2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《圆的方程》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《圆的方程》【题型一】：圆的标准方程

【类型二】：圆的一般方程

【题型三】：点与圆的位置关系

【题型四】：与圆有关的轨迹问题

【题型一】：圆的标准方程

【例1】.已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程•【思路点拨】已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.

解析：设圆心为i a,a，r =| a |

I 3丿

2 f a千2

(6-a ) + J -一i =a2 I 3

丿

・• a = 3 或a =111

•••圆心为(3，1)(111，37)

•••圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112

总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程•

【变式训练】：

【变式1】若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )

2 2 2 2

A. (x-2) (y -1) -1

B.(X-2) (y 1) -1

2 2 2 2

C. (x 2) (y -1) =1

D. (x -3) (y T) =1

【解析】：依题意，设圆心坐标为(a,1)，其中a 0，则有14a一3| =1，由此解得a = 2 ,

25

因此所求圆的方程是(x 一2)2• (y-1)2 =1，选A.

【类型二】：圆的一般方程

【例2】•求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形•

【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程•

【解】：设所求的圆的方程为x2 y2 Dx Ey ^0，

'1+144 + D +12E +F =0,

依题意有丿49+100+7D+10E+F =0,

§1+4—9D +2E + F =0.

解得D=-2，E=-4，F=-95.

于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.

将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.

于是，圆的圆心D的坐标为(1, 2)，半径为10，图形如图所示

【总结升华】：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.

对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得r = 1 - (-2)2 ' (-4)2 ' (-4)2 -4(-95) =10.

【变式训练】：

【变式1】圆与y轴相切，圆心P在直线x_3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2.7 , 求此圆的方程。

【答案】：设圆方程为：(x「a)2• (y「b)2 = r2

•••且圆心(a,b)在直线x-3y = 0上，二a =3b

•••圆与y 轴相切，二r =|a| = 3| b|

故圆方程为(x-3b)2• (y-b)2 =9b2，又因为直线y=x截圆得弦长为2、弓，

则有(l3b】b l)2桃奶2二?©2，解得匕=±1

V2

故所求圆方程为：(x -3)2 (y-1)2 =9 或(x 3)2 (y 1)2=9。

【变式2】求经过点M (1,2)、N(3,4)且在x轴上截得的弦长为6的圆C的方程。

【答案】：方法一：设圆心(a,b)，半径长r，

由垂径定理可以得到圆C与x轴两交点为P(a-3,0)、Q(a 3,0),

由M(1,2)、N(3,4)得k MN “ 且MN 的中点坐标(2,3)，

则MN的垂直平分线方程为y-3 = -(x-2)，PQ的垂直平分线方程为x=a。

x = a

解方程组：丿得圆心C(a,5-a).

)一3 = -(x —2)

由|CP |=|CM |得.32(5 — a)2=、(a 一1)2(3_a) ：，解出a,- -6,a2=4.

当a^ -6 时，圆心G(-6,11) ,rj =130,圆 C 的方程为：(x • 6)2• ( y -11)2 = 130

当a^4 时，圆心C2(4,1)‘J =10，圆 C 的方程为(x-4)2• (y-1)2=10

故所求圆的方程为：(x 6)2 (y—11)2=130 或(x—4)2 (y—1)2=10.

方法二：设所求圆为x2 y2 Dx Ey F =0.

令y = 0得x2 Dx F = 0 ,在x轴上截得弦长为：

| x^x2 | (为x2)2-4><1X2D2-4F 6.

将M(1,2)、N(3,4)代入圆方程可得方程组：

「D+2E+F+5=0 0=-8 D=12

*3D +4E +F +25 =0，解出< Ej =-2 或$-22

D2—4F-36=0 IR =7 「=27

所求圆方程为x y -8x-2y，7=0 或x y •12x-22y，27=0.

【变式3】根据下列条件分别写出圆的方程：

(1) 圆过三个点(2, 2)，(5，3)，(6, 0)；

(2) 圆过三个点0(0,0), M (1,1), N (4,2).

【思路点拨】：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解

D - _8

【解析】：(1)设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F =0，解得：* E =-2

丁=12 所求圆方程为：x2 y2 -8x -2y，12 = 0 ;