初中几何最值问题
(完整版)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
(完整word版)初中几何最值问题
初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角VABC中， AB=4，BC=5，∠ ACB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，获取△A1BC1．点E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值．C1P1 AEPA 1B C 【牢固】以平面上一点O 为直角极点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ ABO=∠DCO =30 °．如图，若 BO= 3 3，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2．点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为 _______，最大值为 _______．AO P OBN NC DC D备用图【例 2】如图，MON 90°，矩形ABCD 的极点 A． B 分别在边OM ， ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2， BC=1，运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为 __________【牢固】已知：△AOB 中， AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3 ,∠ABO ∠DCO .连接AD 、BC ，点 M 、N、 P 分别为OA、OD、BC的中点.若 A 、O、C三点在同素来线上，且∠ ABO 2 ，固定△AOB ，将△ COD 绕点 O 旋转，则PM的最大值为____________B AMOP NDC【牢固】在平面直角坐标系xOy 中，点 A 、 B 分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点．点D 、E 分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE AB 10 ．以 DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，央求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的剖析式．yBMD O A xGEF【例 3 】如图，已知 A( 1, y ) ，B(2, y 2 ) 为反比率函数1P(x,0) 在x正半轴上运y图像上的两点，动点2 1 x动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 _________yABO P x2、轴对称【例 1】求x 3 2 2 1 的最小值4x【例 2】ABE ,CD CD 是半径为5的MN 于点F，P为e O 的两条弦，EF 上任意一点，则AB 8 ，PA+PCCD 6 ，的最小值为MN 为直径，_________AB MN 于点ACM NE O P FDB【牢固】设半径为 1 的半圆的圆心为O ，直径为AB , C、 D 是半圆上两点，若弧AC 的度数为96 °，弧 BD的度数为36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是 _______【牢固】设正三角形 ABC 的边长是2， M 是 AB 边上的中点， P 是边 BC 上任意一点，则PA+PM 的最大值为 _______,最小值为 ________【例 3】如图，已知等边△ABC 的边长为1， D、E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 边上的点（均不与点A、 B、 C 重合），记△ DEF的周长为p .若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是.ADFB EC【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝— x2＋ 2x＋ 3 与 x 轴交于 A．B 两点，与y 轴交于点C，点D 是抛物线的极点．（1）求直线 AC 的剖析式及 B． D 两点的坐标；（ 2）请在直线AC 上找一点M，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标．图 1【例 5】如图，直线y 3 分别交 x 轴、 y 轴于 C、A 两点，将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45°获取射x 23线A N， D 为 AM 上的动点， B 为 AN 上的动点，点 C 在∠ MAN 的内部．（1）当 AM∥ x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求△ BCD 的面积；（2）求△BCD 周长的最小值；（ 3）当△BCD 的周长获取最小值，且BD 5 2时，求△ BCD 的面积．3yA yAyA2 2 2D1 M 1 1O 123C 4x O 123C 4x O 12 3 C 4x BN备用图备用图【例 6】在直角坐标系中， A 1, 2 ， B 4, 1 ， C m,0 ， D n, n 为四边形的 4 个极点，当四边形ABCD 的周长最短时，m_________nyODC xBA【牢固】如图1，抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c（ a≠0）的极点为 C（ 1， 4），交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3， 0）。
初中几何中的最值问题解析
初中几何中的最值问题解析在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P 初中物理，使PA+PB最小。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
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常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
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如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
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初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
精彩初中几何最值问题全总结
一、基本图形余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定。
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
几何最值问题常用解法初二
几何最值问题常用解法初二几何最值问题是指在给定的几何条件下，求解出某个量的最大值或最小值。
这类问题在数学竞赛和应用问题中经常出现，对学生的综合能力和解题能力提出了要求。
下面将介绍几何最值问题常用的解法。
一、勾股定理求解最大值勾股定理是几何最值问题中应用最广泛的方法之一。
根据勾股定理，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，当已知两条边的长度时，可以通过勾股定理求解另一条边的最大值或最小值。
例题1：在直角三角形ABC中，已知AB=3，BC=4，求AC的最大值。
解法：根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加BC的平方，即AC^2=3^2+4^2=9+16=25。
所以AC的最大值为5。
例题2：在直角三角形ABC中，已知AB=5，AC=13，求BC的最小值。
解法：根据勾股定理，BC的平方等于AC的平方减去AB的平方，即BC^2=13^2-5^2=169-25=144。
所以BC的最小值为12。
二、三角形面积法求解最大值三角形面积公式是几何最值问题中常用的方法之一。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，当已知底边和高的一半时，可以通过三角形面积公式求解三角形面积的最大值或最小值。
例题3：已知一个三角形的底边长是6，高的一半是5，求这个三角形的最大面积。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即面积=6*5=30。
所以这个三角形的最大面积是30。
例题4：已知一个三角形的底边长是10，面积是24，求这个三角形的最小高。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即24=10*高/2，解得高=4.8。
所以这个三角形的最小高是4.8。
三、相似三角形属性求解最大值相似三角形属性是几何最值问题中常用的方法之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的边长之比等于对应边的比值，面积之比等于对应边长的平方的比值。
例题5：已知两个相似三角形的面积分别是16和25，求这两个相似三角形的边长之比。
(完整)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路解决几何最值问题的理论依据是：两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
根据不同特征转化是解决最值问题的关键。
通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。
几何最值问题中的基本模型举例：1.三角形三边关系在三角形ABC中，M，N分别是边AB，BC上的动点，求AM+BN的最小值。
解析：先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点。
2.图形对称在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△XXX沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值。
解析：转化成求AB'+B'N+NC的最小值。
二、典型题型1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△XXX的周长的最小值为．解析：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。
则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长。
根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解。
解答：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。
则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△XXX的周长最短，最短的值是CD的长。
PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP。
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD。
COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD。
COD是等腰直角三角形。
则CD=2OC=2×32=64.分析】首先，把题目中的图形画出来，理清楚纸片折叠后的几何关系。
然后，可以利用勾股定理求出三角形的边长，再根据两点之间线段最短的原理，确定点A′在BC边上可移动的最大距离。
初中数学几何最值问题
○ 线段最短确定在点共线的 情形下取得最值．
2 模型思想
2．1 建立方程模型
例4 已知△ XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形( ∠Z=90 。)，它的三 个顶点分别在等腰Rt△ ABC(∠ C=90。)的三边上．
求△ ABC直角边长的最大可能值．
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几何最值问题
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1
几 何 变 换
1．1 利用平移变换
例1 ：已知点P在锐角△ABC的边上运 动．试确定点P的位置，使P A+PB+PC最小，并证明你的结论．
解：当点P在锐角△ ABC最短边上 的高的垂足位置时， P A+型线段组
初中数学几何最值问题 PPT课件 图文
2 模型思想
2．1 建立方程模型 例4 已知△ XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形( ∠Z=90 。)，它的三
个顶点分别在等腰Rt△ ABC(∠ C=90。)的三边上．
求△ ABC直角边长的最大可能值．
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事；
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法有以下几种：
1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。
例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。
2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。
通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。
3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。
通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。
4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。
利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。
总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。
初中几何最值问题归纳
初中几何中的最值问题主要涉及到求解图形的最大值或最小值，以下是一些常见的几何最值问题的归纳：
1.矩形最大面积：给定一定的周长，求解能够构成的矩形中面积最大的情况。
这个
问题可以通过对矩形的边长关系进行分析和求导来解决。
2.三角形最大面积：给定一条固定的边长和该边对应的高，求解能够构成的三角形
中面积最大的情况。
通常使用面积公式和高度相关的关系进行求解。
3.圆内接多边形最大面积：给定一个圆，求解能够内接于该圆的正多边形中面积最
大的情况。
通过分析正多边形的边长和面积的关系，可以求解最值。
4.直线与曲线的最短距离：给定一条直线和一条曲线，求解离直线最近的曲线上的
点。
这个问题可以通过计算点到直线的距离并求最小值来解决。
5.圆与线段的最大面积：给定一条线段，求解能够与该线段构成的圆中面积最大的
情况。
这个问题可以通过计算圆的面积与半径的关系进行求解。
这些是初中几何中常见的最值问题的归纳，每个问题都有不同的解题方法和技巧。
在解决这些问题时，需要灵活运用几何知识和数学推理，结合具体的题目条件进行分析和求解。
初中数学几何最值问题(将军饮马、将军过河、费马点、隐圆、瓜豆、胡不归、阿氏圆)
1、如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？2、【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B3、【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
BB4、【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
BB【将军过桥】1.已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？2.已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？军营河1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．x2.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM几何图形中的将军饮马正方形中的将军饮马1. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．NMD CBA2.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．7三角形中的将军饮马1.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．233. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )NMDCBAA ．3B ．2C ．23D ．44.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为 ．矩形、菱形中的将军饮马1. 如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )EPDCBAMA ．6 B．C．D ．4.52.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB的最小值为( )DCBAPA． B．C．D4.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．特殊角的对称1. 如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNABC ．6D ．32. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．x3. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．求两线段差的最大值问题基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A-P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中几何中的最值问题
初中几何中的最值问题初中几何中的最值问题是指在几何图形中寻找某个量的最大值或最小值的问题。
这些问题通常涉及到面积、周长、角度等几何量。
一般来说，解决初中几何中的最值问题需要掌握以下基本方法：1. 利用代数方法求解有时候，我们可以将几何图形转换为代数式，然后通过求导或者求平方等方法来求解。
例如，在矩形中，当周长一定时，面积最大；当面积一定时，周长最小。
我们可以设矩形的长为x，宽为y，则周长为2(x+y)，面积为xy。
当周长一定时，即2(x+y)=k(k为常数)时，可以将y表示成x的函数：y=k/2-x，则面积S=x(k/2-x)=kx/2-x^2。
对S求导得到S'=k/2-2x=0，则x=k/4。
因此，在周长一定时，矩形的长和宽相等时面积最大。
2. 利用平均值不等式平均值不等式是一个重要的不等式，在初中几何中也经常被使用。
该不等式表明对于任意两个正实数a和b，有(a+b)/2>=sqrt(ab)。
例如，在三角形ABC中，如果要求最小的边长，则可以利用平均值不等式：设三角形边长分别为a、b、c，则有a+b>c，b+c>a，c+a>b。
将这三个不等式相加得到2(a+b+c)>a+b+c，则a+b+c>0。
因此，(a+b+c)/3>=sqrt(abc)，即(a+b+c)>=3sqrt(abc)。
因此，当三角形的面积一定时，其边长之和最小。
3. 利用相似性质有时候，在几何图形中，我们可以利用相似性质来求解最值问题。
例如，在等腰三角形ABC中，如果要求最大的高，则可以利用相似三角形的性质：设高线AD与BC交于点E，则有AE/ED=BE/EC=AB/BC=2/1。
因此，AE=2ED，BE=2EC。
又因为AD是等腰三角形的高线，所以BD=DC。
则DE=BD-BE=(1/3)BC。
因此，在等腰三角形ABC中，高线对应底边的比值为2:1时，高线最大。
综上所述，在初中几何中解决最值问题需要掌握代数方法、平均值不等式和相似性质等基本方法，并且需要在实际问题中灵活应用这些方法来求解各种复杂的问题。
初中几何最值问题
初中几何最值问题一、三点共线1构造三角形【例1】在锐角VABC中，AB=4, BC=5, / ACB=45°将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A i BC i .点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在A ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P i，求线段EP i长度的最大值与最小值.【巩固】以平面上一点0为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作A AOB 和A COD，其中/ ABO= / DCO =30 °如图，若BO=3J3，点N在线段0D上，且N0=2 .点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点0旋转的过程中，线段PN长度的最小值为___________ ，最大值为 ________ .【例2】如图，MON 90 °矩形ABCD的顶点A. B分别在边0M , ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点0的最大距离为 ____________【巩固】已知：△AOB 中，AB 0B 2 , △COD 中，CD OC 3,Z ABO / DCO .连接AD、BC , 点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点若A、O、C三点在同一直线上，且/ABO 2 ,固定△ AOB，将△ COD绕点0旋转，则PM的最大值为_______________【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE AB 10 .以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式.1 1【例3】如图，已知A( —,%), B(2』2)为反比例函数y —图像上的两点，动点 P(x,O)在x 正半轴上运2 x动，当线段 AP 与线段BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是 _____________2、轴对称 【例1】求..x 3 24 . x 2 1的最小值E ,CD MN 于点F , P 为EF 上任意一点，贝U PA+PC 的最小值为 ______________【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O ,直径为AB ,C 、D 是半圆上两点，若弧 AC 的度数为96 °弧BD的度数为36°动点P 在直径AB 上，贝U CP+PD 的最小值是 __________【巩固】设正三角形 ABC 的边长是2, M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上任意一点，则 PA+PM 的最大值为 _______ ，最小值为________【例2】AB CD 是半径为5的e O 的两条弦,AB 8， CD 6， MN 为直径，AB MN 于点初中几何最值问题【例3】如图，已知等边△ ABC 的边长为1 , D 、E 、F 分别是AB 、BC AC 边上的点(均不与点 A 、B 、C 重合)，记△ DEF 的周长为p 若D 、E 、F 分别是AB BC AC 边上任意点，则p 的取值范围是 __________________【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =— x 2 + 2x + 3与x 轴交于A . B 两点，与y 轴交于点C ,点D 是抛物线的顶点.(1) 求直线AC 的解析式及B . D 两点的坐标;(2) 请在直线 AC 上找一点M ，使△ BDM 的周长最小，求出点/卜y\ \津卜0 '1图1(1 )当AM // x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求 △ BCD 的面积； (2 )求△BCD 周长的最小值；(3 )当△BCD 的周长取得最小值，且 BD 5'2时，求△ BCD 的面积.3M 的坐标.【例5】如图，直线y 3X 2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点，将射线3 线AN , D 为AM 上的动点，B 为AN 上的动点，点 C 在/ MANAM 绕点A 顺时针旋转 45。
初中几何最值问题含解析
分析务必细致·论证务求严谨
-2-
刻意练习： 1.如左图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，E 为 AB 的中点，AC 是 ED 的垂直平分线。
(1)求证 DB＝DC. (2)在右图的线段 AB 上找出一点 P，使 PC＋PD 的值最小，标出点 P 的位置，保留画图痕迹，并求出 PB 的值。
B
P R
O
Q
A
【解析】如图所示，分别作 P 关于 OB、OA 的对称点，连接 P′、P″.∠P′OP″＝90°，P′P″＝10 2，C△PQR≥P′P″＝10 2
P' B
R P
O
Q
A
P''
点评:运用轴对称进行转化，求解 P′P″的长时，学生不容易想到通过连接 OP′、OP″、构造等腰直角三角形求解。
分析务必细致·论证务求严谨
-5-
刻意练习：
1.如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 和 N 分别是 AD，AB 上的
动点，则 BM＋MN 的最小值是
.
C
D M
A
N
B
【答案】4
【解析】作 N 关于 AD 的对称点 N′，BM＋MN＝BM＋MN′≥BH＝4
y
C
E
B
y
C
E
B
N
D
N
D
O
M
A
x
O
M
A
x
【答案】(1) y＝－43x＋25；(2)5＋5 37。 【解析】(1)OE＝OA＝15，OC＝9，得 CE＝12，BE＝3，E(12，9)
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N
M N’ D
M’
A B
已知：如图，在锐角三角形ABC中，P为锐角 三角形ABC内一点，要使PA+PB+PC最小，求 ∠APB、∠BPC、 ∠APC的度数。
O P
5、已知∠AOB=450 ，其内部一点P，OP=10， 在∠AOB的边OA、OB上分别有点Q、R(P、Q、 R三 点不在同一真线上)，Q、R不同于点O，则 △PQR周长的最小值为多少?
A B
l
D
C
B’
已知：如图，A（1,2），B（4,3） 在X轴上分别找点P、Q 使（1）PA+PB最小； （2）|QA-QB|最大.
已知：抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于点A、 B,与y轴交于点C 在抛物线的对称轴上分别找点P、Q 使（1）PA+PB最小； （2）|QA-QB|最大.
2、两定两动
已知：如图，l1∥l2， l1与 l2之间的距离是h， 在l1上找两点M，在l2上找两点N,且MN= h 使AM+MN+NB最小。
3、一定两动
已知：如图，l1与 l2，在 l1上有一个定点A， 在l1上找一点B，在l2上找一点P, 使PA+PB最小。
已知：在锐角三角形ABC中，AB= 4 2 , ∠BAC=45°的平分线交BC于点D、M、N分别 是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值.
b C,
P1 B
R .P
O Q P2
A
6、护城河在CC’处直角转弯，宽度保持4米。从A处往B处经 过两座桥，DD’，EE’ 。设护城河是东西---南北方向的，AB在 东西方向上相距64米，南北方向相距84米，如何设计两座桥 梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最 短？最短距离是多少？
1.两点之间的连线中，线段最短. 2.从直线外一点与直线上各点的连线中， 垂线段最短. 3.三角形任意两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边.
张李河问题
平面内有一直线及两点A、B在直线l上找一点 P，使 （1）PA+PB最小； （2）|PA-PB|最大.
A B
P B'
P'
l
P1、两Βιβλιοθήκη 一动设A、B是直线l同侧的两定点，在l上求一 点C使△ABC周长最短。
已知：如图，A（1,2），B（4,3） 在y轴上找一点P，在X轴上找一点Q 使四边形APQB周长最小。
已知：四边形ABCD中，∠BAD=120°， AB⊥BC， AD⊥DC， 在BC上找一点M，在CD上找一点N 要使三角形AMN周长最小，求∠AMN+ ∠ANM
已知：如图，A（1,2），B（4,3） 在X轴上找两点PQ，且PQ=a 使四边形APQB周长最小。