算法设计与分析总结

算法设计与分析总结

一、算法引论

算法：通常人们将算法定义为一个有穷的指令集，这些指令为解决某一特定的任务规定了一个运算序列。

什么是算法?

计算机来解决的某一类问题的方法或步骤。

算法是程序的核心。

算法的两个要素：

算法是由操作与控制结构两个要素组成。

（1）操作

①算术运算：加、减、乘、除等。

②关系运算：大于、大于等于、小于、小于等于、等于、不等于等。

③逻辑运算：与、或、非等。

④数据传送：输入、输出、赋值等。

（2）控制结构

各操作之间的执行顺序：

顺序结构、选择结构、循环结构，称为算法的三种基本结构

一个算法应当具有以下特性：

1、输入。一个算法必须有0个或多个输入。它们是算法开始运算前给予算法的量。

2、输出。一个算法应有一个或多个输出，输出量是算法计算的结果。

3、确定性。算法的每一步都应确切地、无歧义的定义，对于每一种情况，需要执行的动作都应严格的，清晰的规定。

4、有穷性。一个算法无论在什么情况下都应在执行有穷步后结束。

5、有效性。算法中每一条运算都必须是足够基本的。原则上都能够被精确的执行。

6、一个问题可以有多个解决的算法。

程序可以不满足条件4。

计算机程序是算法的实例，是算法采用编程语言的具体实现。

算法的分类：

（1）数值计算算法

（2）非数值计算算法

算法的表示：

1、自然语言

2、传统流程图

3、N-S流程图

4、伪代码

5、计算机语言

计算机程序设计中有两个核心目标：

1、算法必须是易于理解，编码和调试的

2、设计的算法能够最有效的使用计算机的资源。

目标1是软件工程的概念 ；

目标2是数据结构和算法设计的概念 ；

判断一个算法的优劣，主要有以下标准：

1、正确性：要求算法能够正确的执行预先规定的功能和性能要求。

2、可使用性：要求算法能够很方便的使用。

3、可读性：算法应当是可读的，这是理解、测试和修改算法的需要。

4、效率：算法的效率主要指算法执行时计算机资源的消耗，包括存储和运行时间的开销。

5、健壮性：要求在算法中对输入参数、打开文件、读文件记录、子程序调用状态进行自动检错、报错并通过与用户对话来纠错的功能，也叫作容错性或例外处理。

O 的定义：如果存在正的常数C 和自然数N0，使得当N N0时有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N))。即f(N)的阶不高于g(N)的阶。

例如：

1、因为对所有的n ≥1时有3n ≤4n, 有3n=O(n);

2、因为当n ≥1时有n+1024≤1025n ，有n+1024=O(n);

3、因为当n ≥10时有2n2+11n-10≤3n2有2n2+11n-10=O(n2);

4、因为对所有n ≥1时有n2≤n3，有n2=O(n3)；

5、作为一个反例， n3≠O(n2)；

Ω的定义：如果存在正的常数C 和自然数N 0，使得当N>=N 0时有f(N)>=Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时下有界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N)=Ω(g(N))。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。

θ的定义：定义f(N)= θ(g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且f(N)= Ω(g(N))。此时称f(N)与g(N)同阶。

二、递归与分治

递归函数的二要素：（1）边界条件（2）递归方程

Factorial ：

1, 0 !(1)!, 1

n n =⎧=⎨*-≥⎩if if n n n int factorial(int n)

/* factorial: recursive version

Pre: n is a nonnegative integer.

Post: Return the value of the factorial of n.

*/

{

if (n == 0) return 1;

else return n * factorial(n - 1);

}

Fibonacci numbers ：

,0,1()(1)(2),1=⎧=⎨-+->⎩

n n Fib n Fib n Fib n n int fibonacci(int n)

/* fibonacci: recursive version

Pre: The parameter n is a nonnegative integer.

Post: The function returns the nth Fibonacci number.

*/

{

if (n <= 0) return 0;

else if (n == 1) return 1;

else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);

}

打印数组A[n]的值的尾递归算法：

void recfunc ( int A[ ], int n ) {

if ( n >= 0 ) {

cout << A[n] << " "; n--;

recfunc ( A, n );

}

}

void iterfunc ( int A[ ], int n ) {

//消除了尾递归的非递归函数

while ( n >= 0 ) {

cout << "value " << A[n] << endl;

n--;

}

}