运输问题的线性规划

i 1
i 1
j 1
产销不平衡运输问题的转化
5.1 运 输 问 题 的 数 学 模 型
令 ci,n1 0(i 1,2,, m)
可将不平衡的运输问题（5.3）化为如下的平衡运输问题
m n1
min S
cij xij
i1 j1
n1
xij
ai
j 1
m
s.t i1
xij
bj
m
n 1
ai bj
根据以上讨论可知，运输问题（5.2）的基矩阵应由m+n-1个线 性无关的列向量组成，这些列向量是约束方程Ax=b中去掉多余方程 后剩下的m+n-1个方程的系数列向量，因此在研究运输问题的基时 只要在A中找到m+n-1个线性无关的系数列向量就可以了。 运输问题中的约束方程和变量个数一般比较多。例如m=25,n=500 时，就有525个约束方程和12500个变量，这样的问题即使使用电子 计算机求解也很困难。但根据运输问题具有的特殊结构，有专门为 其设计的求解方法，这里不作介绍。对小规模的运输问题的求解， 可通过表上作业法和图上作业法去完成。
i1
j 1
ai 0, bj 0, xij 0(i 1,2,, m, j 1,2,, n 1)
产销不平衡运输问题的转化
5.1 运
（2）产量大于销量的运输问题
输 这时可增加一个设想的发点Am+1，发出量为
问 题
n
m
am1 bj ai
j 1
i 1
的 数
并令该发点到收点Bｊ的运价Cｍ＋１.ｊ＝０（ｊ＝１，２，…，ｎ）， 同样可将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题。
学
如无特别说明，本章仅限于对平衡问题的运输问题求解的讨
模
论。
型
同一般的线性规划问题一样，运输问题的最优解也一定能在
它的基本可行解中找到。由于运输问题（５.２）的约束系数矩阵
Ａ的前ｍ行之和恰好等于后ｎ行之和，即矩阵Ａ的行向量组线性
相关，因此Ａ的秩必小于ｍ+ｎ．
产销不平衡运输问题的转化
5.1
运
输
问
题
的 数
1 0 0
Байду номын сангаас
0
1
0
0
0
1
n行
C=(c11，c12，…，c1n，c21，c22，c2n，…，cm1，cm2，…cmn) B=（a1，a2，…，am，b1，b2，…bn)T X =(x11，x12，…，x1n，x21，x22，x2n，…，xm1，xm2，…xmn)T
产销不平衡运输问题的转化
主讲人： 制 作：
２００４年５月
第五章 运输问题
导
在处理产、供、销的经济活动中，
会经常遇到物资调拨的运输问题。如粮
棉油、煤炭、钢铁、水泥、化肥、木材
等物资要由若干个产地调运到若干个销
言
售地。问题是，怎样制定合理的调用方
案才能使总运输费用最少？本章将专门
讨论这类特殊形式的线性规划问题。
5.1 运 输 问 题 的 数 学 模 型
5.1 运 输 问 题 的 数 学 模 型
产销平衡的运输问题
其矩阵形式为 min S CX
s.t.XAX0,bb 0
1 1 1 0 0 0
0
00
1
11
A
0 1
00 00
0 1
00 00
0
10
0
10
0
01
0
01
0 0 0
0
0
0
m行
1
1
1
学
究这样一类运输问题：
模
型
产销平衡的运输问题
5.1
运
输
设有某种物资要从m个产地（或称发点）
问
Ai(i=1，2，…，m)运往n个销地（或称收点）Bj(j=1，
题
2，…n) ，Ai的产量为ai，Bj的销量为bj，把Ai运
的
到Bj的单位运价设为cij，问怎样编制调运方
数
案才能使总运费最少？
学
假设从Ai运到Bj的物资数量为xij，总运
单位：元/t
门市部
加工厂
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
A2
1
9
2
8
A3
7
4
10
3
问：该食品公司应如何调运，在满足各部门销售的情况下， 使总的运费支出为最少？
产销平衡的运输问题
5.1
运
输
问
无论全国或一个地区，在各种生产或生活物
题
资调运中都可以提出入上述问题类似的例子。
的
数
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研
1 00 0 00 0 10 0 00
学
0 01 1 11
模
0 0 0 1 0 0 1 0
型
0 00 0 10
0 00 0 01
5.1 运 输 问 题 的 数 学 模 型
产销不平衡运输问题的转化
因此秩（A）=m+n-1。同样可得A的增广矩阵 A=（a,b）的秩也 等于m+n-1。所以（5.2）式的m+n个等式约束中有一个是多余的， 于是增广矩阵 A的任意一行都可用其余m+n-1行线性表出。这样，运 输问题（5.2）中去掉任一个等式约束后就成为标准形式的线性规划 问题，便可用单纯形或对偶单纯形方法求解。
5.1
运 输
由于总量大于总销量，所以多余物资应储存在产地。 社某产地Ai的多余存储量为xi,n+1，于是运输问题的约束 条件方程组为：
问
n1
n
题
xij
x x a ij
i , n 1
i (i 1,2,, m)
的
j 1
j 1
数
m
学
xij bj
( j 1,2,, n)
模
i 1
型
则
m
m
n
xi,n1 ai bi bn1
5.1
m
n
运 （1）产量大于销量的情形 ai bj
输
i1
j1
问
其运输问题的数学模型是
题 的
mn
min S
cij xij
i1 j1
数
学
n
xij ai
模
j1
型
s.t. m xij bj
i1
ai 0,bj 0, xij 0(i 1,2,, m, j 1,2,, n)
产销不平衡运输问题的转化
产销平衡的运输问题
例 某食品公司经销的主要商品之一是糖果，它下面设有三个加 工厂。某个的产量分别为A1—7t， A2—4t， A3—9t该公司把这 些糖果分别运往四个地区的门市部销售，各地区每天的销售量为： B1—3t， B2—6t， B3—5t， B4—6t 。已知从各个加工厂到各销 售部门每吨的运价见下表：
n
１
c11 c12
…
c1n
２
c21 c22
…
c2n
m
cm1 cm2
…
cmn
产量ai
a1 a2
am
产销平衡的运输问题
5.1
运输问题的数学模型是:
运
nm
输
min S
cij xij
问
j1 i1
题 的
n
xij ai
j1
数
m
学
s.t i1
xij
bj
模
m
n
型
ai bj
i1
j 1
ai 0, bj 0, xij 0(i 1,2,, m, j 1,2,, n)
模
费为S，总产量=总销量。那么这个运输问题
型
的数学模型是：
5.1 运 输 问 题 的 数 学 模 型
产销平衡的运输问题
运输问题的数学模型是:
产销平衡表
产地 销地 1 ２ …
n
１
x11 x12
…
x1n
２
x21 x22
…
x2n
m
xm1 xm2
…
xmn
销量bi
b1
b2 …
bn
单位运价表
产地 销地 1
２
…