2.4欧拉运动方程及其积分详解

S
S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积 dS 的法
线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。 为说明这个联系，首先考察二维流场。
在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的 面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块 微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元 ABCD，速度环量为
这条定理可以用第一定理的结论推 演而得到证明。第一定理说，涡强沿涡管 不变。如果涡管到某处突然中止了，那末 涡强也就应该随之变为零，而这是违反第 一定理的，所以是不可能的。
涡管强度守恒（左图）和涡管可能存在的形式（右图）
此定理称为海姆霍兹第二定理，或简称第二涡定理。
§2.5.3 理想流中的涡定理
定理3 开尔文kelvin定律(环量不变定律) ： 在理想流中， 涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失。
vy
vz y
vz
vz z
这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。
2.4.1 欧拉运动方程
欧拉方程的向量形式为：
f
1
p
DV
Dt
欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力
之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
1
p x
2vx
vy t
2
) 2(vxy
vyx )
1
p z
fz
该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋 流动。
2.4 欧拉运动方程
例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的 静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B， C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒， 空气在海平面的ρ=1.255千克/米3 。假设流动无旋，求A、 B、C三点的压强。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cosds
L
L
如果把一个速度向量分成三个坐标
轴方向的三个分量vx ,vy,vz ,把线段ds
也分解成dx, dy, dz 三个方向：
V ds vxdx vydy vzdz
于是环量表达式为：
(a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程
欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。
在流场中划出一块三边分别的为
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计
粘性力，表面力就没有切向力，仅有
法向力（压力）一种，而彻体力是可
以有的 。
z
y
dy
·P
dx dz
Dvx Dt
2.4.1 欧拉运动方程
两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度 的表达，得
fx
1
p x
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
同理可以写出 y 和 z方向的表达：
fy
1
p y
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fz
1
p z
vz t
vx
vz x
直匀流对机翼的绕流
2.4 欧拉运动方程
解: 流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得：
p0
101200
1.225 (100)2 2
107325牛
/
米2
于是：
pA
p0
2
VA2
107325牛 / 米2
pB
p0
2
VB2
107325 0.6125 22500
93825牛 / 米2
pC
p0
p p dx x 2
x
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
x 方向的彻体力为：
fx dxdydz
牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得
p x
dxdydz
f x dxdydz
(dxdydz)
x
2.4.1 欧拉运动方程
六面体体积：dτ=dxdydz
y
中心点坐标： x ,y ,z
中心点速度： vx ,vy ,vz
中心点加速度：Dvx , Dv y , Dvz
Dt Dt Dt
中心点压强：p
p p dx x 2
z
dy
·P
dx dz
中心点密度：ρ
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.5.2 涡线与涡管
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该
线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。
涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：
dx dy dz
涡线
x y z
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给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）
的所有涡线构成的曲面称为涡面。
涡面
由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
’
P'P RR'
R'Q'P' P'Q'R'
得：
PQR P'Q'R'
这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同 的。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。
由于环量等于涡通量，因此沿同一涡管，涡管细处转速必然快反之涡管粗处转速必然慢。
§2.5.3 理想流中的涡定理
定理2：一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限 远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也 可以止于边界，固体的边界或自由边界（如自由液面）。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
一条强度为Γ 的涡线的一段 dS 对线外的一点P会产生一 个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡 段所产生的诱导速度的公式是：
dV ds sin 4r 2
涡与诱导速度
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
或：
dV
4
dS r
r3
这个 dV 是一个垂直于线段 dS 与受扰点P所组成的平面
实际飞机的尾涡
§2.5.3 理想流中的涡定理
实际流体都是有粘性的，涡强是会随时间变化的。不过 空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流下去，离机翼很 远之后它对机翼的作用就趋于零了，而在离机翼不太远的 范围内，粘性使涡强的衰减并不很显著，所以计算涡对机 翼的作用时，可以不必考虑粘性的衰减作用，当作它在理 想流中强度不衰减去处理就行了。
ds d (h tg ) h sec2 d
sin sin( ) cos
r PS h
cos
dV cosd 4h
ds
直线涡的诱导速度
2.5.2 环量与涡量的关系
再令PA与AB的夹角为α；PB与BA的夹角为β。上式积分，
γ
由
2
到
得：
2
V (cos cos )
4h
ds
这个诱导速度是垂直于纸面的，按图示Γ的方向，它向外指。 如果涡线一头是无限长的，那就有：
V (1 cos ) 4h
2.5.2 环量与涡量的关系
如果涡线是半无限长，且P点至涡线之垂直足N与涡线的 一端重合，则：
V
4h
如果涡线两头都伸展到无限远，则：
V
2h
涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡是升力 的问题都和涡及环量有关。
涡管
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为
绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。
涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中，
涡通量就是：
z
n γ
2zdS
S
dS
dS
S
平面问题的涡通量 空间问题的涡通量
在三维空间问题中 ，涡通量就是：
2 dS 2 cosdS
2
VC2
1073251531 105794牛 / 米2
2.5 环量与涡
2.5.1 环量与涡的概念
研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭 曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符 号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方 向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所 包围的区域总在行进方向的左侧。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
d V ds
ABCDA
vx
vx x
dx 2
dx
v
y
vy x
dx vy y
dy 2
dy
vx
vx y
dy
vx x
dx 2
dx
v
y
vy y
dy 2
dy
vy x
vx y
dxdy
2 z dxdy
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合 部分做线积分时因正负号相反而相消）
(vxdx vydy vzdz)
L
2.5.1 环量与涡的概念
如果流动是无旋的， 存在速度势函数Φ， 那末上式中的
vx ,vy,vz都可以用Φ的偏导数表达：
vx x vy y
vz z
L
(V
ds )
L
(
x
dx
y
dy
z
dz)
L
d
0
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于 零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲 线的速度环量一般不等于零。
的速度（如图），其值正比于涡强 Γ和涡段长度dS，但
反比于距离 r 的平方，另外还要乘上 r 与 ds 的夹角的 θ 的正弦。这个公式在形式上和电磁学的电磁感应的比 奥—萨瓦公式一样，仍叫比奥—萨瓦公式。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
现在把一条强度为Γ的直涡线对线外一点所产生的诱导速 度写一下。AB是涡线，P为线外一点，P到AB的距离是h。 令任意微段 ds 与P的连线和AB垂线PN之间夹角为γ，则
vz x
vy
vz y
vz
vz z
z
V2 2
2(vxy
vyx )
得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰 姆方程”：
2.4.1 欧拉运动方程
vx t
x
(V 2 2
)
2(vyz
vzy )
1
p x
fx
v y
t
y
(V 2 2
)
2(vzx
vxz )
1
p y
fy
vz
t
z
V2 (
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡量概念 是指流场中微团角速度之二倍，如平面问题中
的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。 在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度
ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是：
xi y j zk
x2
2 y
z2
涡量可写为：
rotV
2
V
旋转轴线都按右手定则确定。
V
L
ds
L
(udx
vdy)
s
(
v x
u y
)dS
s
2z
dS
上式即为二维问题中的格林公式。
表明：沿平面上一封闭围线 L做速度的线积分，所得的环量 等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之 和，即等于通过面积S的涡通量。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。 如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的 面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。
2.5.3 理想流中的涡定理
描述理想流体中的涡线或涡管有如下定理： 定理1 沿涡线或涡管涡强不变。
见图，在涡管上两条围线PQR和P’Q’R’作两条重合的连线PP’ 和RR’,沿P’PQRR’Q’P’ 这样一条围线计算环量，由于所张曲面就
是原来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：
P'PQRR'Q'P' P'P PQR RR' R'Q'P' 0
表明：沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在L上任意
曲面 S上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，
只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封
闭曲线的速度环量也为零。
n
γ
对于无旋流动还有：
B
A (udx vdy wdz) B A
v
三维流中环量与涡的关系
说明速度势函数差的意义是沿线段的速度线积分。
L
w v
u w
v u
s
(
y
) cos(n, x) (
z
z
x
) cos(n,
y) ( x
y
)
c
os(n,
z)dS
S
( w y
v )dydz z
( u z
w )dzdx x
( v x
u y
)dxdy
其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间 的关系。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
vz
vx z
vy
vy x
vz
vz x
vx
vx x
vy
vy x
vz
w x
v
y
vx y
vy x
vz
vx z
vz x
x
V2 2
2
vyz
vz y
式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
y
V2 2
2vzx
vxz
vx
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
1
p y
2vy
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
2vz
向量形式
f
1
p
2V
DV
Dt
2.4.1 欧拉运动方程
理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的 迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下：
vx
vx x
vy
vx y
推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量
仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在
与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面 S
的围线 L的环量仍等于 S
面上各点的二倍角速度与面积
dS
点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V
ds
2
dS
rotV
dS
L
S
S
展开即：
(udx vdy wdz)