第七章---理论力学

C LY
系 列 一
解：M点作曲线运动，取直角坐标系 点作曲线运动， 点作曲线运动 如图。 如图。 由纯滚动条件 OC = MC = r ϕ = r ω t 从而 x = OC − O1 M sin ϕ = rϕ − r sin ω t
y = O1C − O1 M cosϕ = r (1 − cosωt )
C LY
系 列 一
由图可知
|∆ τ |= |τ ' −τ |= 2 |τ |sin
∆ϕ
2
= 2sin
∆ϕ
2
当 ∆ t → 0时 ,∆ S → 0,sin
∆ϕ
2
→
∆ϕ
2
|τ |= 1于是 ∆ τ ≈ ∆ ϕ
∴ lim |
∆t→ 0
∆ τ |= lim ∆ S ∆t→ 0
2 sin
∆ϕ
2 = lim (
2 2 2 a = a x + a y + a z = 32m / s 2
而 故
dυ aτ = =0 dt
a = 32m / s 2 = an
ρ=
υ2
an
= 2.5m
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系 列 一
例5-6 半径为R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设轮子 半径为 的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设轮子 的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 ）， 为常值)， 转角ϕ =ωt (ω为常值 ，如图。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上 为常值 如图。 任一点M的运动方程 并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。 的运动方程， 任一点 的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。 已知： 已知： r , ϕ = ω t , ω = 常数 点的运动方程、 求：M点的运动方程、 点的运动方程 速度和加速度
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系 列 一
点都作直线运动， 轴如图所示。 解：A，B点都作直线运动，取ox轴如图所示。 点都作直线运动 轴如图所示 运动方程
xA = b + rsin ϕ = b + rsin ω +θ) ( t
xB = r sin ϕ = r sin ω +θ) ( t
B点的速度和加速度 点的速度和加速度
运
动
学
C LY 系 列
第
点 的
7
运
章
动 学
C LY 系 列
§7-1 基本概念
是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。 轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。 ②研究内容 ③运动是相对的 ④瞬时、时间间隔 瞬时、 ⑤运动对象分类 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 ):参考体 参考体( );参考系 静系;动系。 参考系; ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
Δr = d r = r & v = lim dt Δt → 0 Δt
速度是矢径矢端曲线切线 三.加速度
Δ v d v d 2 r && a = lim = = =r 2 dt Δt→ 0 Δt dt
加速度是速度矢端曲线切线
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§7-4 直角坐标法
一.运动方程，轨迹 运动方程，
r = xi + yj + zk x = f1(t), y = f2 (t), z = f3 (t)
a t =0 , a t =2min
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系 列 一
列车作曲线加速运动， 解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标 2 常数， 由 aτ = 常数，υ 0 = 0
aτ =
υ = aτ t
υ
t
=
15 = 0.125m / s 2 120
① t = 0, an = 0, a = aτ = 0.125m / s 2 ② t = 2 min = 120s
L
都是时间单位连续函数。 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
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椭圆规的曲柄OC 可绕定轴 转动，其端点 与规尺 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中 例5-1 椭圆规的曲柄 点以铰链相连接，而规尺 ， 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。 点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
& υ x = x = 8 cos 4t & υ y = y = −8 sin 4t & υz = z = 4
a x = && = −32 sin 4t x a y = && = −32 cos 4t y
a z = && = 0 z
2 从而 υ = υ x2 + υ y + υ z2 = 80m / s
x = (O +CM) cosϕ = (l + a) cosωt C
y = AMsin ϕ = (l − a)sin ωt
消去t, 得轨迹
x2 y2 + =1 2 2 (l + a） (l − a)
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系 列 一
速度
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系 列 一
加速度
& x ax = vx = && = −(l + a)ω2 cosωt
1. 弧坐标的运动方程 弧坐标的运动方程S=f (t)
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2.自然轴系 自然轴系
二、点的速度
v = lim
∆ r = lim ( ∆ r ⋅ ∆ S ) ∆t→ 0 ∆ t ∆t→ 0 ∆ S ∆t ∆ S ⋅ lim ∆ r = dS ⋅ d r = lim ∆ t→ 0 ∆ t ∆ t→ 0 ∆ S dt dS
= −kv ,
v t =0 = v0 ,
求: x=x(t)
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活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图 解：1 活塞作直线运动，取坐标轴 如图
2
由
dv = −kv a= dt
dυ
υ
= − kdt
得
dv = − k t dt ∫v0 v ∫0
v
v = −kt, v = v0e −kt ln v0
152 an = = = 0.281m / s 2 R 800 a = a τ2 + a 2 = 0.308m / s 2 n
υ2
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已知点的运动方程为x=2sin4t m，y=2cos4t m，z=4t m 例5-5 已知点的运动方程为 求：点运动轨迹的曲率半径 ρ 。 的运动方程， 解：由点M的运动方程，得 由点 的运动方程
& υ x = x = rω (1 − cos ωt )
& υ y = y = rω sin ωt
ωt
2
2 υ = υ x2 + υ y = rω 2(1 − cos ωt ) = 2rω sin
(0 ≤ ωt ≤ 2π )
a x = && = rω 2 sin ωt x
2 2 a = a x + a y = rω 2
∧
三. 加速度
dv y dv z d v dv x a= = i+ j+ k dt dt dt dt d2y d 2x d 2z = i+ j+ k = a xi + a y j + a zk dt 2 dt 2 dt 2
∴aBaidu Nhomakorabea=
[注] 注
a2x +a2y +a2z
cos( a i ) =
∧
ax a
∆t→ 0
sin
∆S
v2 dv v2 即 n = n, a =a +an = τ + n a ∴ τ ρ dt ρ |aτ | 2 2 a= aτ +an , α=arctg an
C LY
2 ⋅ ∆ϕ )= dϕ = 1 ∆ϕ ∆S dS ρ 2
∆ϕ
系 列 一
列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为 的圆弧轨道作匀加速运动。 例5-4 列车沿半径为 的圆弧轨道作匀加速运动 经过2min后，速度到达 零，经过 后 速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。 。求列车起点和未点的加速度。 已知： 常数， 已知：R=800m=常数，aτ 常数 求： 常数， = 常数， υ t =0 = υ0 = 0 υ 2 min = 54km / h
& vB = xB = rωcos(ωt +θ ) & aB = & B = −rω2 sin(ωt +θ) x
= −ω2xB
周期运动
x = (t +T) = x( f )
f= 1 频率 T
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如图所示，当液压减振器工作时， 例5-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往 复运动。 为活塞的速度， 为比例常 复运动。设活塞的加速度 a = − kv（v为活塞的速度，k为比例常 为活塞的速度 求活塞的运动规律。 数)，初速度为 0,求活塞的运动规律。 ，初速度为v 求活塞的运动规律 已知 ： a
& y & ay = vy = & = −(l − a)ω2 sin ωt
a = a +a =
2 x 2 y 2 (l + a)2ω4 cos2 ωt + (l − a） 4 sin 2 ωt ω
=ω l2 + a2 + 2al cos2ωt
cos(a,i ) = ay a =− (l + a)cosωt l2 + a2 + 2al cos2ωt
知 O C C t 已 ： C = AC = B = l, M = a,ϕ =ω
求：① M 点的运动方程 ② 轨迹 ③ 速度 ④ 加速度
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已知： 已知： C = AC = B = l, M = a,ϕ =ωt O C C 求：x=x(t)， y=y(t)。 作曲线运动， 解：点M作曲线运动，取坐标系 作曲线运动 取坐标系xoy 运动方程
(⋅) t
(⋅− − − ⋅) ∆t = t 2 − t 1
2)刚体的运动 2)刚体的运动
1)点的运动 1)点的运动
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§7-2 运动方程
矢量法
运动方程、 运动方程、轨迹
直角坐标法
速度
自然坐标法
加速度
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§7-3 矢量法
一.运动方程，轨迹 运动方程，
r = OM
二.点的速度
an =v
= v 2 ⋅ lim
∆τ ∆t → 0 ∆ S
∆ τ = v ⋅ lim ( ∆ τ ⋅ ∆ S ) dτ = v lim dt ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆ S ∆ t
-----表示速度方向的变化 表示速度方向的变化 ∆S =dS =v) ( lm i dt ∆t→ ∆ 0 t
3
由
dx = = −v0 e− kt v dt
v0 ( −kt ) x = x0 + 1 − e k
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§7-5 自然法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方 轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点 法叫自然坐标法 自然坐标法。 法叫自然坐标法。 一、弧坐标,自然轴系 弧坐标,
二.点的速度 dy dr dx dz v = = i + j+ k dt dt dt dt
∴v = v x i + v y j + v z k
v = v x 2 + v y 2 + vz 2
cos( v x v i )= v
∧
∧
cos(
C LY
v y v j)= v
系 列 一
cos(
v z v k )= v
C LY
a y = && = rω 2 cos ωt y
系 列 一
讨论
①用柱坐标法给出点的运动方程。 用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
ϕ = f1(t) r= f2 (t) z= f (t) 3
dv dv 有何不同?就直线和曲线分别说明 就直线和曲线分别说明。 ② dt 与 dt 有何不同 就直线和曲线分别说明。
cos(a, j ) =
ax (l −a)sinωt =− a l2 + a2 + 2al cos2ωt
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正弦机构如图。曲柄OM长为 ，绕O轴匀速转动，它与水平线 长为r， 轴匀速转动， 例5-2 正弦机构如图。曲柄 长为 轴匀速转动 其中θ为 的夹角 的夹角， 为一常数 为一常数。 间的夹角为 ϕ =ωt +θ, 其中 为t=0的夹角，ω为一常数。已知动杆上 A，B两点间距离为 ，求点 和B的运动方程及点 的速度和加速度。 两点间距离为b，求点A和 的运动方程及点 的速度和加速度。 的运动方程及点B的速度和加速度 ， 两点间距离为 已知： M 已知： O = r,ϕ =ω +θ,ω = 常 , AB = b t 数 求：① A、B点运动方程 点运动方程 ② B点速度、加速度 点速度、 点速度
= dS ⋅τ = v ⋅τ dt
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三、点的加速度
dv d dv dτ d 2S dτ a = = (v τ ) = ⋅τ+ v ⋅ = 2 ⋅τ+ v ⋅ dt dt dt dt dt dt
dv d 2 S ① 切向加速度 aτ = τ = 2 ⋅τ dt dt
----表示速度大小的变化 表示速度大小的变化 ② 法向加速度