8-1多元函数的基本概念
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类似地可定义三元及三元以上函数．
当 时， 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1求 的定义域．
解
所求定义域为
（6）二元函数 的图形：设函数 的定义域为 ，对于任意取定的 ，对应的函数值为 ，这样，以 为横坐标、 为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定一点 ，当 取遍 上一切点时，得一个空间点集 ，这个点集称为二元函数的图形.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2求证
证
当 时，
原结论成立
例3求极限
解
其中
例4证明 不存在．
证
取
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
(1)令 沿 趋向于 ，若极限值与 有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使 存在，但两者不相等，此时也可断言 在点 处极限不存在．
例
(0,0)既是边界点也是聚点．
c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如,
(0,0)是聚点但不属于集合．
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间： 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点，数 称为该点的第 个坐标.
说明：
a.n维空间的记号为
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如,
例如,
单值分支:
二、多元函数的极限
定义1设函数 的定义域为 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称A为函数 当 ， 时的极限，
记为
（或 这里 ）.
说明：
（1）定义中 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限
（2）区域
例如， 即为开集．
连通的开集称为区域或开区域．
例如，
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，
例如，Hale Waihona Puke Baidu有界闭区域；
无界开区域．
（3）聚点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.
说明：
a.内点一定是聚点；
b.边界点可能是聚点；
利用点函数的形式有 元函数的极限
定义2设 元函数 的定义域为点集 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 ，都有 成立，则称A为 元函数 当 时的极限，记为
.
三、多元函数的连续性
设 元函数 的定义域为点集 是其聚点且 ，如果 则称 元函数 在点 处连续.设 是函数 的定义域的聚点，如果 在点 处不连续，则称 是函数 的间断点.
b.n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．
c.n维空间中邻域、区域等概念
邻域：
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义：设 是平面上的一个点集，如果对于每个点 ，变量 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 是变量 的二元函数，记为 （或记为 ）.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７
解
四、小结
多元函数的定义
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
思考题
若点 沿着无数多条平面曲线趋向于点 时，函数 都趋向于A，能否断定 ？
思考题解答
不能.
例
取
但是 不存在.
原因为若取
例5讨论函数 在(0,0)处的连续性．
解取
当 时
故函数在(0,0)处连续.
例6讨论函数
在(0,0)的连续性
解取
其值随k的不同而变化，极限不存在
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
章节题目
第一节多元函数的基本概念
内容提要
多元函数的概念
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区间上连续函数的性质
重点分析
多元函数的概念、极限、连续及连续的性质
难点分析
二重极限的计算
二重极限不存在的判定方法
习题布置
3、4(单)、5（单）、6、8
备注
教 学 内 容
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 是 平面上的一个点， 是某一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ，
当 时， 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1求 的定义域．
解
所求定义域为
（6）二元函数 的图形：设函数 的定义域为 ，对于任意取定的 ，对应的函数值为 ，这样，以 为横坐标、 为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定一点 ，当 取遍 上一切点时，得一个空间点集 ，这个点集称为二元函数的图形.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2求证
证
当 时，
原结论成立
例3求极限
解
其中
例4证明 不存在．
证
取
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
(1)令 沿 趋向于 ，若极限值与 有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使 存在，但两者不相等，此时也可断言 在点 处极限不存在．
例
(0,0)既是边界点也是聚点．
c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如,
(0,0)是聚点但不属于集合．
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间： 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点，数 称为该点的第 个坐标.
说明：
a.n维空间的记号为
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如,
例如,
单值分支:
二、多元函数的极限
定义1设函数 的定义域为 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称A为函数 当 ， 时的极限，
记为
（或 这里 ）.
说明：
（1）定义中 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限
（2）区域
例如， 即为开集．
连通的开集称为区域或开区域．
例如，
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，
例如，Hale Waihona Puke Baidu有界闭区域；
无界开区域．
（3）聚点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.
说明：
a.内点一定是聚点；
b.边界点可能是聚点；
利用点函数的形式有 元函数的极限
定义2设 元函数 的定义域为点集 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 ，都有 成立，则称A为 元函数 当 时的极限，记为
.
三、多元函数的连续性
设 元函数 的定义域为点集 是其聚点且 ，如果 则称 元函数 在点 处连续.设 是函数 的定义域的聚点，如果 在点 处不连续，则称 是函数 的间断点.
b.n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．
c.n维空间中邻域、区域等概念
邻域：
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义：设 是平面上的一个点集，如果对于每个点 ，变量 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 是变量 的二元函数，记为 （或记为 ）.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７
解
四、小结
多元函数的定义
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
思考题
若点 沿着无数多条平面曲线趋向于点 时，函数 都趋向于A，能否断定 ？
思考题解答
不能.
例
取
但是 不存在.
原因为若取
例5讨论函数 在(0,0)处的连续性．
解取
当 时
故函数在(0,0)处连续.
例6讨论函数
在(0,0)的连续性
解取
其值随k的不同而变化，极限不存在
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
章节题目
第一节多元函数的基本概念
内容提要
多元函数的概念
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区间上连续函数的性质
重点分析
多元函数的概念、极限、连续及连续的性质
难点分析
二重极限的计算
二重极限不存在的判定方法
习题布置
3、4(单)、5（单）、6、8
备注
教 学 内 容
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 是 平面上的一个点， 是某一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ，