241平面向量数量积的物理背景及其含义(1)
平面向量数量积的物理背景及其含义
解
①当 a∥b 时，
若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ＝0°， ∴a· b＝|a||b|cos 0° ＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角 θ＝180°， ∴a· b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°，∴a· b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时， 1 有 a· b＝|a||b|cos 60°＝3×6×2＝9.
|a|2
a· b |a||b| ； (4)cos〈a，b〉＝_____
≤ a||b|. (5)|a· b|____|
课前自学
课堂互动
课堂达标
4.向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)； (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)； (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律).
由已知：|a|· |b|cos〈a，b〉＝－60°，∴cos〈a，b〉
1 ＝－2，∴〈a，b〉＝120°. 答案 B
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3.已知|a|＝1，|b|＝ 2，且(a－b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角 是________.
解析 ∵(a－b)⊥a，∴(a－b)· a＝0，∴|a|2－a· b＝0， 2 ∴1－1× 2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝ 2 ∴〈a，b〉＝45°.
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类型二 平面向量数量积的基本运算(互动探究)
【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的
夹角是60°时，分别求a· b.
[思路探究] 探究点 a∥b 时，a 与 b 夹角是多少？ 提示 a 与 b 夹角为 0°或 180°.
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写
a·b;(2)求|x a+y b|2=x2|a|2+2xy a·b+y2|b|2;(3)求|x a+y b|.
题型三
求两向量的夹角
【例 3】 已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ.
分析:求出 a,b 的数量积 a·b,代入夹角公式求得 cos θ,从而确定
形.
的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距
离等于a,b到原点的距离的积.
题型一
求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的
值为
.
解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8.
答案:-8
在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘
中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的
长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的
几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
���Ԧ���
������ ���Ԧ���
������ = ���Ԧ��� ���Ԧ��� cos( ������������° + 30°)
F θ
s
如果一个物体在力 ���Ԧ��� 的作用下产生位 移 ���Ԧ��� ，那么力 ���Ԧ��� 所做的功为：
������ = |���Ԧ���||���Ԧ���| cos ������
叫做向量 ������ 在 ���Ԧ��� 方向上（ ���Ԧ��� 在 ������ 方向上）的投影.
并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即 ���Ԧ��� ⋅ 0 = 0 。
B
|������������1| = |������| cos ������
������
θ O
���Ԧ��� A
B1
投影也是一个数量，不是向量；
当θ= 180º时，���Ԧ��� 与 ������ 反向；
θ
O
���Ԧ���
A
当θ= 90º时，���Ԧ��� 与 ������ 垂直，记作 ���Ԧ��� ⊥ ������ .
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学重点： 平面向量数量积的概念、用平面向
量数量积表示向量的模及夹角； 教学难点：
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������ .
θ为 ���Ԧ���与 ������ 的夹角.
向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������
当0°≤θ ＜ 90°时���Ԧ��� ⋅ ������ 为正； 当90°＜θ ≤180°时 ���Ԧ��� ⋅ ������ 为负。
高一数学《241平面向量数量积的物理背景及含义》
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2
例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2
变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
高中数学备课拓展资料2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时,a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.图5向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b|⇔a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A.1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.其中为真命题的是( )A.①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3A.43B.4C.42D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△ABC 中,设AB =b ,AC =c ,则22)(|)|(|c b c b ∙-等于( ) A.0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC6.设i ,j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·b+c ·a =_________.8.设|a |=3,|b |=4,a 与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3114337+.9.{λ|λ<68511--或λ>68511+-. 10.由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a 2+b 2+4a ·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a 2+16b 2-8a ·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ. ①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m |=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ,∴cos θ=147-,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为147-.。
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
![2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义](https://img.taocdn.com/s3/m/15737b2958fb770bf78a554e.png)
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
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F
θ
S
功是 标量
W | F || S | cos
由此引入向量“数量积”的概念。
a
1、ห้องสมุดไป่ตู้面向量的数量积:
已 知 两 个 非 零 向 量a 和 b 它 们 的 夹 角 为，
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积，
(或内积），记 作 ：a b ,
当为直角时，cos=0，a b =0;
当为钝角时，cos<0，a b <0;
例1 已知| a| = 5，| b| = 4，分别
求满足下列条件的 a b ．
(1) a与 b 的夹角 = 120； -10
(2) a b ；
0
(3) a // b ． 20或－20
练习：
1.已知 | a | 8, e为单位向量,当它们的夹角为 时,
6
B
a
C
比一比：
1、已知ABC中，BC=5,AC=4,C=60, 求BC CA.
2、已知 a =2,b =5,a b=-3,求 a+b , a b .
23
35
3
求a在e方向上的投影及a e;
2设、a数、量b是 积 的非性零 质向：量 ((12))当 当a aa与与bbb反同向向a时时b，，aa0bbaabb
特别地，a a a 2 或 a a a a 2
(3) a b a b
思考：判断下列各题是否正确：
(1) 若 a 0 ，则对任意向量b ，有
B
即 a b | a || b | cos
b
其中，0 180
θ
O
A
a
a cos 叫做向量a 在 b 方向上的投影。
规定：零向量与任意向量的数量积为0 .
注意：
1、a与b的数量积记作： a b
即 ab
ab
ab
2、向量与向量的积是一个数量(实数)，
不是向量，符号由cos的符号所决定．
当为锐角时，cos>0，a b >0;
(a b) c a c b c 其中a,b, R
思考：如果将a,b,c换成向量，以上关系式 是否成立？
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c 其中 R
思考：
(a b) c a (b c) 成立吗？
例 2：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 2：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
所以当且仅当k=
3 4
时，a
kb与a
4
kb互相垂直.
小试身手：已知正ABC的边长为2，设
BC a,CA b, AB c ，求a b b c c a.
解：
a
b
a
b
cos120
2 2 (
1)
2
2
b c b c cos120 2
c
a
c
ac
os120
2
c
A
b
ab b c c a
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
例3 已知| a|= 6，|b| = 4，a 与 b 的夹角为60，求：(a 2b) (a 3b)
解: (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 62 6 4 cos 60 6 42
a b = 0．
正确
(2) 若 a 0 , 则对任意非零向量 b
有 a b 0．
不正确
(3)若a 0 ，且 a b = 0,则 b 0 .
如 ab时
不正确
(4) 若 a b 0则 a 0 或 b 0. 不正确
3、探究数量积的运算律
类比实数中： a b b a
( a) b （ a b) a ( b)
= 72.
例4 已知| a|= 3,|b| = 4,且 a 与 b
不共线,当且仅当k为何值时,向量 a kb
与 a kb互相垂直?
解： a kb与a kb互相垂直
(a kb)(a kb) 0
即a2
k
2
2
b
0,
2
2
2
2
a a 9, b b 16,
9 16k2 0， 解得k 3 .