简谐激励下强迫振动的响应特性

1 s 2 t 0 in 0
c1
100.05(m) 200
c2 0
例（1）
The solution: x t A c2 o t B 0 s s2 it n 0 . 0 0 tc 5 2 o t 0 s
A and B are determined using the initial conditions
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
x00 A0 x t 2 0 B c o s 2 0 t 0 . 0 5 c o s 2 0 t t s i n 2 0 t x00 B0.050.0025(m )
20
Hence, the complete response of the undamped system is
x t 0 .0 0 2 5 s i n 2 0 t 0 .0 5 tc o s 2 0 tm
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的高频特性
, 0 , , X 0 F k 0 n 2 2 m F 0 2
(Inertia domination)
（外力主要与惯性力平衡）
Φarctan122
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
稳态响应的共振特性
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
kc
x x 2 2 t t 4 c 1 c c 1 2 s t 2 0 o c t 2 c s i 0 2 c 2 0 t n s 2 i t 2 t o 4 n 0 c 1 t 0 s c 1 0 c 2 s 0 t 2 i t c 2 c c o 2 n 0 s 2 0 0 2 t t o s i o0 xΔ0 n Fs k F Fm c
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh(t)xp(t)
其中, x h (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
x p (t) 为方程的特解 稳态响应
拍的现象
拍的现象
m x kxF 0sin t m 1, k1, F01
we have ωn-ω=2ε
x xsi n t
Period of beating:? Max. Amplitude: ?
1.06
1.1
1.12
激励频率与固有频率比不同时的情况
1.8
例（1）
问题描述
如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.
r /n
静位移 无量纲频率比
无阻尼系统幅频特性
稳态解的分段响应特性
总响应
共振
此时 由罗比塔法则
x (t) x 0c o sn tx 0 nsinn tst2n tsinn t
激励频率与固有频率接近
Case 4: ωn ≈ ω
设 x0 x0 0，则：
令 n 2 ， 为一小正数。则：
n 2 n 2
n22 4
激励频率与固有频率接近
因此有：
xtF 20/msintsint
F0 / m sin t 2
可变幅值
幅值变化周期为 2 /
出现拍的现象
激励频率与固有频率接近
拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间
b
2 2
2 n
拍频： b 2 n
(or : fb fn f )
1 , 2 1 ,
, 2
X 0ination)
（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）
Φarctan2 1 2
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
振幅达到最大值时的频率
'
12
1
2 22
22112 22228223
Exceed x (t) 180o
Vector relationship
稳态响应的低频特性
若 r X 0
st
Vector relationship
（习惯表达方式）
0 , 1 , 0 , X 0 F k0
(Stiffness domination)
（外力主要与弹性力平衡）
Φarctan122
如果F(t)=10sin(20t)(N), 所有初条 件为零, 求系统响应x(t)=?
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s i n 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
例 （1）
Particular solution:
例（1）
The solution: x t 0 .0 0 2 5 s i n 2 0 t 0 .0 5 tc o s 2 0 tm
详细推导
稳态 和瞬 态问 题！！
全解！
二、有阻尼情形
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
cx
Inertia
m x2
Amplitude F0
kX0 cωX0 mω2X0
Phase Angle 0o
Lag F(t)
Φ
Exceed x (t) 90o
振动的时域波形
一、无阻尼情形
无阻尼情形的运动方程
瞬态解的一般形式：
稳态解的一般形式： 代入运动方程，得到振幅：
因此，总振动的一般形式为：
放大系数与静位移
总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数
得到总振动的表达式
稳态解的振幅 X 通常可表达成
X 1 st 1 r 2
X
振幅放大系数（幅值比）
其中： st F0 / k