数学分析(华东师大版)上第九章9-4

以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
可理解为 f ( x) 在 [a,b] 上所有函数值的平均值, 这
是有限个数的算术平均值的推广.
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）
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n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
从而
n
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)

1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得
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b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
i 1
.
22
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上
也可积.
证 因 f , g 在 [a, b] 上可积，故在 [a,b] 上都有界,
1
b
f ( x)dx,
矛盾;
ba a
或
1
b
f ( x)dx
1
b
f ( x)dx,
矛盾.
ba a
ba a
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注2 积分第一中值定理的几何意义如下图所示:
y
f ( )
O
a
b
x
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图中 y f ( x) 在 [a, b] 上的曲边梯形的面积 ,等于
即 M 0, x [a, b], f ( x) M , g( x) M .

0, 存在分割 T , 使
T
if Δxi

; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi


2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
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b
b
即
a f ( x)dx a g( x)dx.
性质6 若 f 在 [a, b] 上可积,则 | f |在 [a, b] 上也
可积,且
b
b
a f ( x) d x a f ( x) d x.
在 [a, b] 上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记 J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
a
0, 0, 当 T 时, 对一切 i [xi1, xi ],
n
f (i )Δ xi J
i 1
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即
m 1
b
f ( x)dx M .
ba a
由连续函数的介值性定理， [a, b], 使
f ( ) 1
b
f ( x)dx.
ba a
注1 还可以在 (a, b) 内取到,事实上若
x (a, b), f ( x) 1
b
f ( x)dx,
ba a
x [a, b] , 且存在 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ), 则
b
b
a f ( x) d x a g( x) d x.
证 g( x) f ( x) 0, 且 g( x0 ) f ( x0 ) 0, 不妨设
x0 (a, b). 由连续函数的局部保号性质, 0,
T
ixi

,
2
T
ixi


2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在 [a, b ] 上可积, 则 0, T ,
b
f ( x) dx 0.
a
证 若 J b f ( x) dx 0. 对 J 0, 0, T , a
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i [ xi1, xi ],
f (i )Δxi J J .
T
因此
n
f (i )xi J J 0,
使 iΔxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
T
由§3习题第1题, 知道
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Δx
i
i
iΔxi .
T
T
分割 T 在 [a, c] 和 [c, b] 上的部分, 分别构成对
[a, c] 和 [c, b] 的分割,记为 T 和 T, 则
可积, 且
b
b
b
( f ( x) g( x))dx f ( x)dx g( x)dx.
a
a
a
证 记 J1
b
a f (x)dx, J2
b g( x)dx. 于是 0,
a
0, 当 T 时，i [xi1, xi ], i 1, 2,L , n,
i 1
这与 f (i ) 0, Δxi 0 矛盾.
推论 若 f , g 在 [a, b] 上可积, 且 f ( x) g( x), x
[a, b], 则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
iΔxi iΔxi , iΔxi iΔxi .
T
T
因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积.
若 f 在 [a, b] 上可积,由必要性证明,若分割 T 使点
c 为其中一个分点, 则 T 在 [a, c]的部分 T 构成
注 若规定 a b 时
b
f ( x)dx
a f ( x)dx, a b 时
a
b
b
f ( x)dx 0, 则对 a, b, c 的任何大小顺序, 恒有 a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
性质5
若f 在 [a, b]上非负、可积, 则
a
x0
b
[ g( x) f ( x) ]d x x0
[ x0 g( x) f ( x) ]d x g( x0 ) f ( x0 ) 2
x0
2
[ g( x0 ) f ( x0 ) ] 0 ,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
于是

fg i
xi

M
if xi M
ig xi
T
T
T
M if xi M igxi
T
T
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M M .
2M 2M
因此 f g 在 [ a, b] 上可积.
性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是:c (a, b),
a
a
注3 若 f ( x) g( x), x [a, b], 由 f , g在 [a, b] 上可
积,可得
b
b
a f ( x)d x a g( x)d x.
此结论, 由本章总练习题10证明.
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二、积分中值定理
定理9.7 ( 积分第一中值定理 )
若 f 在 [a, b]上连续, 则存在 [a,b],使
并而成的新分割 ), 则
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
x, x Δ i
sup g( x) f ( x) f ( x)
f ( x) g( x) g( x) x, x Δi
Mif Mig .
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故 i f Δxi if Δxi , 即 f 在 [a,b] 上可积.
T
且由于 f ( x) f ( x) f ( x) , 得到
b
b
b
a f ( x) dx a f ( x)dx a f ( x) dx,
因此证得
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
f (x)dx f (x) dx.
对 [a, c]的分割,在 [c,b]的部分 T 构成对 [c, b]的
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分割 , 且 f (i )Δxi f (i )Δxi f (i )Δxi.
T
T
T
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
则由连续函数的介值定理, 必恒有
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或恒有
b
f ( x) a f (t)dt, x (a, b),
b
f ( x) a f (t)dt, x (a, b).
因此
1
ba
b
f ( x)dx
1
a
ba
b 1 a b a
b a
f
(t )dt
dx
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注2 例1中条件 f 与 g 的连续性,可减弱为:
f 和 g 在 [a, b] 上可积, f ( x) g( x), x [a, b] ,且
存在 f 和 g 的连续点 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ),
则
b
b
f (x) dx g(x) dx.
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 此时且有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
0, [a, c] 与 [c, b] 上分割 T 与 T, 使得
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证 因为 f 在 [a, b] 上可积, 0, T , 使得

f i
xi

.由
f ( x) f ( x)

f ( x) f ( x) ,
T
i f sup{ f ( x) f ( x) x, x [ xi1, xi ] }
sup{ f ( x) f ( x) x, x[ xi1, xi ] } if .
a
a
注1 由 f ( x) g( x), 但 f ( x) g( x), 一般不能推得
b
b
f ( x)dx g( x)dx. 但若 f ( x) 和 g( x)在 [a, b]
a
a
上连续，则可得到严格不等式
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
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例1 设 f ( x) 和 g( x) 在 [a, b] 上连续, f ( x) g( x),
§4 定积分的性质
本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具.
一、定积分的性质 二、积分中值定理
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一、定积分的性质
性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f
b
a f ( x)dx f ( )(b a).
证 由于 f 在 [a, b] 上连续，因此存在最大值 M 和
最小值 m. 由于m f ( x) M , x [a, b], 因此
b
b
m(b a) a mdx a f ( x)dx
b
a Mdx M (b a),


. k 1
从而
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n
k f (i )Δ xi kJ k
i 1
k
n
f (i )Δ xi J
i 1
.
k 1
因此 kf
在 [a, b] 可积,
且
b
kf ( x)dx k
b
f ( x)dx.
a
a
性质2 若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上