系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

一、引言：

研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。

在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数

字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间

的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身

性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎

斯特稳定性判据受到一定的局限性。

二、稳定性定义：

1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。

稳定系统不稳定系统

稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。

绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输

出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。

（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。

（2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。）

（3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。

实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分

方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。

相对稳定性。除了绝对稳定性外， 还需要考虑系统的相对稳定性， 即稳定系统的稳定程

度。因为物理控制系统包括一些储能元件，

所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能

立即跟随输入量的变化，而是在系统到达稳态之前，它的瞬态响应常常表现为阻尼振荡过程。 在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则称系统具有稳态误差。

2、 一个系统对任意有界的输入，其零状态响应也是有界的，则该系统称为有界输入有

界输出稳定系统。即设 Mt ，My 为正实常数，如果系统对于所有的激励

|f ( t )<=Mt ，其零

状态响应为|y (t )|<=My 则系统是稳定的。对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为 有界。

3、 线性系统在初始条件为零时，输入理想单位脉冲函数3

⑴，这时系统的输入称为单

位脉冲响应。若线性系统的单位脉冲响应函数随时间趋于零， 则系统稳定。若趋于无穷，则

系统不稳定。若趋于常数或者等幅振荡，这时趋于临界稳定状态。

［s ］复平面的左半部分，系统就是稳定的。

证明：系统输入理想单位脉冲函数3

(t)，它的Laplace 变换函数等于1,所以系统输出 兀幣)=

◎⑸

- ____________ °⑸

的Laplace 变换为 '

中，si (i=1,2，…,n )为系统特征方程的根，也就是系统的闭环极点。设 n 个特征根彼

此不

等，并将上式分解成部分分式之和的形式，即

看出，要满足条件，只有当系统的特征根全部具有负实部方能实现。

因此，系统稳定的充要条件：系统的特征方程根必须全部具有负实部。 反之，若特征根 中有一个以上具有正式部时， 则系统必为不稳定。 或者说系统稳定的充分必要条件为： 系统 传递函数的极点全部位于

［s ］复平面的左半部。若有部分闭环极点位于虚轴上， 而其余极点全 部在［s ］平面左半部时，便会出现

临界稳定状态。

三、稳定性分析：

【本文仅分析线性时不变(LTI)电路的稳定性。判断一个系统是否稳定可以从时域或复频 域两方面进

行讨论。本文不对含受控源电路的稳定性进行分析】

般反馈系统如图 G(s) 1 + G(s)H(s)

，系统的特征方程为

，此时系统的传递函数为

1+G(s)H(s)=0如果特征根落在

，式

+

=Y —

数，其值可由Laplace 变换方法确定。

对上式进行Laplace 反变换，得到系统的脉冲响应函数为

，式中，ci (i=1,2,…,n )待定系

入(0 = £唧,

。可以

例

1

:对因果系统，只要判断

H(s)的极点，即A(s)=O的根(称为系统特征根)是否都在

左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。

A _ 1-0.0002 1 .0,0002

用留数法解得' ；' F 「考虑到<<1，取上式的拉普拉斯逆变换，：。上式中的前两

项一'亠是衰减函数，第三项f，当t较小时，可忽略不计,

但是当t较大时，这个正指数项超过其他两项并随着的增长而不断增大，则电路不稳定。

实际的电路系统不会完全是线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏和危险。

简单电路分析：

S12运易电路

川的血呛)—L I 丿

""hy 1i ~c2 i

£壮皿,+^C +IC

小Pm佥E (金討堆

解得当电路参数变化时，上式会有四种形式及相应的电路变化：

ji n > 4-JI/¥

当时，Pl,2如上式，是两个不相等的负实根，响应的自由分量由两个衰减的

指数函数组成，属于过阻尼振荡。

R _ 1 戸]

~ 2\ C Pl1 " ~2RC

②当时，，此时有两个相等的负实根，属于临界阻尼振荡。

③当，' 时，上式可写为：■，是实部为负的两个共轭复根,

31

令分母

+ 51

厂 5 ，其根即为该网络函数的极点。

某线性时不变电路的网络函数为

+0.001

s ~5，当输入为单位阶跃函

数e(f)时，电路零状态响应的象函数为

31 1 RLC并联电憧

作出运算电路图如图2,其网络函数为