水力学4.1(2)欧拉运动微分方程(理想流体动力学)

利用以上积分条件得
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
利用以上积分条件得
U U U 1 ( dx dy dz ) dp u x du x u y du y u z du z x y z
化简得
即 所以
1 2 2 dU d ( ) (du x du y du z2 ) 2 p 1 2 u2 dU d ( ) du d ( ) 2 2 u2 p (4.5) U C1 2
4.2.3 由动能定理推导伯努利方程
(自学)
图4.2 伯努利方程是一能量方程
(4.7)
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
(4.7)
(4.7)式即为理想流体的伯努利方程
适用于不可压缩均质的理想流体,作恒定流时, 同一条流线上的任意两点,并不是流场中的任 意两点.
因为流线是元流的极限情况,所以理想流体沿流线 的伯努利方程对元流同样适用.
4 理想流体动力学
理想流体 仅有连续性方程远远不能解决实际 问题,如:作用力,能量问题等
本章主要任务:
推导理想流体的欧拉运动微分方程, 在此基础上讨论伯努利方程的推导 以及它的意义和应用
4.1 欧拉运动微分方程
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
4.2 理想流体恒定元流的伯努利方程
4.2.1 理想流体伯努利积分条件 4.2.2 在重力场中的理想流体伯努利方程 4.2.3 由动能定理推导伯努利方程
dt dt dt
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4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
1 p du x X x dt 1 p du y Y y dt 1 p du z Z z dt
(4.2)
将欧拉运动微分方程(4.2)式分别乘以dx, dy, dz再 相加得
du y du x 1 p p p du z ( Xdx Ydy Zdz ) ( dx dy dz ) dx dy dz x y z dt dt dt
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
根据牛顿第二定律: F ma , x方向 FX max
du x p x p x (p )yz ( p )yz Xxyz xyz x 2 x 2 dt
化简得: 同理可得:
1 p du x X x dt
压强p (x，y，z，t), 密度ρ
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
分析作用于微小六面体上的力:因为是理想流 体,无粘滞性,不存在切力,所以表面力只有动水 压力(为简便这里只推导X方向)
►1.表面力:
动水压力, 左面:
p x (p )yz x 2
►2.质量力:
Xxyz
p x )yz 右面: ( p x 2
(2.3) P9
(4.2)式中有四个未知数, ux, uy, uz, p, 但只有三个方 程,要与连续性方程联合求解,再结合具体的边界条 件,得出给定条件下的压强,以及流速的变化规律.
4.2.1 理想流体伯努利积分条件
目前数学上还不能对欧拉运动微分方程进行普 遍积分,必须给一定的限制条件. 1. 恒定流,
p
(4.5)就是著名的理想流体中,沿流线的伯努利积分.
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
表明:对不可压缩,均质理想流体,在有势力的作用下, u p ( U ) 保持 作恒定流时,在同一条流线上 2 不变,但对不同的流线, C一般不同.
2
当质量力只有重力时, 取 z 轴铅直向上, 则 X=0, Y=0, Z=-g, 于是 dU=Xdx+Ydy+Zdz=-gdz U=-gz+C2
1 p du y Y y dt
(4.2)
Z
1 p du z z dt
(4.2)式为欧拉运动微分方程
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
(4.2)式中,若ux=uy=uz=0 ,则得欧拉平衡微分方程:
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
推导的原理： 流体的运动遵循 牛顿第二定律
4.1.1 欧拉运动微分方程的推导
如图，运动的理想流体 中,观察一微小六面体所 包含的流体微团,各边长 δx,δy,δz,在运动中保持不 变,某一时刻,微小六面体 的形心为M(x，y，z)， t 时刻M点的流速
图4.1
u (u x , u y , u z )
u x u y u z p 0 t t t t
2. 流体为不可压缩的均质流体, ρ=常数 3. 质量力为有势力, 力势函数为U( x, y, z), 且有:
U U U X ,Y ,Z x y z
4. 沿流线积分, 即有: u x dx , u y dy , u z dz
4.2.2在重力场中的理想流体伯努利方程
U=-gz+C2 代入(4.5)
u2 p ( gz C2 ) C1 2
简化得
u2 z C 2g p
(4.6)
对于同一条流线上的任意两点1,2有:
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1