第五章稳定性理论

成立时，系统满足 BIBO 稳定。
5.2 李亚普诺夫稳定性定理（两方法适用任何系统） Lyapunov 第一方法，也称为间接法（小范围稳定性分析方法），基本
思想：将非线性自治系统运动方程在足够小邻域内进行泰勒展开，导 出一次近似线性化
系统，并据此线性化系统特征值分布，来推断非线性系统在邻域内的稳定 性。若线性化系统特征值分布具有负实部，则非线性系统在邻域内稳定； 若线性化系统特征值分布具有正实部，则非线性系统在邻域内不稳定；除 负实部还含 0 实部单特征值，是否稳定需通过高次项分析进行判断。 经典控制理论中对稳定性的讨论正是建立在Lyapunov间接法思路的基础 上的。 ■ Lyapunov第二方法，也称为直接法，直接根据系统运动方程系数，判 断系统稳定性。(直接面对非线性系统)
测部分，系统为BIBO稳定即G(s)极点均具有负实部的事实，只能保证系统
的能控能观测部分特征值均具有负实部，不能保证A的特征值均具有该特
点。据此易知结论成立。证毕。
定理：线性时不变系统完全能控能观测，则系统BIBO稳定当且仅当
系统内部稳定。
例：
已知离散时间系统
x(k
+ 1)
=
⎡0.9 ⎢⎣ 0
1⎤ 1⎥⎦
所有初始时刻t0均为Lyapunov意义下稳定 ② 对时不变系统，无论线性还是非线性，连续时间还是离散时间系统， Lyapunov意义下的稳定和一致稳定必为等价。即若时不变系统的平衡状态 xe为Lyapunov意义下稳定，则xe必为Lyapunov意义下一致稳定。 ③ Lyapunov意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界 性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。实质是工程意义下 的临界不稳定。
显然如果分母能消去 z-1 项,就可以保证系统 BIBO 稳定。为此，分子 中必须存在 z-1 项，此时有 （全部特征根位于Ｚ平面以原点为圆心的单位园内。
c1b1 + c2b2 = c1b2 − c1b1 − 0.9c2b2 0.1c2b2 = −c1b2
由上式可知，有且只有 0.1c2 = −c1 （对于任意 b2 ）; 或 b2 = 0 （对于任意 c）
满足
(1) lim eAt = 0 t →∞
(2) Re{λi (A)}< 0
i = 1,2,Kn
系统矩阵A所有特征值λi (A)具有负实部
对线性时变系统，不能由特征值来判断系统的内部稳定性。
内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性
（3）内部稳定性和外部稳定性关系
内部稳定性是系统状态的自由运动，必满足渐进稳定条件；而外部稳定
必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元）
∫t t0
hij (t,τ )dτ
≤
β
< ∞,
i
= 1, 2,L, q;
j
= 1, 2,L,
p
证明：先证 SISO 情形。充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证
明系统 BIBO 稳定。由基于脉冲响应的输出关系式，有
y(t)
=
∫t
t0
x(t, x0 , t0 ) − xe ≤ μ, ∀t ≥ t0 + T (μ,δ , t0 )
则称平衡状态xe一致渐近稳定。 对时变系统，一致渐近稳定比渐进稳定更有意义。 对时不变系统，无论线性还是非线性，连续时间还是离散时间系统，平衡 状态xe的渐近稳定和一致渐近稳定为等价。即有
xe一致渐进稳定 ⇔ xe渐进稳定
▼零平衡状态：对连续时间非线性时变系统或线性时变系统，在大多数情
况下，xe=0即状态空间原点必为系统的一个平衡状态。 ▼孤立平衡状态：状态空间中彼此分隔的孤立点形式平衡状态。重要特性 是总可以通过坐标平移转换到原点即零平衡状态。 3)受扰运动：自治系统由初始状态扰动引起的运动，即系统的零输入响应。 x0看作相对于零平衡状态即xe=0的一个状态扰动。 定义5.4（李亚普诺夫意义的稳定） 称自治系统 x& = f (x,t) 的孤立平衡状态 xe=0在t0时刻为Lyapunov意义下稳定，如果∀ε>0，存在依赖于ε和t0的实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式
h(t1,τ )dτ
=
∞
构造有界输入（分段函数）
u (t
)
=
sgn
h(t1 ,τ
)
=
⎪⎨⎧+01,, ⎪⎩−1,
h(t1 ,τ
h(t1 h(t1
,τ ,τ
) ) )
> = <
0 0 0
⇒
y(t1 )
=
∫t1
t0
h(t1
,τ
)u
(τ
)dτ
=
∫t1
t0
h(t1,τ )dτ
=
∞
这与系统 BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
♦小范围和大范围渐近稳定：小范围渐近稳定又称为局部渐近稳定。直观 含义为：“存在围绕xe=0 超球域S(δ)，∀0≠x0∈S(δ)，xe为渐进稳定”。
MIMO 情形：对输出的每一分量ｙｉ（ｔ），有（利用ＳＩＳＯ证明，是ＭＩＳＯ情况，
见笔记）
∫∞
0
hij
(t ) dt
≤
β
<
∞,
i
= 1,2,L, q;
j
= 1,2,L,
p
定理 5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条
件是，传递函数矩阵 G(s)所有极点均具负实部。（左半复平面）
■[渐进稳定]称自治系统 x& = f (x,t) 的孤立平衡状态xe=0在t0时刻为
渐近稳定，如果：(i)xe=0在t0时刻为Lyapunov意义下稳定；(ii) 对实 数δ(ε,t0)>0和任意实数μ>0，都相应地存在实数T(μ,δ,t0)>0，使得满足不
等式 x0 − xe ≤ δ (ε ,t0 ) 的任意初始状态x0出发的受扰运动还同时满足不
物理意义清晰，方法具有一般性。 ■系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。 ■直观上，系统平衡状态的稳定性问题是，偏离平衡状态的受扰运动能否 只依靠系统内部结构因素，或使之限制在平衡状态的有限邻域内，或使之 最终返回到平衡状态。 概念： 1)自治系统：即没有输入作用的动态系统。
自治系统的一般形式为： x& = f (x, t), x(t0 ) = x0 , t ≥ t0 （显含时间t） 线性自治系统为： x& = A(t)x, x(t0 ) = x0,t ≥ t0
等式
x(t, x0 , t0 ) − xe ≤ μ, ∀t ≥ t0 + T (μ,δ , t0 )
渐近稳定的几何解释见下图
(a)受扰运动相对于平衡状态的有界性 (b)受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐进性
二维系统
■一致渐近稳定：在渐近稳定定义中，若对取自时间定义区间的任意初始
时刻t0，由任给的ε>0都存在与初始时刻t0无关的实数δ(ε) >0，由实数δ(ε) >0 和任给实数μ >0都存在与初始时刻t0无关的实数T(μ,δ) >0，使相应的受扰运 动x(t;x0,t0)相对于平衡状态为有界，且满足
性是对系统输入和输出的约束，两稳定性之间的联系必然通过系统的内
部状态表现出来
限于讨论时不变连续系统：
x& = Ax + Bu, x(0) = x0,t ≥ 0 y = Cx + Du
结论：线性时不变系统内部稳定，则必BIBO稳定。
证明：脉冲响应矩阵为
H (t) = CeAt B + Dδ (t)
因为时不变系统内部稳定，故
转移矩阵 Φ(t,t0)对所有 t≥t0 有界，且
证明：
lim
t→∞
Φ
(t
,
t0
)
=
0
x0u (t) = Φ (t, t0 )x0 , t ≥ t0
容易看出， x0u(t)有界当且仅当 Φ(t,t0) 有界，x0u(t)趋于 0
当且仅当Φ(t,t0)趋于 0。证毕。 结论 5.5/5.6 线性时不变系统内部稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数
h(t
,τ
)u(τ
)dτ
∫≤ t t0
h(t,τ ) ⋅ u(τ )dτ
≤
β
∫t
t0
u(τ
) dτ
因此，对任意有界输入 u(t)
u(t) ≤ β1 < ∞
⇒
y(t)
≤
β
∫t
t0
u(τ )dτ
≤ ββ1 < ∞
即系统 BIBO 稳定。再证必要性，已知系统 BIBO 稳定，反设有 t1，
使得
∫t1
t0
对应输出 y(t)均有界，即
∀ u(t) ≤ β1 < ∞,t ∈[t0 , ∞] ⇒ y(t) ≤ β2 < ∞
外部稳定也称为 BIBO 稳定。（有界输入－有界输出）β为有界ຫໍສະໝຸດ Baidu数。 １范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。性质１：
非负性；齐次性；三角不等式。
定理 5.1 对零初始条件线性时变系统，t0 时刻 BIBO 稳定的充分
ρ t e k −1 slt lk
,
l
= 1,2,L, m;
k
= 1,2,L,σ l
绝对可积，等价于
h ij ( t )
绝对可积，故由定理 5.1，等价于系统 BIBO 稳定。证毕。
（2） 内部稳定性
考虑连续时间线性时变系统，设输入恒等于０，且初始状态ｘ０有界
x& = A(t)x,
x(t0 ) = x0 , t ≥ t0
称连续时间线性时变系统在时刻t0 为内部稳定，如果由任意非零
初始状态x(t0)=x0 引起的零输入响应x0u(t)对所有t有界，且满足
渐近属性即成立
lim
t →∞
x0u
(t
)
=
0
内部稳定 ⇔Lyapunov 意义下渐近稳定。
对连续时间线性系统，内部稳定性可根据状态转移矩阵或系数矩
阵直接判断。
定理 5.3 线性时变系统 t0 时刻内部稳定的充分必要条件为，状态
x0 − xe ≤ δ (ε ,t0 )
的任意初始状态x0出发的受扰运动均满足不等式
x(t, x0,t0 ) − xe ≤ ε ,∀t ≥ t0
上述Lyapunov意义下稳定的几何解释见下图。
第 2 式看成状态空间中以xe为球心和 以ε为半径的超球体，其域表为S(ε)； 第 1 式看成状态空间中以xe为球心和 以δ(ε,t0)为半径的超球体，其域表为 S(δ)，且球域大小同时依赖于ε和t0。 几何意义：由域S(δ)内任意一点出发的运动轨迹x(t,x0,t0)对所有时刻 t∈[t0,∞]都不超出域S(ε)的边界（图示为二维系统）。 ■ Lyapunov意义下一致稳定：Lyapunov意义下的稳定定义中，若δ(ε)与t0无 关，则称平衡状态xe为Lyapunov意义下一致稳定。 ① 对时变系统，一致稳定比稳定更有实际意义。一致稳定意味着，若系统 在一个初始时刻t0为Lyapunov意义下稳定，则系统在取自时间定义区间的
稳定性理论
5.1 外部稳定性和内部稳定性
运动稳定性分为基于 I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述 的内部稳定性。内容包括 外部稳定性 内部稳定性 内部稳定性和外部稳定性关系
（1）外部稳定性
考虑以 I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出
描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义 5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入 u(t)，
eAt为有界且limeAt = 0 t →∞
由上述两公式可导出脉冲响应矩阵H(t)所有元hij(t)均满足关系式（H(t)每一 个元hij(t)均由一些指数衰减项构成），
∫∞ 0
hij (t) dt
≤
β
<
∞
故系统BIBO稳定。证毕。
定理：线性时不变系统BIBO稳定不能保证内部稳定。
证明：由系统结构的规范分解，传递函数矩阵G(s)仅反映系统中能控能观
证明：
可将 G(s)任一元ｇｉｊ（Ｓ）有理分式展开为相对于极点的部分分式的有限项 和，不失一般性，表其一个部分分式为
其反拉氏变换为
(s
βl − sl
)k
,
l
= 1,2,L, m;
k
= 1,2,L,σ l
ρ t e k −1 slt lk
,
l
=
1,2,L,
m;
k
=
1,2,L,σ l
显然，当且仅当 sl 均具有负实部时，
x(
k
)
+
⎡b1 ⎢⎣b2
⎤ ⎥u( ⎦
k
)，
y(k ) = [c1 c2 ]x(k )
请给出该系统满足 BIBO 稳定的充分必要条件。
解：直接计算传递函数可得：
g( z) = C(zI − A)−1 B = (c1b1 + c2b2 )z + (c1b2 − c1b1 − 0.9c2b2 ) (z − 0.9)(z −1)
2)平衡状态：对连续时间非线性时变系统，自治系统的平衡状态xe是指
满足如下条件的一个状态 x&e = f (xe ,t) = 0,∀t ∈[t0, ∞]
说明：
① xe直观上为系统处于平衡时可能具有的一类状态，基本特征 x&e = 0 ；
② 自治系统的平衡状态xe一般为不唯一。连续时间线性时不变系统，若A 非奇异，Axe=0有唯一解xe=0，A奇异解不唯一。