2013天津高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.
1．已知{}|||2A x x =∈…R ，{}|1B x x =∈…R ，则A
B = ( )
A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x
=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟
2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪
⎨⎪⎩
………则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )
A. 7-
B.4-
C. 1
D. 2
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,
min 3257Z =-⨯=-
.
第2题图 jxq56
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）
第3题图 jxq57 A. 64 B. 73
C. 512
D. 585
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，跳出循环，输出
73S =.
4．已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
12, 则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切.
其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则3
3
414ππ,3283
R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭故体积缩小到原来的18，命题正确；(步
骤1)
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）
对于命题③，圆2
2
1
2x y +=
的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离2d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = （ ） A. 1 B.
3
2
C. 2
D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.
【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=
，解得b
a
=
y =.（步骤1） 而抛物线的方程为2p
x =-
，于是,,2
2p p A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭， 从而AOB △的面积为
13=32
2
p
p
，可得2p =.（步骤2） 6．在△
ABC 中, π
,3,4
AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠ = （ ）
A.
B.
C.
D.
【测量目标】正弦定理，余弦定理.
【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易
【参考答案】C 【试题解析】
由余弦定理可得AC =
==（步骤1） 于是由正弦定理可得
sin sin BC AC
BAC ABC
=
∠∠
，于是3sin 10BAC ∠== （步骤2）
7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.
【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=，可得0.51|log |2x
x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭.设()()0.51|log |,2x
g x x h x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数
()f x 有2个零点.
第7题图 jxq58。