第10讲 分层演练 直击高考

[学生用书P326(单独成册)]

1．(2018·郑州质量预测(一))已知直线l 与双曲线x 24－y 2

＝1相切于点P ，l 与双曲线的两

条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →

的值为( )

A ．3 B.4

C ．5

D ．与P 的位置有关

解析：选A .依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 2

0＝4，则直线l

的方程是x 0x 4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12

x .

①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝

(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →

＝3.

②当y 0

≠0时，直线l 的方程是y ＝1

4y 0

(x 0

x －4)．由⎩⎨⎧y ＝1

4y 0

（x 0

x －4）

x

2

4－y 2

＝0

，得(4y 20

－x 20

)x 2

＋

8x 0x －16＝0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2＋8x 0x －16＝0，x 2

－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，

OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝34

x 1x 2＝3.

综上所述，OM →·ON →

＝3，选A .

2．(2018·湖南湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →

＝0，则则1k AB ＋1k AC ＋1k BC

＝________．

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由F A →＋FB →＝－FC →

，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝

y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3

，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 2

2p ＋

y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3

2p

＝0. 答案：0

3．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .

(1)求E 的方程；

(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒

过定点．

解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y . 所以E 的方程为x 2＝8y .

(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中， 得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .

OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264

＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，

所以直线AB 恒过定点(0，4)．

4．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

5，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P

点斜率为45的直线l 交C 于A ，B 两点．当m ＝0时，P A →·PB →

＝－412

.

(1)求椭圆C 的方程； (2)证明：|P A |2＋|PB |2为定值． 解：(1)因为离心率为35，

所以b a ＝45

.

当m ＝0时，l 的方程为y ＝4

5x ，

代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝a 2

2.

设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)， P A →·PB →＝－x 20－y 2

0＝－4125x 20＝－4125·a 22.

又因为P A →·PB →

＝－412，

所以a 2＝25，b 2＝16， 椭圆C 的方程为x 225＋y 2

16＝1.

(2)证明：l 的方程为x ＝5

4y ＋m ，

代入x 225＋y 2

16

＝1，

并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则|P A |2＝(x 1－m )2＋y 21＝

4116y 2

1

，

同理|PB |2＝

4116y 2

2

. 则|P A |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2

－2y 1y 2]＝4116·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－4m 52－

16（m 2－25）25＝41.

所以|P A |2＋|PB |2为定值．

1．(2018·长沙模拟)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ过定点B (1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A (－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．

(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；

(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|FB |·|EQ |. 证明：(1)设AE 切圆Γ于点M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ， 故|EM |＝|EB |.

从而|EA |＋|EB |＝|AM |＝|AP |2－|PM |2＝|AP |2－|PB |2＝|AN |2－|BN |2＝25－9＝4. 所以|EA |＋|EB |为定值4. (2)由(1)同理可知|F A |＋|FB |＝4， 故E ，F 均在椭圆x 24＋y 2

3＝1上．

设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 令x ＝4，求得y ＝3m ，即Q 点纵坐标y Q ＝3

m .

由⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1得，(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，

则有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9

3m 2＋4.

因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，

所以|EB |·|FQ |＝|FB |·|EQ |等价于(y B －y 1)(y Q －y 2)＝(y 2－y B )(y Q －y 1)， 即－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3

m

－y 1y 2，