曲面的切平面和法线计算例题
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第二章 曲面的表示与曲面论
第三节 曲面的
切平面和法线、 光滑曲面
1、 平面曲线的切线与法线
设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,
),(0
y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为
)
,()
,()(00000y x F y x F x y y x ''-
='. 从而曲线过点),(000y x P 的
切线方程为
)
()
,()
,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,
即0
(,)()(,)()0x
y
F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为
(,)()(,)()0y
x
F x y x x F x y y y ''---=，(2)
例1、 求笛卡尔叶形线09)(23
3
=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.
解 xy y x y x F 9)(2),(3
3
-+=, y x F x 962
-=',x y F y
962
-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y
x F F , 得到
切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.
图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0
, )(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
动点
L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0
. 动割线P P 0
的方程为
t
z z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-0
00,
当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0
的极限位
置l : 0
()()()
x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0
P 的切线.
其方向向量为 0
{(),(),()}x t y t z t τ'''=r
。
过0P 且与切线垂直的平面叫做曲线L 在点0
P 的法平面,其方程为
... (4)
例2 求螺旋线t z t y t x ===,sin 2,cos 2 在点)4/,1,1(π的切线方程与法平面方程.
解 切向量为}1,1,1{-=τρ,切线
方程为 1
4
/1111π-=
-=--z y x ; 法
平面方
程为
0)4/()1()1(=-+-+--πz y x ,即 04/=+--πz y x .
图(2)螺旋线的切线与法平面
3
曲面的切平面与法线
设曲面S 的一般式方程为 0),,(=z y x F ，
),(y x z z =是由该方程确定
的隐函数，则z
x F F x z ''-=∂∂，z
y F F y z
'
'-
=∂∂.设S z y x P ∈),,(0
,
令
)
,,(000z y x F A x '=,
)
,,(),,,(000000z y x F C z y x F B z y '='=,
则曲面S 在点P 的切平面方程的法向量可表为
... (5)
于是切平面π的方程为0)()()(0
=-+-+-z z C y y B x x A ;
法线方程为C
z z B y y A x
x 0
00
-=-=
-.
定理 设曲面S 的一般式方
程为 0),,(=z y x F ，S z y x P ∈),,(0
, {})0,0,0(,,≠=C B A n ϖ.设曲线L :)(),(),(t z z t y y t x x ===是曲面S 上过点P 的任意一条可微分曲线,)(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
l 为L 在点P 的切线,则n l ρ
⊥. 证明 因为S L ⊂,所以有0))(),(),((≡t z t y t x F .两边对t 求导,再取 0t t =,得 0)()()(0
='+'+'t z C t y B t x A … … ① 则)}(),(),({0
t z t y t x '''=τρ为切线l 的
方向向量.①式表示τρ
ρ⊥n .
图(3)
由该定理可见:曲面S 在点P 的切平面π恰好是由S 上过点P 的所有曲线在P 点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例 3 求椭球面0632),,(2
2
2
=-++=z y x z y x F 在点)1,1,1(P 的切平面及法线方程.
解 }6,4,2{=n
ρ
, 切平面方程为632=++z y x ;