九年级数学上册《解直角三角形》教案华东师大版

解直角三角形

解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．

解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：

1、明确解直角三角形的依据和思路

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是：

（1）边角之间的关系：

sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝cotB ＝b a ，cotA ＝tanB ＝a

b ． （2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°．

（3）三条边之间的关系：

． （4）三角形面积：．

（5）同角三角函数的关系： 平方关系：

； 商数关系：A A A cos sin tan =，A

A A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．

2、解直角三角形的基本类型和方法

在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？

解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下： 已知条件 解法

一边及

一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA

两边

两条直角边a 和b

22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边c

c

a A =sin ，B ＝90°－A ，22a c

b -= 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长．

[分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．

[解法一]：在Rt △ADE 中，∵AD

AE A =

cos ，且∠A ＝α，AE ＝1， ， 在Rt △ADC 中， ，

在Rt △ABC 中，．

[分析二]：观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．

[解法二]：同解法一得，，

在Rt△ACD中，，

在Rt△ABC中，．

点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．

例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；

[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．

[解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，

∴AC＝BC ·tanB＝2，

在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，

∴．

点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．

例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD ＝1，求AB．

分析：已知的角度告诉我们，Rt △ABC 和Rt △ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．

解：在Rt △ADC 中，设DC ＝x ，∵∠ADC ＝60°，∴AD ＝2x ，AC ＝

x ，

在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝45°，BD ＝1，∴1＋x ＝x ， ∴x ＝，∴AB ＝AC ＝x ＝．

点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程．

例4、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10，

，解这个直角三角形． [分析]：因Rt △ABC 的面积为，故用已知条件可求出b 的值，这样一来，Rt △ABC 就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边．

[解析]：∵∠C ＝90°，，∴＝，

∵a ＝10，∴b ＝，∴33

31010tan ===b a A ，∴∠A ＝60°，

∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－60°＝30°，

∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ，∴c ＝

． ∴b ＝，c ＝，∠A ＝60°，∠B ＝30°．

点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．

例5、已知：如图，在△ABC 中，BC ＝＋1，∠B ＝30°，∠C ＝45°，求△ABC 的面积．