席位分配

1引言

席位分配是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学管理和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理的方法最早的有尾数最大法；然后是Q值法；1974年引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个所用的比例分配方法存在较大缺陷分配为１１，７，３名额。其结果是，单位增加一个先进名额后，丙部门反而减少了一个名额。公理的席位分配方法是不存在的。后又有一些新的算法，如：新值法，最大熵法，0-1规划法，法，值法最小极差法和最大概率法等。但有时我们遇到大会上遇到少数情况，某个部门的人数较少，按上述方法分不到席位。本文讨论的是“少数原则”下解决席位分配问题，在解决“少数原则”情况下较方便。

正文

问题：

2.1问题：在一次民族代表会中，有一个民族的人口在该国占有极少比例，但大会必须考虑政策给一个席位的分配资格。如果我们遇到同样的问题该如何处理呢？下面我们给出少数分配的原则，并讨论在该特殊问题下的分配问题。

少数原则：在席位分配中，各部门都有分配资格，当席位数n大于单位（部门）数i时至少分配一个席位。

2.2问题的一般表述

一个单位由m个部门组成，其中第i个部门的人数为a

i (1)

i m

≤≤，学校总人数

为a。如果该单位需要召开一个由n个代表参加的代表大会,且每个部门尽可能分配一个名额，组织者必须把n个席位尽可能公平的分配到个部门中去。记每个

部门最后应分配到的席位数为n

i ，试问n

i

是多少？

模型假设

要解决这样的问题首先必须舍弃原有的公平分配体系，让更多的部门拥有席位分配的资格,建立相对公平的指标。

建立数量指标

首先我们必须讨论总席位数n和总部门数i之间的关系

1）当n〈i时，由于不可能保证每个部门都可一分到席位，这时我们尽可能的让更多的部门分到席位，可以由D’Hondt法（备注2）中的a

i

/1来做比较，由值的大小来决定分配与否（由值的大小由大到小按顺序来排，依次给予一个席位直到分配完）

2）当n=i时，由少数原则，每个部门必须分到，刚好每个部门分配一个

3）当n〉i时，每个部门至少可以分到一个名额。余下的我们按相对公平原则分

配。先用比例划分取值[n

i ]（n

i

=（a

i

/a）*n ，由n

i

取整得到）

（1）若[n

i

]存在0值，由少数原则，每个部门至少分配一个名额，余下的n-i 个席位由Q值法（备注3）进行分配；

（2）若[n

i ]不存在0值，每个部门先分得[n

i

]（i=1.2.3…i）余下的右Q值

法决定分配额。

模型建立

记席位分配的总席位数n和总部门数i

1）当n〈i时，由D’Hondt法中的a

i

/1来做比较，由值的大小由大到小按顺序来排，依次给予一个席位直到分配完；

2）当n=i时，每个部门分配一个；

3）当n〉i时，每个部门至少可以分到一个名额。先用比例划分取值[n

i ]（n

i

=

（a

i /a）*n ，由n

i

取整得到）

（1）若[n

i

]存在0值，由少数原则，每个部门至少分配一个名额，余下的n-i 个席位由Q值法进行分配；

（2）若[n

i ]不存在0值，每个部门先分得[n

i

]（i=1.2.3…i）余下的由Q值

法决定分配额。

模型求解

某单位按有甲乙丙三个部门并设20个代表席位。它的最初职工人数及职工代表席位为

系名甲乙丙总数

学生数 100 97 3 200

学生人数比例 100/200 97/200 3/200

席位分配 10 9 1 20

引用部分

备注1：某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为

系名 甲 乙 丙 总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200

席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为21。

备注2：D ’Hondt 法 ：比利时人D ’Hondt 提出将甲、乙、丙３部门的人数Ｐk （k=１，２，３）都用ｉ（ｉ=１，２，３，…）整除，将等Ｐk/i （k=１，２，３…,ｉ=１，２，３，…）商从大到小排列，取排列在前的２１个数。若这２１个数中有个是甲部门人数被整数相除所得的商，则甲部门分得ｍ个名额，乙、丙部门类推。

备注3：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设

11n p >22

n p ，即对单位A 不

公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111

n p >

22

n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;

2. 111

+n p <

22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1

)1(11),1(21211111

2221-⋅+=++-=+n p p n n p n p

n p n n r B

3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为 1

)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A 4.11n p <122

+n p ,不可能

上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有

)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B

则增加的一席应给A ，反之应给B 。对不等式 r B (n 1+1,n 2)

)

1()1(112

1222

2+<+n n p n n p

引入公式

k k k

k n n p Q )1(2+=

于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。

参考文献

1. 姜启源 数学建模（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

2. Huntley ID.James D J G.Mathematical Modeling[M].Oxford Uniwersity Press,1900

3. Burghes D N Huntley I Medonald J JOHN WILEY & SONS,INC 1982