希尔伯特的23个问题教材课程
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解决的情况 公理化集合论 1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下
证明了第一个问题是不可解的.即连续统假设的真伪不可 能在Zermelo_Fraeቤተ መጻሕፍቲ ባይዱkel公理系统内判定
３．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不
可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.Ｍ· Ｗ·德恩1900年即对此问题给出了肯定解答.
解决的情况 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年
A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后 半部分.
８．素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等.一
般情况下的黎曼猜想仍待解决.哥德巴赫猜想的最佳结果 属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离.目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润.
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探 讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决.
解决的情况 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提
得过于一般.希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探 索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展， 但问题并未完全解决.
５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假 定是可微的
11．系数为任意代数数的二次型 Ｈ·哈塞（１９２９）和Ｃ·Ｌ·西格尔（１９３６
，１９５１）在这个问题上获得重要结果.
解决的情况 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)
和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果.
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域 上去
经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的.
６．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，
首先是概率和力学.1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实 现了将概率论公理化.后来在量子力学、量子场论方面取 得了很大成功.但是物理学是否能全盘公理化，很多人表 示怀疑.
希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｄ·，１８２．１．２ ３—１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至全 世界最伟大的数学家之一.他在横跨两个世纪的六十年的 研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把 他的思想深深地渗透进了整个现代数学.希尔伯特是哥廷 根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质
这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部 欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧 群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚 （1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥 马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果.
解决的情况 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会 议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３ 个问题的研究进展情况.当时统计，约有一半问题已经解 决了，其余一半的大多数也都有重大进展.
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学 的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０ 问题的解决.由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数 学家的无上光荣.
１０．丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可
解.希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判 断一个丢番图方程的可解性？１９７０年，苏联的ＩＯ· Ｂ·马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在
解决的情况
Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、 美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的.
解决的情况 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学
等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理 化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题.概率论的公 理化已由A.H.Konmoropob等人建立.
７．某些数的无理性与超越性 1934年，Ａ·Ｏ·盖尔方德和Ｔ·施奈德各自独立地解决
了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠０，１，和任 意代数无理数β证明了αβ的超越性
解决的情况 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很
快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解 答.
４．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般.满足此性质的几何学很多，因
而需增加某些限制条件.1973年，苏联数学家波格列洛夫 宣布，在对称距离情况下，问题获得解决.
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其 它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
１．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别 的基数，这就是著名的连续统假设.1938年，哥德尔证明 了连续统假设和世界公认的策梅洛－－弗伦克尔集合论公 理系统的无矛盾性.1963年，美国数学家科亨证明连续假 设和策梅洛－－伦克尔集合论公理是彼此独立的.因此， 连续统假设不能在策梅洛－－弗伦克尔公理体系内证明其 正确性与否.
解决的情况 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜
想.包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决.中 国数学家在这方面做了一系列出色的工作.
９．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（１９２１）和德国
数学家Ｅ·阿廷（１９２７）解决.
解决的情况
任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木 贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界 产生影响.希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这 样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某 种途径导源于希尔伯特的工作.他像是数学世界的亚历山 大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字.
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个 最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名 的“希尔伯特23个问题”.
证明了第一个问题是不可解的.即连续统假设的真伪不可 能在Zermelo_Fraeቤተ መጻሕፍቲ ባይዱkel公理系统内判定
３．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不
可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.Ｍ· Ｗ·德恩1900年即对此问题给出了肯定解答.
解决的情况 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年
A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后 半部分.
８．素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等.一
般情况下的黎曼猜想仍待解决.哥德巴赫猜想的最佳结果 属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离.目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润.
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探 讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决.
解决的情况 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提
得过于一般.希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探 索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展， 但问题并未完全解决.
５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假 定是可微的
11．系数为任意代数数的二次型 Ｈ·哈塞（１９２９）和Ｃ·Ｌ·西格尔（１９３６
，１９５１）在这个问题上获得重要结果.
解决的情况 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)
和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果.
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域 上去
经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的.
６．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，
首先是概率和力学.1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实 现了将概率论公理化.后来在量子力学、量子场论方面取 得了很大成功.但是物理学是否能全盘公理化，很多人表 示怀疑.
希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｄ·，１８２．１．２ ３—１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至全 世界最伟大的数学家之一.他在横跨两个世纪的六十年的 研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把 他的思想深深地渗透进了整个现代数学.希尔伯特是哥廷 根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质
这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部 欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧 群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚 （1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥 马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果.
解决的情况 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会 议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３ 个问题的研究进展情况.当时统计，约有一半问题已经解 决了，其余一半的大多数也都有重大进展.
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学 的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０ 问题的解决.由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数 学家的无上光荣.
１０．丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可
解.希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判 断一个丢番图方程的可解性？１９７０年，苏联的ＩＯ· Ｂ·马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在
解决的情况
Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、 美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的.
解决的情况 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学
等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理 化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题.概率论的公 理化已由A.H.Konmoropob等人建立.
７．某些数的无理性与超越性 1934年，Ａ·Ｏ·盖尔方德和Ｔ·施奈德各自独立地解决
了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠０，１，和任 意代数无理数β证明了αβ的超越性
解决的情况 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很
快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解 答.
４．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般.满足此性质的几何学很多，因
而需增加某些限制条件.1973年，苏联数学家波格列洛夫 宣布，在对称距离情况下，问题获得解决.
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其 它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
１．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别 的基数，这就是著名的连续统假设.1938年，哥德尔证明 了连续统假设和世界公认的策梅洛－－弗伦克尔集合论公 理系统的无矛盾性.1963年，美国数学家科亨证明连续假 设和策梅洛－－伦克尔集合论公理是彼此独立的.因此， 连续统假设不能在策梅洛－－弗伦克尔公理体系内证明其 正确性与否.
解决的情况 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜
想.包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决.中 国数学家在这方面做了一系列出色的工作.
９．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（１９２１）和德国
数学家Ｅ·阿廷（１９２７）解决.
解决的情况
任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木 贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界 产生影响.希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这 样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某 种途径导源于希尔伯特的工作.他像是数学世界的亚历山 大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字.
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个 最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名 的“希尔伯特23个问题”.