρθρ。

（2）、2)cos 2

1

sin 23(32)cos 6sin 6cos (sin 32)6sin(3=--⇒=--⇒=--θθρθππθρπθρ

22

3

2332cos 23sin 233=+-⇒=+-

⇒x y θρθρ。 （3）、2)sin 2

2

cos 22(

2)4sin sin 4cos (cos 2)4cos(-=-⇒-=-⇒-=+θθρπθπθρπθρ 22

2

222sin 22cos 22-=-⇒-=-⇒

y x θρθρ。 （4）、2)cos 2

2

sin 22(

2)cos 4sin 4cos (sin 2)4sin(=+-⇒=+-⇒=+-θθρθππθρπθρ