运筹学第3章-运输问题特殊的线性规划

n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
同理，运到Bj的物资总量应该等于Bj 的销量bj，所以xij还应满足：
m
xij bj
i 1
j 1, , n
总运费为：
mn
z
cij xij
i1 j1
运输问题的数学模型
mn
MinZ
cijx ij
i1 j1
n
x ij a i
i 1, , m
ε=min{该闭回路中奇数次顶点调运量xij}
ij
3.3 运输问题的推广
一、产销不平衡的运输问题
供大于求
增加虚拟销地
供不应求
增加虚拟产地
转化
产销平衡的运输问题
对应的运距（或运价） ？
二、转运问题
特点是所调运的物资不是由产地直接运送 到销地，而是经过若干中转站送达。
求解思路：转化成一个等价的产销平衡运
Ai
B 2
B 3
B 4
产 量
A1 3 11 3 10 7
A ×× 5 2 7
A2 1 9 2 8 4
1 A 3 ×× 1 4
A3 7 4 10 5 9
2
需量 3 6 5 6 2 0
A×6×3 9 3
列差
需 3 6 5 6 20
额
量
三、最优性检验
检查当前调运方案是不是最优方案的过 程就是最优性检验。检查的方法：计算非基 变量（未填上数值的格，即空格）的检验数 （也称为空格的检验数），若全部大于等于 零，则该方案就是最优调运方案，否则就应 进行调整。
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
c11
X11
c21
X21
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产 地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到 第j个销地的单位运价或运距。
2、确定初始方案的步骤：
（10
6 5 6 20
）
需 3 6 5 6 20
量
检验数
B1 B2 B3 B4 产量
A1
×
×
4
3
7
（1） （2）
A2
3
×
1
×
4
（1）
（－1）
A3
×
6
×
3
9
（10）
（12）
需量
3
6
5
6
20
2、位势法
以例1初始调运方案为例，设置位势变量
和 ui ， v j 在初始调运方案表的基础上增
加一行和一列。
Bj Ai
第三章 运输问题 —特殊的线性规划
& 模型及其特点 & 求解思路及相关理论 & 求解方法——表上作业法 & 运输问题的推广
产销不平衡的运输问题 转运问题
3.1 运输问题的典例和数学模型
一、运输问题的数学模型
1、 运输问题的一般提法： 某种物资有若干产地 和销地，现在需要把这种物资从各个产地运到各 个销地，产量总数等于销量总数。已知各产地的 产量和各销地的销量以及各产地到各销地的单位 运价（或运距），问应如何组织调运，才能使总 运费（或总运输量）最省？
例1 的数学模型
min Z 3x11 11x12 3x13 10x14 1x21 9x22 2x23 8x24
7x31 4x32 10x33 5x34
总运输量
x11 x12 x13 x14 7
x
21
x 22
x 23
x 24
4
x31 x32 x33 x34 9
产量约束
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
ij cij ui v j
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数 ij 小于零，则首先在作业表上以xij
为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
3.2 运输问题的表上作业法
一、表上作业法的基本思想是:先设法给出 一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初 始方案进行检查、调整、改进，直至求出最 优方案，如图3-1所示。
表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体作法更加简捷。
确定初始方案 (初始
基本可行解)
判定是否 最 优？
否
是 结束
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
baij第满i足个第产j地个的销产地量需全求部运到第j个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
（2）调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去 xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即 该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有 需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj所在 的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai 尚有存余量ai-bj；
例1：产量：A1-7t，A2-4t，A3-9t 销量：B1-3t，B2-6t，B3-5t，B4-6t
Bj B1 B2 B3 B4 产量
Ai
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
需量 3
6
5
6
20
产销平衡、单位运价表（表3-1）
单位 运价 销 或运距 地
产地
B1 B2 … Bn
A1
c11 c12 … c1 n
2、Vogel法(元素差额法): 求出初始方案。
第一步：在表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的 最小元素。
用Vogel法确定初始调运方案
Bj
B 1
B 2
B 3
B 4
产 量
Ai
行
差 额
Bj B 1
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以一个非 基变量作为起始顶点，寻求闭回路。
该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变量外， 其他顶点均为基变量（对应着填上数值的格）。
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对于每 一个非基变量而言，以其为起点的闭回路存在且唯 一。
闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）-
输问题，再用表上作业法求出最优调运方
案。
如何转化 ？
第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 转运点既作为产地又作为销地；
第二步，各地之间的运距（或运价）在原 问题运距（运价）表基础上进行扩展：从 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 不存在运输线路的则记为M（一个足够大 的正数）；
第三步，由于经过转运点的物资量既 是该点作为销地的需求量，又是该点 作为产地时的供应量，但事先又无法 获取该数量的确切值，因此通常将调 运总量作为该数值的上界。
用最小元素法确定例1初始调运方案
Bj B1
Ai
A1
3
A2 3 1
A3
7
需量 3
B2 B3
11 9 64 6
43 12
10 45
B4
3 10 8
35 36
产量
7
3
41 39
20
最小元素法实施步骤口诀 《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销；
满足销量划去“列”，修改“行产”要记牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
3、举例
例1： 产量：A1-7t，A2-4t，A3-9t 销量：B1-3t，B2-6t，B3-5t，B4-6t ； 求使总运输量最少的调运方案。
Bj B1 B2 B3 B4 产量
Ai
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
需量 3
6
5
6
20
1、最小元素法: 求出初始方案。
& 最小元素法的基本思想是“就近供应”
B1
B2
B3
B4
ui
A1
3
11
3
10
u1
A2
1
9
2
8
u2
A3
7
4
10
5
u3
vj
v1
v2
v3
v4
检验数
各空格的检验数，令 ij 代表空格（Ai ,Bj）
的检验数。
ij cij ui v j
①当检验数还存在负检验数时，说明未得到最 优解，还可以改进。 ②如果表中出现有负的检验数时，对方案进行 改进和调整的方法同前面闭回路法调整一样。
（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
当检验数还存在负数时，说明原方案还不是最优解。
闭回路法—最小元素法初始方案
B1 B2 B3 B4 产
量
B1 B2 B3 B4 产
量
A1 3 11 3 10 7 A1 × × 4 3 7
A2 1
A3 7
需3 量
9 2 8 4 A2 3 × 1 × 4
4 10 5 9 A3 × 6 × 3 9
s.t.x11 x21 x31 3
xx1132
x 22 x 23
x 33 x 33
6 5
需求约束
xx1ij4
x 24 0,
x34 3 i 1,2，3;
j
1,2,3，4;
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用的 更简洁、更方便的方法
（3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明
所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足，
xij的取值构成初始方案。否则，在作业表剩余 的格子中选择下一个决策变量，返回步骤（2）。
按照上述步骤产生的一组变量必定不构成 闭回路，其取值非负，且总数是m+n-1个， 因此构成运输问题的基本可行解。
对xij的选择采用不同的规则就形成各种不 同的方法，比如每次总是在作业表剩余的格 子中选择运价（或运距）最小者对应的xij， 则构成最小元素法，若每次都选择左上角格 子 对 应 的 xij就 形 成 西北 角法 （ 也 称 左 上角 法）。
方案调整—闭回路法
B1 B2 B3 B4 产量
A1
×
×
4
3
7
（1） （2）
A2
3
×
1
×
4
（1）
（－1）
A3
×
6
×
3
9
（10）
（12）
需量
3
6
5
6
20
调整结果
B1 B2 B3 B4 产量
A1
×
×
5
2
7
（0） （2）
A2
3
×
×
1
4
（2） （1）
A3
×
6
×
3
9
（9）
（12）
需量
3
6
5
6
20
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
j1
s.t. m xij b j
j 1, , n
i1
xij 0, i 1, m; j 1, , n
m
n
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 , , x1n ; x21, x22 , x2n , , , , , xm1 , xm2 , xmn
对于产地和销地也作类似的处理。
P101:3.1
作业
Thanks for Attention!
Q and A
改进调整 （换基迭代）
最优方案
图3-1 运输问题求解思路图
二、 初始方案的确定
1、作业表（产销平衡表） 初始方案就是初始基本可行解。 将运输问题的有关信息表和决策变量——调运 量结合在一起构成“作业表”（产销平衡表）。 表3-2是两个产地、三个销地的运输问题作业表。
表3-2 运输问题作业表（产销平衡表）
m行 n行
1 1 1
11 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
❖ 矩阵的元素均为1或0；
❖ 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
❖列向量Pij =(0,…，0，1，0，…,0,1,0,…0)T， ❖其中两个元素1分别处于第i行和第m+j行。
❖ 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个 m×n阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素 全为1，其余元素全为0（k=1，…，m）；后n 行构成m个n阶单位阵。
A2
c21 c22 … c2n
┆
来自百度文库
… ……
Am
cm1 cm2 … cm n
产量
a1 a2 ┆ am
销量
b1 b2 … bn
m
n
ai bj
i 1
j 1
单位根据具体问题选择确定。
2、运输问题的数学模型
设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai 运出的物资总量应等于Ai的产量ai，因此 xij应满足：