08-09-2A《量子力学》试题及答案

。 6. 给出如下对易关系：
x , py y , x
z , pz Ly , p z
y , Lz
r , 2 ，则表示电子自旋向上、位置在 r 处的 7. 一个电子运动的旋量波函数为 r , s z r , 2
2 2 2
dx
1/ 4

1/ 4

2

e
p 2 2 2 2
1 2 2
e p
2
2 2 2
——波函数的动量表象 粒子的动量在 p p dp 间的几率为
（5）
1 P ( p )dp ( p) dp 2 2
；‘第 2 页 共5页
1 s L J 2 L2 3 2 4 2 1 3 2 s Ll j m j J 2 L2 3 2 4 l j m j j ( j 1) l (l 1) l j m j 2 2 4 2 , l j l 1 2 2 l jmj 2 (l 1) j l 1 2 (l 0) l jmj , 2
解：①
2 x ( x) x ( x)dx x 2 p
1/ 2

1/ 2
e x dx 0 。
2 2
②

e
2 x 2 2
d 2 x 2 2 dx 0 。 i e dx
2 2 的能量本征态 2m
2 ( x)
1/ 4
e
2 2
x
2
， ② 求粒子的平均动量； ④ 求粒子的动量在 p p d p 间的几率。
① 求粒子的平均位置； ③ 求 V ( x) ；
第 4 页
共6页
13. 一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 x a 中运动，其量子态为
x / a , H ( x a ) ,
的作用，求基态能量的一级修正。
x a/ a/ x a
0
a 2
a
第 6 页
共6页
安徽大学 2008—2009 学年第 二 学期 《 量子力学 》 （A 卷）考试试题参考答案及评分标准
一、简答题（每小题 5 分，共 10 分） 2 1. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。
2 2 12. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E 的能量本征态 2m
2 ( x)
1/ 4
e
2 2
x
2
，
① 求粒子的平均位置； ③ 求 V ( x) ；
*
② 求粒子的平均动量； ④ 求粒子的动量在 p p dp 间的几率。 （12 分）
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
2m (0) 。若势阱改为势垒 V ( x) ( x) 2
2m (0) 。 2
6. 给出如下对易关系：
；‘第 1 页 共5页
x , py 0 y , x 2 i z
；‘第 3 页
共5页
V ( x) 2 4 x 2 / 2m 。
④
（4）
( x) p p ( x) dp ( p) p dp ， ( p) p ( x)
1 2 2 1 2 2 1 2 2




1 1 N ； N （亦即 H ）的归一化本征态为 2 2
n
1 (a ) n 0 。 n!
三、证明题（每小题 8 分，共 16 分）
9. 设力学量 A 不显含时间 t ，证明在束缚定态下， 证：设束缚定态为
dA 0 。 dt
，即有
H E ，
解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 SM S ，则
2
自旋单态为
00
1 (1) (2) (1) (2) 2
自旋三重态为
11 (1) (2) 1 (1) (2) (1) (2) 10 2 11 (1) (2)







2


四、计算题（第 11 题 8 分，12——14 题各 12 分，共 44 分）
11. 一维运动中，哈密顿量
得分
H
p2 V ( x) ，求 x , H ? 2m
p , H ?
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12. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E
安徽大学 2008—2009 学年第 二 学期 《量子力学》考试试卷（A 卷）
（闭卷
院 /系 题 得 号 分 年级 一 专业 二
时间 120 分钟）
姓名 三 四 学号
总分
一、简答题（每小题 5 分，共 10 分）

2
得分
1. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。
四、计算题
11. 一维运动中，哈密顿量


H
p2 V ( x) ，求 x , H ? 2m
p , H ?
（8 分）
解：
x , H
i p d x , p ip ， m m dx m m d V ( x) 。 dx


p , H p , V ( x) i
1/ 4

e ipx ( x)dx 1 2 dx 2
2

e
ipx
e
2 x 2 2
1/ 4


e

2
2
( x 2 2 ipx 2 )
dx
1/ 4
e

2
2
( x ip 2 )2
e p
H E ，
dA A 1 A , H 。 d t i t
因 A 不显含时间 t ，所以
A 0 ，因而 t
dA 1 1 A , H AH HA d t i i
1 AH HA 1 E A E A 0 。 i i 2 10. 已知 L 、 s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量， J L s 为电子的总角动量。 L ，J , J z 的
z , pz i Ly , p z ipx
y , Lz ix
r , 2 ，则表示电子自旋向上、位置在 r 处的 7. 一个电子运动的旋量波函数为 r , s z r , 2
1 nx sin , n ( x) a 2a 0,
0 x 2a , x 0 , x 2a
2 2 n 2 ，能级表达式为 En , 8a 2
5. 粒子在一维 势阱 V ( x ) ( x )
( 0) 中运动，波函数为 ( x) ，则 ( x) 的跃变条件为 ( 0) ，则 ( x) 的跃变条件为
( x)
x 3 x 21 3 sin sin a a a 2 2
① 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？ ② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
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14. 一维无限深势阱 ( 0 x a ) 中的粒子，受到微扰
3. 一粒子的波函数 r x, y, z ，则粒子位于 x ~ x dx 间的几率为 P dx dy dz x, y, z 。





2

4. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 V ( x)
0, ,
0 x 2a 中运动，其状态波函数为 x 0, x 2a n 1, 2 , 3 , 。
共同本征态为 l j m j 。证明 l j m j 是 s L 的本征态，并就 j l 和 j l 两种情况分别求出其相 应的本征值。 解：

J 2 L2 s 2 2s L L2 3 2 4 2s L
几率密度表达式为
r , / 2 ，表示电子自旋向下的几率的表达式为 d 3 r r , / 2
2




2
。

8. 一维谐振子升、 降算符 a 、 a 的对易关系式为 [a , a ] 1 ； 粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系是 N a a ； 哈密顿量 H 用 N 或 a 、 a 表示的式子是 H a a
（1）
③ 由 S.eq：
2 d 2 V ( x ) ( x ) E ( x ) ， 2 2m dx
而
d 2 2 x 2 e dx 2
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2
( 2 4 x 2 ) e
2 2
x
2
，
（2）
注意到
E 2 2 2m ，
（3）
将式（2） 、 （3）代入（1） ，可解得
0 x 2a 中运动，其状态波函数为 x 0, x 2a
，能级表达式为
。
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5. 粒子在一维 势阱中运动，波函数为 ( x) ，则 ( x) 的跃变条件为 。若势阱改为势垒 V ( x ) ( x )
( 0) ，则 ( x) 的跃变条件为
几率密度表达式为

，表示电子自旋向下的几率的表达式为 ；粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系

。
8. 一维谐振子升、降算符 a 、 a 的对易关系式为 是 的归一化本征态为 ；哈密顿量 H 用 N 或 a 、 a 表示的式子是 。

； N （亦即 H ）
三、证明题（每小题 8 分，共 16 分）
9. 设力学量 A 不显含时间 t ，证明在束缚定态下，
得分
dA 0 。 dt
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共6页
10. 已知 L 、 s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量， J L s 为电子的总角动量。 L ，J , J z 的 共同本征态为 l j m j 。证明 l j m j 是 s L 的本征态，并就 j l 和 j l 两种情况分别求出其相 应的本征值。
2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
3. 一粒子的波函数 r x, y, z ，则粒子位于 x ~ x d x 间的几率为
得分

。
4. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 V ( x)
0, ,
2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发 出的每条光谱线都分裂为 (2 j 1) 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光 谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）