割平面法

x5
0 0 0 1 0
x6
1 -5/4 -11/2 -3/4 -17/4
cj zj
由上表的第四行产生的割平面约束为
1 1 3 x4 x6 4 4 4
⑵
将⑵并入上表中（略），求出该问题的最优解为
x1 1, x2 2, max z 1
1 2 6 x3 x5 7 7 7 x1 1
1 1 3 x4 x6 4 4 4 x1 x2 3
x2
5 4
3 2 1
max
(1,2)
5 (1, ) 4
( 13 9 , ) 7 7
x1 x2 3
1 2 3
x1
返回
3 22 31 x4 ( ) x3 x5 7 7 7
⑴ 由于基变量、非基变量均要求取整数值，所以， 在上述式子中，我们将变量系数与常数项皆化 为两部分：不超过该数的最大整数与非负分数， 即 -3/7=-1+4/7 22/7=3+1/7
或者， X4 - 3/7 x3 + 22/7 x5 = 31/7
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
解松弛问题的最优表如下：
cj
CB
3 -1 0
3
-1
0
0
0
XB
x1 x2 x4
b
13/7 9/7 31/7
x1
1 0 0 0
x2
0 1 0 0
x3
1/7 -2/7 -3/7 -5/7
x4
0 0 1 0
x5
2/7 3/7 22/7 -3/7
cj zj
x4 31 7
不是整数，该行对应的方程是：
4 1 3 x3 x5 7 7 7
b列中X4=9/7是非整数，将其分成两部分，即 9/7=1+2/7 该行中非基变量x3与 x5的系数也分成两部分，即： -2/7=-1+5/7 3/7=0+3/7
则割平面方程为
5 3 2 x3 x5 7 7 7
注：⑴ 从最优单纯形表中选择具有最大非负分 数部分的非整分量所在的行构造割平面约束，可 以提高切割效果，减少切割次数。
则割平面方程为：

fko , jxj fko
例如：下表是整数规划松弛问题的最优单纯表。
cj
CB
3 -1 0
3
-1
x2
0
x3
0
x4
0
x5
XB
x1
x2
b
13/7 9/7 31/7
x1
cj zj
x4
1 0 0 0
0 1 0 0
1/7 -2/7 -3/7 -5/7
0 0 1 0
2/7 3/7 22/7 -3/7
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
3 4 1 x3 x5 0 7 7 7
⑷
4 1 3 亦即 x3 x5 7 7 7
⑸
通过分析可以得出⑸式具有如下两个性质：
① 松弛问题的非整数最优解不满足该式。（因 为x3与x5都是非基变量，将松弛问题的非整数最 优解代入该式得到“－３／７≥０”，矛盾）。
② IP的所有整数可行解都满足此式。（因所有 整数可行解都满足⑴式，从而满足⑵、⑶、⑷式。
解 用单纯形法求得松弛问题的最优表如下：
cj
CB XB
3 -1 0
3
-1
0
0
0
b
13/7 9/7 31/7
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
1/7 -2/7 -3/7
x4
0 0 1
x5
2/7 3/7 22/7
x1 x2 x4
cj zj
0
0
-5/7
0
-3/7
松弛问题的最优解为非整数,而在13/7=1+6/7 9/7=1+2/7 31/7=4+3/7的非负分数中,6/7最大, 所以将13/7所在的行中非基变量所对应的系数 进行分解: 1/7=0+1/7 2/7=0+2/7 1 x 2 x 6 ⑴ 则割平面方程为： 3 5
⑵ 可以证明：
①任意整数可行解都满足此切割方程。 ②松弛问题的非整数最优解不满足此方程。
三、示例
例２ 用割平面法求解纯整数规划
max Z 3 x1 x 2 3 x1 2 x 2 3 5 x 4 x 10 1 2 2 x1 x 2 5 x , x 0 1 2 x1 , x 2为整数
0 2/7 3/7 0
22/7 0
cj zj
-6/7
0
0
0
0
-1/7
-5/7
0
0
-2/7 1
-3/7 0
…………
cj
CB
3 -1 0 0
3
-1
0
0
0
0
XB
x1 x2 x3 x6
b
1 5/4 5/2 7/4
x1
1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0
x3来自百度文库
0 0 1 0 0
x4
0 -1/4 -1/2 1/4 -1/4
7 7 7
将割平面约束⑴
1 2 6 x3 x5 7 7 7
并入松弛问题的最优表中，然后利用对偶单纯法求 出其最优解，见下表。
cj
CB
3 -1 0 0
3
-1
0
0
0
0 x6
XB
x1 x2 x4 x6
b
13/7 9/7 31/7
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x 3 x 4 x5
1/7 -2/7 -3/7 0 0 1
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j