初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值

几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或

几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本

方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，

先探求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量

(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基

本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这

是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数

形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以

AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．

思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，

DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2

1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，

本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特

殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

(2)端点处、临界位置等．

【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度

数（ ）

⌒

A ．从30°到60°变动

B ．从60°到90°变动

C ．保持30°不变

D ．保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，

其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值．

【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上

的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．

思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运

用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．

【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘

积与M 点的选择无关．

思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC

的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为

△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，

从而我们的证明目标更加明确．

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证

明问题．

【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的

三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可

能值．

思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，

取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)

上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大

⌒

值．

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函

数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：

(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；

(2)构造二次函数求几何最值．

学力训练

1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C

点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′

+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．

2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均

不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．

3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的

距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．

4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN

上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )

A ．1

B ．2

2 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿

看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )

A ．212π+

B ．2412π+

C ．214π+

D ．242π+

6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、

RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )

A ．线段EF 的长逐渐增大

B ．线段EF 的长逐渐减小

C ．线段EF 的长不改变

D ．线段EF 的长不能确定