2021届高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件苏教版

知识点二 空间几何体的表面积与体积公式
1．思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )
(4)已知球
O
的半径为
R，其内接正方体的边长为
则几何体的体积为 V＝V1＋V2＝72＋24＝96. 方法 2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝BB′＝CC′＝8，所以 V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S△ABC×AA′ ＝12×24×8＝96.
考点三 球的接、切问题
【例 5】 (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O
又 BE⊥EC1，且 EC1 与 C1B1 相交于 C1，所以 BE⊥平面 EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所 以 ∠AEB ＝ ∠A1EB1 ＝ 45°，故 AE ＝ AB ＝3 ， AA1 ＝ 2AE＝ 6. 作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3.所以， 四棱锥 E-BB1C1C 的体积 V＝13×3×6×3＝18.
第七章
立体几何
第二节 空间几何体的表面积与体积
最新考纲
考情分析
1.本节内容是高考中的重点内容，涉及空间几
何体的表面积与体积的计算等内容． 了解球、棱柱、 棱锥、台的表 2．命题形式主要以选择题、填空题为主，主 面积和体积的 要考查空间几何体表面积与体积的计算，同 计算公式． 时着重考查空间几何体的结构特征、三视图
h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1＋h2＝B1D1＝ 2a. 由题意得，V 四棱锥 C1-B1EDF＝V 三棱锥 B1-C1EF＋V 三棱锥 D-C1EF ＝13·S△C1EF·(h1＋h2)＝16a3.
方法技巧 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体， 则可直接利用公式进行求解. 2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换 法、分割法、补形法等方法进行求解.
中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为( C )
A．3
B．32
C．1
D．
3 2
(3)已知 A，B，C，D 是球 O 上不共面的四点，且 AB＝BC＝AD＝
1，BD＝AC＝ 2，BC⊥AD，则球 O 的体积为( A )
A．
3 2π
B． 3π
C．2 3π
D．4 3π
(4)一直角三角形的三边长分别为 6 cm,8 cm, 10 cm，绕斜边旋转一
1．(方向 1)如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长
为 3，D 为 BC 的中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为( C )
A．3 C．1
B．32
D．
3 2
解析：如题图，因为△ABC 是正三角形，且 D 为 BC 中点， 则 AD⊥BC．又因为 BB1⊥平面 ABC，AD⊂平面 ABC，故 BB1⊥AD， 且 BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面 BCC1B1，所以 AD⊥平面 BCC1B1， 所以 AD 是三棱锥 A-B1DC1 的高．所以 V 三棱锥 A-B1DC1＝13S△B1DC1·AD ＝13× 3× 3＝1.
等内容，解题要求有较强的空间想象能力和
计算能力，广泛应用转化与化归思想.
01知识梳理·诊断自测 02考点探究·明晰规律
课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 空间几何体的表面积 1．多面体的表面积 多面体的各个侧面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面
积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
a，则
R＝
3 2
a.( √ )
解析：(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，
故不正确．
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确．
2．小题热身
(1)一个球的表面积是 16π，那么这个球的体积为( B )
A．136π
B．332π
C．16π
D．24π
(2)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC
2．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78.SA 与 圆锥底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为
40 2π . 解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S′，连接 AS′，
SS′.△SAB 的面积为12·SA·SB·sin∠ASB＝12·SA2·
×12×
23＝
3 12 .
命题方向 3 割补法求体积
【例 4】 (2020·广州调研)已知 E，F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AA1，CC1 的中点，则四棱锥 C1-B1EDF 的体积为
___16_a_3___． 【解析】 连接 EF，B1D．设 B1 到平面 C1EF 的距离为
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 空间几何体的表面积
【例 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直 线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的
表面积为( B )
A．12 2π C．8 2π
B．12π D．10π
(2)如图，在直角梯形 ABCD 中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线 EF 折起，使得∠AEB 为直角，连接 AB，CD，求所得的几何体的表面 积和体积．
1－cos2∠ASB＝ 1165·SA2＝5 15，∴SA2＝80，SA＝4 5. ∵SA 与底面所成的角为 45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝ SA·cos45°＝4 5× 22＝2 10.∴底面周长 l＝2π·AS′＝4 10π，∴ 圆锥的侧面积为12×4 5×4 10π＝40 2π.
考点二 空间几何体的体积 命题方向 1 直接利用公式求体积
【例 2】 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， 点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面 EB1C1； (2)若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E-BB1C1C 的体积．
【 解 】 (1) 由 已 知 得 B1C1⊥ 平 面 ABB1A1 ， DBE ⊂ 平 面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.
2．(方向 2)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长均为 2，D 为
23 棱 B1C1 上任意一点，则三棱锥 D-A1BC 的体积是 3 .
解析：VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝13×S△B1BC×
3＝2
3
3 .
3．(方向 3)如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥ 平面 ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体 积．
周所得几何体的表面积为 3356π cm2 .
(5)(2020·福州模拟)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，
SA 与圆锥底面所成的角为 30°，若△SAB 的面积为 8，则该圆锥外接球
的表面积是 64π .
解析：(1)设球的半径为 R，则由 4πR2＝16π，解得 R＝2，所
以这个球的体积为43πR3＝332π.
答案：96
解析：方法 1：如图，取 CM＝AN＝BD，连接 DM，MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱 锥．
则 V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥． 由题知三棱柱 ABC-NDM 的体积为 V1＝12×8×6×3＝72.
四棱锥 D-MNEF 的体积为 V2＝13×S 梯形 MNEF×DN＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，
所以 S△AEB＝12×2×2＝2， S 梯形 ABCD＝12×(2＋4)×2 2＝6 2， S 梯形 BEFC＝12×(2＋3)×2＝5， S 梯形 AEFD＝12×(3＋4)×2＝7， 在直角三角形 CMD 中，CM＝2 2，MD＝2，所以 CD＝2 3. 又因为 DF＝FC＝ 5，所以 S△DFC＝12×2 3× 2＝ 6，所以这个 几何体的表面积为 2＋6 2＋5＋7＋ 6＝14＋6 2＋ 6.
命题方向 2 等体积法求体积
【例 3】 如图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1，
且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1 的体积为( A )
A．
3 12
C．
6 12
B．
3 4
D．
6 4
【解析】 易知三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1
的体积，又三棱锥 A-B1BC1 的高为 23，底面积为12，故其体积为13
(2)由题意可知 AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得 AD⊥
平 面 DB1C1 ， 又 AD ＝ 2·sin60°＝
3，所以
VA-B1DC1
＝
1 3
AD·S△B1DC1＝13× 3×12×2× 3＝1，故选 C．
(3)由题，AB＝BC＝1，AC＝ 2，所以 AB2＋BC2＝AC2，所 以∠CBA＝2π，即 BC⊥AB，又 BC⊥AD，所以 BC⊥平面 ABD， 因为 AB＝AD＝1，BD＝ 2，所以 AB2＋AD2＝BD2，所以 AB⊥AD， 此时可将点 A，B，C，D 看成棱长为 1 的正方体上的四个顶点， 球 O 为正方体的外接球，设球 O 的半径为 R，故 2R＝ 12＋12＋12，
所以 R＝ 23，则球 O 的体积 V＝43πR3＝ 23π，故选 A．
(4)旋转一周所得几何体为以254 cm 为半径的两个同底面的 圆锥，其表面积为 S＝π×254×6＋π×254×8＝3356π(cm2)．
(5)由△SAB 的面积为 8，可得12SA2＝8，解得 SA＝4.取圆锥底 面圆的圆心为 O′，连接 SO′，AO′，由 SA 与圆锥底面所成的 角为 30°，可得圆锥的底面半径 AO′＝2 3，圆锥的高 SO′＝2. 设圆锥的外接球的半径为 R，球心为 O，则 O 在 SO′的延长线 上，连接 AO，则 AO2＝AO′2＋OO′2，即 R2＝(2 3)2＋(R－2)2， 解得 R＝4，所以该圆锥的外接球的表面积是 4πR2＝64π.
1．已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上
的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( C )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
解析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时， 三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO-ABC＝ VC-AOB＝13×12R2×R＝16R3＝36，故 R＝6，则球 O 的表面积为 S＝ 4πR2＝144π.
V1＝VABE-MCN＝S△ABE·AM＝12×2×2×2＝4，V2＝VC-MNFD＝ 13SMNFD·BE＝13×12×(1＋2)×2×2＝2，所求几何体体积为 V＝ V1＋V2＝4＋2＝6.
【答案】 (2)见解析
方法技巧 1多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔 接部分的处理. 2旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【解析】 (1)因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面 是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2， 所以该圆柱的表面积为 2×π×( 2)2＋2 2π×2 2＝12π.
(2)如图，过点 C 作 CM 平行于 AB，交 AD 于点 M，作 CN 平行于 BE，交 EF 于点 N，连接 MN.由题意可知 ABCM，BENC 都是矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，FN＝1，AB＝CM＝2 2，
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的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别
是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为( D )
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面
积公式 S ＝ 圆柱侧 2πrl
S ＝ 圆锥侧 πrl S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的 上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S 圆柱侧＝2πrlr―′―＝→rS 圆台侧＝π(r ＋r′)lr―′―＝→0S 圆锥侧＝πrl.