锐角三角函数第一课时
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(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解：AD AC2 CD2 52 32 4. 由题 (1)知 sin B sin∠ACD AD 4 . AC 5 A
C DB
课堂小结
正弦函数的概念
sin
A
=
∠A的对边
斜边
正弦函数
正弦函数的应用
已知边长求正弦值 已知正弦值求边长
BC 1，
AB 2
A
可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，
35m C
需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为
50 m，那么需要准备
多长的水管？
归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那
么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 1 .
2
B
思考：
B
对边∴BACB的= 长3B度C ，=3可×以3=求9.出
∴ A斜C边= AABB2的长BC. 2 然后92再利32 6 2.
用勾股定理，求出 BC 的长 A
C
度∴，si进n B而求A出C sin6 B2及 2 2 .
∴Rt△SA△ABBCC =的12A面ABC积.BC9
1 2
3 6
B
(√ )
10m
6m
( ×) A
C
(×)
(×) (√ )
典例精析
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和
sinB 的值.
B
B
？
3
5
13
A
4C
C
？
A
图①
图②
B
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ？
3
AB= AC2 BC2 42 32 5.
A
因此 sin A BC 3，sin B AC 4 .
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度 数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与
斜边的比也是一个固定值．
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A
B
A
C
讲授新课
一 已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？ 能否结合数学图形把它描述出来？
B ? 35m
A
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
B
边等于斜边的一半”. 即
AB 20 10
5. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?
解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°， ∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，
∴ sin B sin∠ACD AC CD AD . AB BC AC
直角三角形中得出利用三角函数
求出sin∠OCD 即可．
y
D A
O
Cx
B
二 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， sin A 1 ， 3
BC = Biblioteka Baidu，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解：提∵示：si已n A知s13in，A∴及BA∠CBA的 13，
AB 5
AB 5
4C 图①
如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得 B
AC= AB2 BC2 132 52 12.
5
13
因此 sin A BC 5 ，sin B AC 12 . C
？ 图
A
AB 13
AB 13
②
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .在△APO中，由勾股定理得
2
当∠A 是任意一个确定的锐
角时，它的对边与斜边的比 是否也是一个固定值呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C' ＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B' C' 有什么
AB A' B' 关系？你能解释一下吗？
B' B
A
C A'
C'
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
D. 无法确定
2. 如图， sinA的值为
A. 3
B. 3
7
2
C. 1
D. 2 10
2
7
A
30° 7
(C ) B
3 C
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA = 2 ，则
2
∠A= 45° ， ∠B=45° . 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC
10 的值为 10 . 解析：∵ AB＝ 20 ，BC＝ 18 ， AC ＝ 2 ，∴ AB2 ＝ BC2＋AC2， ∴ ∠ACB＝90°，∴sin∠ABC ＝ AC 2 10 .
2 3=9
2.
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
B
sinA = BC BC =ABsinA ，
AB
BC
AB = sinA
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， A
C
AC = ABsinB.
AB AC sinB
即
sin
A
=
∠A的对边
斜边
a. c
例如，当∠A＝30°时，我们有
斜边 c
B a
对边
sin A sin 30 1 ； 2
A bC
当∠A＝45°时，我们有 sin A sin 45 2 .
2
练一练
1. 判断对错 BC
sinA = AB BC
sinA = AC BC
sinB = AB sinA =0.6 m sinB =0.8
AD AB2 BD2 52 42 3.
△ 又∵ △ABC 为等腰三角形 ，BD⊥AC，∴
AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=6×4÷2=12.
当堂练习
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则
锐角 A 的正弦值
( B)
A. 扩大 2 倍
B.不变
C. 缩小 1 2
Rt△ABC 中，如果∠C=90°， ∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比 是一因个为定∠值A吗=？45°，则AC=BC，由勾股定A 理得 C
AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以 AB 2BC， 因此 BC BC 2 . AB 2BC 2
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么 无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 2 .
BC AC sinA sinB
还有哪些等价式呢？
BCsinB
AC = sinA
. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = 4，
求 △ABC 的面积.
5
B
解：作BD⊥AC于点D，
∵ sinA =4 ，
5
5
∴ BD AB sin A 5 4 4， A
5
5
D
C
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
导入新课
第1课时 正弦函 数
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房
沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面
绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
a A. b
C. a a2 b2
B. b a
b D. a2 b2
y P (a，b)
α
O
x
如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，
3
BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =__5____.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C (4，0)，得 OD = 3，OC = 4， 由勾股定理得出 CD = 5，再在
OP OA2 AP2 32 42 5. 因此 sin AP 4 .
OP 5
α A (3，0）
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数
值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三
角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( D)
解：AD AC2 CD2 52 32 4. 由题 (1)知 sin B sin∠ACD AD 4 . AC 5 A
C DB
课堂小结
正弦函数的概念
sin
A
=
∠A的对边
斜边
正弦函数
正弦函数的应用
已知边长求正弦值 已知正弦值求边长
BC 1，
AB 2
A
可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，
35m C
需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为
50 m，那么需要准备
多长的水管？
归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那
么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 1 .
2
B
思考：
B
对边∴BACB的= 长3B度C ，=3可×以3=求9.出
∴ A斜C边= AABB2的长BC. 2 然后92再利32 6 2.
用勾股定理，求出 BC 的长 A
C
度∴，si进n B而求A出C sin6 B2及 2 2 .
∴Rt△SA△ABBCC =的12A面ABC积.BC9
1 2
3 6
B
(√ )
10m
6m
( ×) A
C
(×)
(×) (√ )
典例精析
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和
sinB 的值.
B
B
？
3
5
13
A
4C
C
？
A
图①
图②
B
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ？
3
AB= AC2 BC2 42 32 5.
A
因此 sin A BC 3，sin B AC 4 .
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度 数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与
斜边的比也是一个固定值．
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A
B
A
C
讲授新课
一 已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？ 能否结合数学图形把它描述出来？
B ? 35m
A
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
B
边等于斜边的一半”. 即
AB 20 10
5. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?
解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°， ∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，
∴ sin B sin∠ACD AC CD AD . AB BC AC
直角三角形中得出利用三角函数
求出sin∠OCD 即可．
y
D A
O
Cx
B
二 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， sin A 1 ， 3
BC = Biblioteka Baidu，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解：提∵示：si已n A知s13in，A∴及BA∠CBA的 13，
AB 5
AB 5
4C 图①
如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得 B
AC= AB2 BC2 132 52 12.
5
13
因此 sin A BC 5 ，sin B AC 12 . C
？ 图
A
AB 13
AB 13
②
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .在△APO中，由勾股定理得
2
当∠A 是任意一个确定的锐
角时，它的对边与斜边的比 是否也是一个固定值呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C' ＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B' C' 有什么
AB A' B' 关系？你能解释一下吗？
B' B
A
C A'
C'
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
D. 无法确定
2. 如图， sinA的值为
A. 3
B. 3
7
2
C. 1
D. 2 10
2
7
A
30° 7
(C ) B
3 C
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA = 2 ，则
2
∠A= 45° ， ∠B=45° . 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC
10 的值为 10 . 解析：∵ AB＝ 20 ，BC＝ 18 ， AC ＝ 2 ，∴ AB2 ＝ BC2＋AC2， ∴ ∠ACB＝90°，∴sin∠ABC ＝ AC 2 10 .
2 3=9
2.
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
B
sinA = BC BC =ABsinA ，
AB
BC
AB = sinA
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， A
C
AC = ABsinB.
AB AC sinB
即
sin
A
=
∠A的对边
斜边
a. c
例如，当∠A＝30°时，我们有
斜边 c
B a
对边
sin A sin 30 1 ； 2
A bC
当∠A＝45°时，我们有 sin A sin 45 2 .
2
练一练
1. 判断对错 BC
sinA = AB BC
sinA = AC BC
sinB = AB sinA =0.6 m sinB =0.8
AD AB2 BD2 52 42 3.
△ 又∵ △ABC 为等腰三角形 ，BD⊥AC，∴
AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=6×4÷2=12.
当堂练习
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则
锐角 A 的正弦值
( B)
A. 扩大 2 倍
B.不变
C. 缩小 1 2
Rt△ABC 中，如果∠C=90°， ∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比 是一因个为定∠值A吗=？45°，则AC=BC，由勾股定A 理得 C
AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以 AB 2BC， 因此 BC BC 2 . AB 2BC 2
归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么 无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 2 .
BC AC sinA sinB
还有哪些等价式呢？
BCsinB
AC = sinA
. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = 4，
求 △ABC 的面积.
5
B
解：作BD⊥AC于点D，
∵ sinA =4 ，
5
5
∴ BD AB sin A 5 4 4， A
5
5
D
C
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
导入新课
第1课时 正弦函 数
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房
沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面
绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
a A. b
C. a a2 b2
B. b a
b D. a2 b2
y P (a，b)
α
O
x
如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，
3
BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =__5____.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C (4，0)，得 OD = 3，OC = 4， 由勾股定理得出 CD = 5，再在
OP OA2 AP2 32 42 5. 因此 sin AP 4 .
OP 5
α A (3，0）
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数
值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三
角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( D)