第六章解线性方程组的迭代法精选.

第五章 解线性方程组的迭代法

本章主要内容：

迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。

教学目的及要求：

使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。

教学重点：

雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。

教学难点：

迭代法基本定理的证明以及作用。

教学方法及手段：

应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。

在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。

教学时间：

本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。

教学内容：

一 迭代法定义

对于给定的线性方程组x Bx f =+，设它有唯一解*x ，则

**x Bx f =+ (6.1)

又设(0)x 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列

(1)(),0,1,2,k k x Bx f k +=+=L (6.2)

这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B 与f 与k 无关）。如果()

lim k k x

→∞

存在

（记为*x ），称此迭代法收敛，显然*

x 就是方程组的解，否则称此迭代法发散。

迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列()

{}

k x 是否收敛。为此，我们引入误差向量

(1)(1)*k k x x ε++=-

将(6.2)式与(6.1)式相减，我们可得

(1)*()*()k k x x B x x +-=-

(1)(),0,1,2,k k B k εε+==L

递推下去，得

()(1)2(2)(0)k k k k B B x B x εε--====L

要考察()

{}k x

的收敛性，就要研究B 在什么条件下有

()lim 0k k ε→∞

=

也就是要研究B 在什么条件下有

lim 0k k B →∞

=。

二 迭代法收敛性定理 矩阵的收敛性定义

设有矩阵序列()()k n n

k i j A a R ⨯=∈及()n n

i j A a R

⨯=∈，如果n n ⨯个数列极限均存在

且有

()

lim (,1,2,,)k i j i j k a a i j n →∞

==L 则称{}k A 收敛于A ，记为lim k k A A →∞

=。

注：

矩阵序列的收敛性是根据矩阵的每个分量序列的收敛性来定义的。

【例题1】讨论约当块矩阵的幂次所构成的矩阵序列的收敛性。 形如

1

1n n

J λλλ⨯⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭O

O

的矩阵称之为n 阶的约当块。它可以分解成为

010010J I λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪

⎪

⎪=+∆+Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

O

O O

O 下面，我们分几步来研究矩阵序列

23,,,,,m J J J J L L

的收敛性。

1 矩阵Λ的幂阵的性质

我们不妨以4阶阵来看看这种性质。

0101010⎛⎫ ⎪

⎪Λ= ⎪

⎪⎝⎭，2001001000⎛⎫

⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， 3

00010000

00⎛⎫ ⎪

⎪Λ= ⎪

⎪⎝

⎭，4

00000000

00⎛⎫ ⎪

⎪Λ= ⎪ ⎪⎝

⎭

m Λ的性质可归纳为以下两点：

（1） 如4m ≥时，0m

Λ=；

（2） m=1时，Λ的第2条对角线元素为1，其余为零；m=2时，2

Λ的第3条对角线元

素为1，其余为零；m=3时，3Λ的第4条对角线元素为1，其余为零。

简言之，m Λ的第m+1条对角线元素为1，其余为零（当没有第m+1条对角线时，m Λ应理解为零矩阵）。

2 计算约当块的幂次。

当m n ≥时，

1

1

()m

n m

m

k k

m k

m

k

k m k m

m

m k k J I C C C λλ

λλ---===Λ+=Λ=Λ+Λ∑∑

1

1

n m

k

k m k

m k I C λλ--==+Λ∑11221(1)

11

2211

m

m m n m n m m m m m m m m m m m m C C C C C C λλλλ

λλλλ

λλ--------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

L

O

M O

O

3 一个极限性质

因为lim 0(01,0)k m

m m c c k →∞

=<<≥，得到

lim 01k m k

m m C λλ-→∞

=⇔<

这里，注意事实

(1)(1)

!

k k m m m m k C m k --+=

≤L

4 约当块幂阵的收敛性结论

当1λ<时，{}m J 收敛于零矩阵；当1λ≥，{}m J 发散。

矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。

【定理1

】lim lim 0k k k k A A A A →∞

→∞

=⇔-=

，其中⋅为矩阵的任意一种范数。

证明 显然有

lim lim 0k k k k A A A A

∞

→∞

→∞

=⇔-=

再利用矩阵范数的等价性，可证明定理对其他矩阵范数也成立。 【定理2】lim k k A A →∞

=的充要条件是n

x R ∀∈，有lim k k A x Ax →∞

=。

证明 必要性 记k k B A A =-，据lim k k A A →∞

=，可知lim 0k k B →∞

=。

设()

()k k i j B b =，对于1(1,0,,0)T ε=L ，有

()()()111211(,,,)k k k T

k n B b b b ε=L

由lim 0k k B →∞

=可知，1lim 0k k B ε→∞

=。

类似地，可证明 lim 0(1,2,,)k i k B i n ε→∞

==L 。

这里，12,,,n εεεL 是n

R 中的基本单位向量组。

n x R ∀∈，则1122n n x x x x εεε=+++L 1122k k k n k n B x x B x B x B εεε=+++L

1122lim lim lim lim 0k k k n k n k k k k B x x B x B x B εεε→∞

→∞

→∞

→∞

=+++=L

即 lim()0k k A A x →∞

-=，lim()0k k A x Ax →∞

-=