公平的席位分配问题
公平的席位分配
公平的席位分配席位公平分配问题—Q值法的改进摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。
通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。
结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。
一、问题背景席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。
席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。
同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理：公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。
公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。
公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。
公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。
公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。
然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。
著名的Q 值法是1982年由D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。
但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。
基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。
公平的席位分配问题
2)Q 值方法 表 6 Q 值法分配方案 宿舍 A B C 学生 人数 235 333 432 10 席的分配 比例 2.35 3.33 4.32 Q值 9204.2 9240.8 9331.2 结果 2 3 5 比例 3.525 4.995 6.480 15 席的分配 Q值1 4602.1 5544.5 4443.4 Q值2 4602.1 3696.3 4443.4 结果 4 5 6
计算出每个宿舍分到的每个席位代表的人数 eij ，将 eij 从大到小排列可得一数列
e ,其中 e 表示 e 中第 k 大的项，从数列 e 中选取前 n 项（ n 表示所要选的
k ij k ij k ij k ij
席位总数） ， 记 n p eij
k 1,2,, n中i p的项的个数 p A, B, C 得出每类数的个数
总和
1000
10.00
/
10
15.000
/
/
15
3)d’Hondt 方法 表 7 d’Hondt 法分配方案 宿舍 A B C 总和 学生人数 235 333 432 1000 10 个名额分配 2 3 5 10 15 个名额分配 3 5 7 15
4)d’Hondt+Q 值法 表 8 d’Hondt+Q 值法分配方案 i 1 2 3 4 5 6 7 获得名额 4 5 27612.5 9204.2 4602.1 2761.3 A 宿舍 Q值 席次 3 7 12 15 55444.5 18481.5 9240.8 5544.5 3696.3 B 宿舍 Q值 席次 2 5 8 11 14 93312.0 31104.0 15552.0 9331.2 6220.8 4443.4 6 C 宿舍 Q值 席次 1 4 6 9 10 13
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
1.席位分配问题
1.席位分配问题一. 问题提出设有甲、乙、丙三个部门，人数分别为1a 、2a 、3a ，有N 个名额进行分配。
甲、乙、丙所分名额分别是1n 、2n 、3n ，即有123N n n n =++。
公平分配要求如下：1. 一个部门人数的增加不会导致它分得的名额减少；2. 总的分配名额的增加不能导致某个部门分得的名额减少；3. 任一部门分得的名额数不能偏离其比例的名额数。
分法一：比例加惯例分配即按照人口比例进行名额分配。
若各部门所得恰好是正整数，分配完毕； 否则，把小数部分对应的名额分给尾数最大的。
分法二：Q 值法假设A 、B 两方，人数分别为1p 、2p ，待分配的名额是N 个，A 方和B 方得到的名额分别是1n 、2n 。
首先给出衡量公平分配的数量指标： 当1212p p n n =时，分配公平；若1212p pn n >，对A 不公平，此时定义1212p p n n -为对A 的绝对不公平度，()12121222,A p pn n r n n p n -=为对A 的相对不公平度；若1212p p n n <，类似的定义2121p p n n -为B 的绝对不公平度，()21211211,B p p n n r n n p n -=为对B 的相对不公平度。
要使分配方案尽可能公平，制定分配方案的原则是使()12,A r n n =与()12,Br n n =都尽可能小。
假设A 方和B 方已分得1n 、2n 个名额，利用相对不公平度()12,A r n n =与()12,B r n n =讨论当分配名额再增加一个时应该分配给A 还是给B 。
不妨设1212p p n n >，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： （1） 当12121p p n n >+ 时，说明即使给A 增加1个名额，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方。
（2） 当12121p p n n <+时，说明给A 增加1个名额后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为()21121211,1B p n r n n p n ++=- (1)（3） 当12121p p n n >+时，这说明给B 增加1个名额，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为()1212211,11A p n r n n p n ++=- (2)因为公平分配席位的原则是使相对不公平度尽可能小，所以如果()()12121,,1B A r n n r n n =+<+ (3)则这1个名额给A 方，反之这1名额给B 方. 由【1】、【2】知，【3】等价于()()2221221111p p n n n n <++ (4)不难证明上述的第(1)种情况12121p p n n >+也与【4】式等价。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
公平席位的分配(韩文斌)
公平席位分配模型班级：09数学（2）班姓名：韩文斌学号：0907022011摘要：通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。
比较三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。
关键词：公平分配绝对不公平程度 Q值法模型正文1 问题的提出某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
1.1 若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是什么？1.2 现在丙系有6名学生转入甲乙两系（其中3人转入甲系，3人转入乙系），现在该如何分配呢？1.3 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局，会议决定下一届增加1席。
在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个系呢？2 合理假设与变量说明假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。
3 模型建立3.1 人数比例模型公平标准iiP P N N =, i =1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。
3.2 最大剩余法模型记,1,2,3ii iP R i N ==…的余数，i R 越大说明i 系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低i R ，则剩余席位优先分给i R 最大的i 系。
3.3 Q 值法模型[1]当总席位增加1席时，计算令2(1)i i i i p Q n n =+，增加1席位应该分配给Q 值最大的一方。
3.3.1 不公平指标为简单起见考虑A ,B 两系分配席位的情况。
设两方人数分别为1P ,2P ，占有席位分别为1n ,2n ,则比值11p n ,22p n 为两方每个席位所代表的人数。
显然仅当1212p p n n =分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常1212p p n n ≠，分配不公平，并且对比值较大的一方不公平。
数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题
情形1 情形2
p1 p2 ， n1 1 n2
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
r B (n 1 1 ,n 2 ) p 2n p 2 1 (n p 1 1 (1 n ) 1 1 ) p 2 ( p n 1 1 n 21 ) 1
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
10 6 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果
m]
❖ （即“比例加惯例”的方法）。
❖ (2) 若 r1 r2 ，则取得结果同上.
❖ (3) 若
r1 r2 ，则取
p1
A
17
❖ 按照定理，对三个部门，设全不为零（若有 一个为零，实则按两个部门进行分配），可 以做以下公平的分配
A
18
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，多余的席位
分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方 法）。
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位， 则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部 分较大的部门。
A
19
❖ 当时 r1 r2 r3 ；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一、二部门中小数部分较 大的部门，若多余两个席位，则分配给第一 部门和第二部门。
宴会座位安排问题
宴会座位安排问题第一篇：宴会座位安排问题问题：你单位宴请四位重要客人，老板和办公室主任、秘书等六人作陪，宴会在一个圆桌上进行，领导让你（秘书）摆放名签，请问你如何处理？（中餐）圆桌座位设置原则：面门为上。
在每张餐桌上，以面对正门的正中那个座位为主位。
通常是主人或主客坐的。
它的基本考虑是最不易受到打扰。
如果不是在包房里，而是在大厅里吃饭，则主位也应该是最不易受打扰的位置，比如离上菜位最远处。
相反的，靠过道或上菜位一般是地位最低的人坐的，比如助理或陪同人员。
以右为尊。
在每张餐桌上，除主座外，主位的右手边尊于左手边的座位。
依次往下，离主位越远位次越低，同等距离，则右高左低。
以右为尊在全世界都是通行的，只有一个例外，就是中国主席台的座位排次是遵循左高右低的原则。
如果主席台的正中是第一把手，那么他的左侧一定坐的是第二把手。
秘书四秘书三客人第三把手秘书二客人方第二把手秘书一客人方第一把手办公室主任客人方老板我方老板附：（西餐）的座位排次西餐桌一般是长方型的，它的座位排次与中餐不太一样，但“以右为尊”的原则还是相同的。
以右为尊、男女混坐。
西方人喜欢结交朋友，并视之为一种能力。
所以西方人就餐与中国人不一样。
中国人喜欢扎堆，认识的人或关系好的人往往坐在一起。
而西方人把吃饭当成一个认识新朋友的机会，所以在就餐中规定男女要分开坐，认识的人也要分开坐。
男主人和女主人一般分隔在距离最远的桌头和桌尾。
男主人的右侧是第一女主宾，左侧是第二女主宾。
女主人的右侧是第一男主宾，左侧是第二男主宾。
第二篇：关于会议主席台座位安排问题关于会议主席台座位安排问题根据中办掌握的原则：左为上，右为下。
当领导同志人数为奇数时，1 号首长居中，2 号首长排在 1 号首长左边，号首长排右边，3 其他依次排列；当领导同志人数为偶数时，1 号首长、2 号首长同时居中，1 号首长排在居中座位的左边，2 号首长排右边，其他依次排列。
主席台座次安排图示 1.主席台人数为奇数时(观众看主席台摆法)： 7 5 3 1 2 4 6 2.主席台人数为偶数时(观众看主席台摆法)： 6 4 2 1 3 5第三篇：关于中学生座位安排问题的探究关于中学生座位安排问题的探究化学与环境科学学院 2011级环境科学2班程爽 20111105266摘要：座位编排在以班级授课制为主的教学模式之下有着重要的作用。
席位公平分配问题q值法的改进
席位公平分配问题q值法的改进随着社会的不断发展和进步，人们对于公平的追求也越来越强烈。
在各种社会活动和组织中，公平的分配问题一直备受关注。
席位公平分配问题作为一个重要的社会组织问题，一直以来都备受人们关注。
q值法作为目前解决席位公平分配问题的一种常用方法，然而在实际应用中却存在一些问题和不足。
如何改进q值法成为了当前亟待解决的一个问题。
1. q值法的基本原理q值法是一种基于权重的席位分配方法。
其基本原理是根据各个参与方的权重大小来确定席位的分配比例。
通常情况下，权重越大的参与方获得的席位数量也就越多。
这种方法在一定程度上确实能够体现参与方的重要性和影响力，但在实际应用中往往会出现一些问题。
2. q值法存在的问题q值法在确定权重时往往是基于主观判断的，缺乏客观的依据。
这就导致了权重的不确定性和不公平性，容易受到人为因素的影响。
q值法只是简单地依据权重来分配席位，忽略了其他可能存在的因素。
这就导致了分配结果可能并不合理和公平，无法充分考虑参与方的各种需求和意见。
再次，q值法在实际应用中往往面临的是计算复杂度较高的问题，尤其是在参与方众多、权重差异较大的情况下，很难进行准确而高效的计算。
q值法在解决席位公平分配问题时存在一些问题和不足，需要进行改进和优化。
3. q值法的改进方向为了解决q值法存在的问题，可以从以下几个方面进行改进：（1）建立客观评价体系。
可以通过建立客观的评价标准和体系来确定参与方的权重，以减少人为因素的干扰和影响，确保权重的客观和公正。
（2）综合考虑多种因素。
除了权重以外，还可以考虑其他多种因素来确定席位的分配比例，如参与方的历史贡献、实际需求等，以更全面地体现参与方的重要性和影响力。
（3）优化计算方法。
可以通过引入一些优化算法和技术，来提高席位分配的计算效率和准确性，特别是在复杂情况下的应用，能够更好地满足实际需求。
4. q值法的改进实践针对上述改进方向，可以通过实际案例和实践进行验证和应用。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
公平的席位分配问题
公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
符号设定：N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）iQ ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）Z ：目标函数方法一，比例分配法：即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若2211n p n p >则称11221222211-=-n p np n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为1)1(11),1(212111112221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为1)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A4.11n p <122+n p ,不可能上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
3.公平的席位分配
3公平的席位分配2.3.1问题的提出设某校有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会，公平的办法是按学生人数的比例分配席位，即甲乙丙系分别占10、6、4个席位.若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦.比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？Hamilton分配方法：（1）各方按人数比例算出应得席位数(通常带小数);（2）各方都放弃小数部分，只取整数部分；（3）把剩余席位分给小数部分较大的各方(每方至多添1席)若按Hamilton方法分配,则甲、乙、丙系分别应得10.3、6.3和3.4席,舍去小数部分后分别得10、6、3席,剩下的1席分给小数部分最大的丙系,于是三个系仍分别占10、6、4席.假定学生会的席位数增加到21位，按上述方法重新分配，结果甲乙丙系分别占11、7、3席.系别 人数 比例20席的分配21席的分配按比例分 实际分配 按比例分 实际分配甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙3417.03.4 4 3.570 3 合计 200 100.020.02021.00021此分配结果, 对丙系显然是不公平的,因为席位增加了,而丙系得到的席位反而减少了.Alabama 悖论：当总席位数增加后，反而某一方分到的席位数减少.2.3.2符号和假设 要解决的问题：某校共有m 个系，第i 系学生数为n i (i=1,2,…,m )，校学生会共设N 个席位.怎样才能公平地把这些席位分配给各系？∑==mi i n n 1-------- 总人数；N -------- 席位总数；na N= -------- 全校平均每个席位代表的人数；an N n n i i i ==α------第i 方按人数比例应分得的席位数(通常带小数)；N i --------第i 方实际分得的席位数(整数)； 12(,,,)m N N N -------- 一个分配方案；ii i N n a =-------- 第i 方平均每个席位代表的人数；注：i a 越大的一方就越吃亏，i a 越小的一方就越占便宜.i a 是度量分配“公平”程度的最重要指标. 假设参与分配的每一方至少分到一个席位.2.3.3确定“公平”的标准可以提出不同的标准来衡量分配方案的”公平”的程度, 例如标准1 要求 a max z ii=最小（对不同方案而言）;标准2 要求∑=-=mii|a a|z1最小; 标准3 要求aminzii=最大;标准4 要求∑=-=mii)a a(z12最小.为了帮助理解标准1与标准3，看下例方案1 方案2 方案3 1a35.6 43.7 48.72a48.2 42.3 37.83a38.6 53.1 42.34a53.5 38.2 38.5maxiia53.553.148.7miniia35.638.237.8按标准1，认为方案3最公平，其思想是：别让最吃亏一方太亏；按标准3，认为方案2最公平，其思想是：别让最占便宜一方占太多便宜.标准2与标准4的思想是：认各ia尽量靠近a,减少它们的差异.2.3.4“判别数”分配方法标准1认为a i越大的系越吃亏，故应尽量优先照顾之.([])(1)[][][]i i i i i i i i i i i a n n a a a N αααβααα+=≈===+其中[]iiiαβα=，称为判别数.iα表示αi 小数部分.βi 越大的系越吃亏，按标准1，应优先照顾.算法流程如图，其中i11[]mmii i r N αα===-=∑∑.对βi 较大的r 个系分配席位N i =[αi ]+1否是开始输入n i 与N 计算n 与αiαi 全为整数吗？计算βi 与r N i =αi输出各N i结束剔除已分配席位 的系和席位数有为0的[]i α吗?若有k 个[]i α=0,则N =1是是否否例2.3.1对刚才的例子用此算法重新分配。
六、公平的席位分配
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
对本例，Q值法可以从 n1 n2 n3 1 （即初始时每系已经占有1
席）开始计算，一直计算到19席的分配结果是 n1 10, n2 6, n3 3 . 再每次增加一席计算。
系别
学生人数
学生人数 的比例
%
20个席位的分配
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
%
20个席位的分配
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的局 面，会议决定增加一席。仍按照比例分配的原则进行，丙系却 因总席位增加了一席，而由4席减少为3席。这个结果显然是不 公平的。
公平的席位分配
公平的席位分配问题提出：某学校有3个系⼀共200名学⽣，其中甲系100名，⼄系60名，丙系40名。
如果学校代表会议设置20个席位，怎样公平地分配席位？思考：按照传统的思维⽅式，按照每个系的⽐例进⾏席位的分配。
在该问题中，甲⼄丙三个系的⼈数⽐例为100:60:40=5:3:2。
因此按照这个⽐例进⾏席位的分配可以公平简单的实现席位分配。
但是上⾯的例⼦有些特殊，因为每个系的⼈数⽐例正好是整数，并且能够恰好分配所有的席位。
现在将问题进⼀步⼀般化。
假设甲系学⽣103⼈，⼄系学⽣63⼈，丙系学⽣34⼈。
此时甲⼄丙学⽣⼈数所占⽐例分⽐为51.5%、31.%、17.0%。
仍然分配20个席位，此时甲⼄丙按⽐例分配的席位个数分别为：10.3、6.3、3.4三个系进过协商同意将最后⼀个席位分配给⽐例中⼩数部分最⼤的丙系。
此时甲⼄丙席位分别为10、6、4现在问题进⼀步复杂。
由于决策过程可能出现10:10的现象，会议决定将增加⼀个席位。
依旧按照上述的将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系。
见下⾯表格不过现在通过表格可以看出：总席位的增加，反⽽导致丙系由4个席位减少⾄3个席位，这样的分配⽅法（将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系）对丙系不公平。
因此问题出现在分配席位的⽅法上⾯。
该分配席位的⽅法称为最⼤剩余法或者最⼤分数法最⼤分数法明显的缺陷：⼈⼝悖论，某⽅⼈⼝增加反⽽导致该⽅席位数⽬减少。
例如上述三系学⽣变为114,64,34.按照最⼤剩余法，21个席位的分配结果应该是：11、6、4，⼄系学⽣⼈数增加席位反⽽⽐原来少1席，丙系学⽣数量不变席位反⽽多了1席。
为了寻找新的公平的席位分配⽅法，先讨论衡量公平的数量指标不公平度指标为了简单，只考虑A，B两⽅分配席位的情况。
设两⽅⼈数分别为p1,p2,占有席位分别为n1,n2.则⽐例p1/n1,p2/n2为两⽅每个席位所代表的⼈数。
显然只有当p1/n1=p2/n2时，分配才公平。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
公平的席位分配
公平的席位分配姓名：仇嘉程 班级：数学与应用数学（2）班 学号：0907022010摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。
本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和Q 值法模型，通过检验2种模型的相对不公平度来制定比较合理的分配方案。
关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法一、问题的提出：某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
问题一：若学生代表会议设20个席位，如何公平席位分配？问题二：丙系有6名学生转入甲乙两系，其中甲系转入3人，乙系转入3人，又将如何公平的分配20个学生代表会议席位？三、模型的建立：模型1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办法是按学生人数比例分配：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位即：(1,2,3...)i i p P i n N N ==，其中1n i i N N ==∑ 1n i i P P ==∑但是在实际生活中，若按模型1来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为整数，因此模型1难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平的分配方案。
模型2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数 100 60 40 200学生人数比例 100/200 60/200 40/200席位分配 10 6 4 20后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名甲乙丙总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配 10 6 4 20由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
席位分配问题
悖论的举例(3)
• 30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数 增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 p i qi 州 pi qi ni ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1
(绝对)不公平度 令 dij = pi/ni - pj/nj, 则称|dij|为 i, j 两州席位 分配的(绝对)不公平度 .
例 p n p/n |d| A 120 10 12 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 D 1000 10 100 2 (绝对)不公平度无法比较不同组间席位分配不公 平的程度
Hamilton 法解释
40. 按照最大小数部分增加一个席位的Hamilton 法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案。 50. Hamilton 分配域：作小三角形内心，则可以 构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正 六边形。 如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六 边形的中心 n 为席位的分配方案。
各方法比较
• • • • • • • • • 例 8. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 A 9215 92.15 92 B 159 1.59 2 C 158 1.58 2 D 157 1.57 2 E 156 1.56 1 F 155 1.55 1 Σ 10000 100 100 J法 95 1 1 1 1 1 100 EP法 90 2 2 2 2 2 100
pj /(nj + 1) > pi /(ni + 1) , Qi > Qj
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公平的席位分配问题
席位分配在社会活动中经常遇到，女口：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数=某单位总人数比例总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数，则先按席位分配数的整数分配席位，余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数
学生数100 60 40 200
学生人数比例100/200 60/200 40/200
席位分配10 6 4 20
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200
学生人数比例103/200 63/200 34/200
按比例分配席位20
按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决冋题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位，有
系名甲乙丙总数学生数103 6334200
学生人数比例103/20063/20034/200
按比例分配席位21
按惯例席位分配117321
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位人数席位数每席代表人数
_P1
单位A P1n 1n1
P2
单位B P2n 2n2
P1 P2
要公平，应该有比=“2，但这一般不成立。
注意到等式不成立时有
P1 P2
若n i > n2，则说明单位A吃亏（即对单位A不公平）
21 P2
若n i < n2，则说明单位B吃亏（即对单位B不公平）
因此可以考虑用算式p 邑匕来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有n1n2
不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为n i =n 2=10, p i =120 , p 2=100,算得p=2
另两个单位的人数和席位为n i =n 2 =10 , p i =1020, 6=1000,算得p=2
虽然在两种情况下都有p=2,但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式:
若P1则称P1 P2
PE 1
P2"
为对A的相对不公平值，记为P2
压
5( n「n2)
P2 P1
若P1Pl则称n2n-i P2厲1为对B的相对不公平值，记为
E P1pg
r B（ n
「
n2)
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
P1 P2
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设n1 > n2 ,即对单位A不公平, 再分配一个席位时，关于n1 , n2的关系可能有
1.
P1 P2
n1 1> n2 ,说明此一席给A后,对A还不公平；
2.
p1 22 P2 P1
n1 r1（< n2仆）说明此一席给（A后1）对片还不公平,不公平值为
B 1 ，2P1 P1 门2
比1
3.
_P1 _p2 P1P2
n1 r>辭’⑴说明此一席给僦后1）对A不公平，不公平值为
A 1, 2P2 P2 n1
门2 1
P l P2
4. n1 < n2 1,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情
况时不好确定新席位的分配。
用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席
位分配，若有
的1 1, n2）s（n i, n2 1）
则增加的一席应给A，反之应给B。
对不等式r B（n汁1,n2）<r A（n 1,心+1）进行简单处理，可以得出对应不等式
2 2
P2 P1
n 2（门2 1）4（4 1）
引入公式
2
P k
Qk —
（n k 1）n k
于是知道增加的席位分配可以由Q的最大值决定，且它可以推广到多个组的一
般情况。
用Q的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。
对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：
1 •先计算每个组的Q值：
Q , k=1,2,…,m
2 .求出其中最大的Q值Q （若有多个最大值任选其中一个即可）
3 .将席位分配给最大Q值Q对应的第i组。
这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额
共分配了19席，具体为：
甲n i =10
乙n2 =6
丙n3 =3
对第2 0席的分配，计算Q值
Q=1O37(1O 11) = ; Q=637(6 7)= ; Q =342/(3 4)=
因为Q最大，因此第2 0席应该给甲系；对第2 1席的分配，计算Q值Q=1032/(11 12)= ; Q=632/(6 7)=; Q s =347(3 4)=
因为Q最大，因此第2 1席应该给丙系
最后的席位分配为：
甲11席乙6席丙4席
注：若一开始就用Q值分配，以n 1=n2=n3=1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。
简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找
出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。
请对一般情况编程。