初三上数学辅导讲义第一讲

初三上数学辅导讲义(一) 一元二次方程的解法

一、用配方法解方程

1．(1)x 2－2x －12＝0 (2)2x 2－4x －1＝0

二、用公式法解方程

2．(1)5x 2＋2x －1＝0 (2)6x 2＋13x ＋6＝0

三、用因式分解法解方程

3．(1)x 2－6x ＋9＝4 (2)9(x －2)2＝4(x ＋1)2

四、选择适当的方法解方程

4．(1)x 2－4x ＋1＝0 (2)3x (x －1)＝2x －2

五、利用一元二次方程根的定义解方程

5．(2014·济宁)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两根是m ＋1，2m －4，则b

a

＝___．

6．(2014·内江)关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是：x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解是( )

A ．x 1＝－6，x 2＝－1

B ．x 1＝0，x 2＝5

C ．x 1＝－3，x 2＝5

D ．x 1＝－6，x 2＝2 六、利用一元二次方程根的判别式解方程

7．关于x 的一元二次方程mx 2－(3m －1)x ＋2m －1＝0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的解．

一元二次方程的根与系数的关系

知识点：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____． 一、直接求两根之和与两根之积

1．一元二次方程x 2＋3x ＝1的两根之和与两根之积分别是( ) A ．3，1 B ．－3，－1 C ．3，－1 D ．－3，1 二、求相关对称式的值

2．设x 1x 2是一元二次方程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x 12＋x 22 (2)x 2x 1＋x 1

x 2 (3)x 12＋x 22－3x 1x 2

三、已知方程的一根求另一根与待定系数

3．已知x ＝3是关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0的一根，则另一根是__ __，m ＝__ __． 4．已知2＋3是关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根，求方程的另一个根，及m 的值．

四、与判别式结合求待定系数的值

5．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；

(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．

6．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；

(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．

练习

1．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：

(1)4x2＋1＝7x，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

(2)3x2－1＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

(3)x2－6x＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

(4)2x2－(m＋1)x－m＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____．

2．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2－1＝____．

3．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程．

4．(2014·常州)已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝___，另一个根为____．5．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．

6．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．

7．对于任意的非零实数m，关于x的方程x2－4x－m2＝0的根的情况是(C)

A．有两个正实数根B．有两个负实数根C．有一个正实数根，一个负实数根D．没有实数根8．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(D)

A．－1或5 B．1 C．5 D．－1

9．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝__－1__．10．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__23__．11．关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.

(1)a为何值时，方程的一根为0?

(2)a为何值时，两根互为相反数？

12．(教材变形题)学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两

个根为x1，x2，就能快速求出1

x1＋1

x2，x1

2＋x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，

则x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，得1

x1＋

1

x2＝

x1＋x2

x1x2＝

2

3.”

(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；

(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

13．(2014·鄂州)已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.

(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；

(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．

初三上数学辅导讲义(二)

应用一元二次方程

一、利用一元二次方程解决几何问题

列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__．1．从一块正方形的木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是()

A．8 cm2B．8 cm2或64 cm2C．64 cm2D．36 cm2

2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程() A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48

,第2题图),第3题图)

3．小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为() A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm

4．(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是120 cm2，如果它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.

5．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走___m后，他与购物中心的距离为340 m.

6．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得____．

7．(教材习题改编)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB 边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过____秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.

8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．