数学史期末作业

刘徽从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体， 而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不 断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边 数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限 就是圆面积. 刘徽考察了内接多边形的面积，也就 是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.同时，它与两个小三 角形的面积和相等.刘徽指出，在用圆内接正多边形 逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间 有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的 “差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆 面积.这是圆面积的一个上界序列。
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①古代的求解方法：化圆为方 化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出 线段π的问题。标尺作图问题曾吸引许多人研究， 但无一成功。 1882年法国数学家林 德曼（1852 －1939）证明了π是超越数，同时证明了圆为方 问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有 人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的 线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作 长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不 可作。化圆为方这条路行不通，人们不得不开动 脑筋，另找出路。
这对阿基米德求圆周率有重要影响，圆周率是圆 的周长和直径之比，也是圆的面积与半径的平方之比， r 2πxdx =πr^2 因为(πr^2)’=2πr，∫ 0 故从逻辑上，圆的周长和圆的面积等价，求圆周 率的方法就是求圆的面积的方法。阿基米德分别用边 数不断增多的圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆 的周长，得到了阿基米德数22/7阿基米德又给出了圆 的面积公式：圆的面积等于以圆周长为底、半径为高 的三角形面积，这就是刘徽所说的“半圆乘半径为圆 幂”。 返回
有一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上，他灵机 一动：布可以看成为面积！布是由棉线织成的，要是把布 拆开的话，拆到棉线就为止了，要是把面积像布一样拆开， 拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没 有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把 不能再细分的东西叫做“不可分量”棉线是布的不可分量， 直线是平面面积的不可分量。卡瓦利里紧紧抓住自己的想 法，反复琢磨，提出了求圆的面积和体积的新方法1635年， 当《葡萄酒桶的立体几何》问世 20周年之时，意大利出版 了卡瓦利里的《不可分量几何学》在这本书中，卡瓦利里 把点、线、面分别看成是直线、平面、立体。
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②有限次分割得到圆的面积 欧几里得的《几何原本》指出圆与圆的面积 之比等于以其直径为边的正方形的面积之比。这 一命题没有回答如何计算圆的面积，但从命题的 结论可以看出，圆的面积与直径有关，且与直径 的平方成正比，这对进一步求圆的面积具有指引 作用与启发意义，于是人们想到既然正方形的面 积容易求，只要作出一个正方形，使它的面积恰 好等于圆的面积就行了，这就是“化圆为方”数 学家已经证明，与三等分角、倍立方一样，要彻 底地化圆为方，就得使用直线和圆以外的其他曲 线，仅用直尺和圆规是不行的，在化圆为方的过 程中，欧多克斯发现了穷竭法。
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圆在生活中的应用：草原上的蒙古包是圆形的蒙古包为 天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形 的，所以立在草原上，大风雪中阻力小，再大的地震中也不 会变形，顶上又不积雨雪，寒气不易侵入，是非常安全的住 所。大多数植物的根和茎的横截面是圆形的，因为在周长相 等的情况下，围成圆的面积最大，所以绝大多数植物的根和 芝的横面的圆形的，这使收水分和养料的面积更大。 用最 小的材料得到最大的表面积。植物就能更多地吸取养分。下 水道阴井盖子，也是圆的。 1.是掉不下去。 2.是相同材料，做的面积最大。（水每秒通过速度也最大） 3.随便哪个角度都能放好。
不可分量，把直线看成是点的总和，把平面看 成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。卡瓦 利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽 然不一样，但是，只要页数相同，厚薄相同，而且 每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应 该相等。他认为这个道理适用于所有的立体，并且 用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的 “卡瓦利里原理”事实上，我国数学家祖暅最先提 出这个原理，比卡瓦利里早 1000多年，所以又称 之为“祖暅原理”。
12小教数学班
左琴
1246111062
探索圆面积求法的历程 化圆为方
古代求解方法 有限次分割得到圆的面积 刘徽割圆术求面积法
开普勒无限次分割求面积法
卡瓦利里 近代求解方法 拓扑法 积分求面积法 蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法 现在小学圆面积的教法 圆在生活中的应用
1、历史上求解圆的面积的方法的过程 圆是最重要的曲边图形，古埃及人把它看成是神赐予 人的神圣图形，怎样求圆的面积，怎样化曲为直，以直代 曲是数学对人类智慧的一次考验。 我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手， 让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形 同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近 圆面积。 古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成 许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的 面积去代替圆面积。 众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积 作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。
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4、 近代的求解方法：①卡瓦利里原理降格成了定理 当微积分成熟之后，卡瓦利里原理降格成了一个定理。 求圆的面积、甚至不规则图形的面积可以程序化地操作 （如下图）。
分割 求和 整体近似 取极限
局部近似
精确值
积分求圆面积 只需要求四分之一个圆就行， 如下图，只需要求第一象限的面 积，然后乘以4就可以了。如下 图，对于半径为R的圆，分割成 无数个微元，阴影部分那个微元 的微面积是dS=xdx
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初生之物，其形必陋。开普勒求面积的新方法，也 引起了一些人的怀疑。如，开普勒分割出来的无穷多个 小扇形，它的面积是否为零？如果为零，半径 OA和半 径 OB就会重合，小扇形 OAB 就不存在了；如果不为 零，小扇形 OAB与小三角形 OAB的面积就不会相等， 把两者看做相等就不对了。卡瓦利里是意大利物理学家 伽利略的学生，他研究了开普勒的求圆的面积方法中存 在的问题。开普勒把圆分成无穷多个小扇形，每个小扇 形的面积到底是多少，就不好确定了。但是，只要小扇 形还是图形，它是可以再分的。开普勒为什么不再继续 分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为 止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
开普勒的计算过程：假定把圆分为n个 扇形，它们都是全等的等腰三角形．由于这 些等腰三角形是来自同一个圆，因而它们的 高都等于圆的半径．当将它们如图放在一起 时，就构成了平行四边形的样子．一个平行 四边形的面积可由底乘以高求得，在这种情 况下，底为圆周长的一半即1/2的直径乘以 π或1/2dπ=1/2*2r*π=rπ. 该平行四边形 的高与 等腰三角形的高一样， 即r．因而 圆的面积=平行四边形的面 积=(rπ)·r＝πr^2
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3、近代的求解方法： 无限次分割得到圆的面积16 世纪德国天文学家开普勒， 对求面积问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究!他认为古代数 学家用分割法求圆的面积，所得到的结果都是近似值!为了提高 近似程度，就要不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少 次，几千次甚至上万次，只要是有限次，所求出来的总是圆的 面积的近似值，要想求出圆的面积的精确值，必须分割无穷多 次，把圆分成无穷多等分才行。开普勒也仿照切西瓜的方法， 把圆分割成许多小扇形!不同的是，他一开始就把圆分成无穷多 个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，与对应的无穷 小的三角形面积相等! 圆的面积等于无穷多个小扇形面积之和， 各段小弧之和就是圆的周长2πr，所以圆的面积是S=1/2(2πr) ×r=πr^2开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积1615 年，他将自己创造的这种求圆的面积的新方法，发表在《葡萄 酒桶的立体几何》中。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞 这本书是人们创造求圆的面积和体积新方法的灵感源泉。
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பைடு நூலகம்
拓扑法
首先要用到拓扑等价原则，这是比较容易理解的拓 扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但 是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角 形的形状、大小不同，在拓扑变换下，他们都是等价 图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，他们是完 全一样的。 在一个球面上任选一点用不相交的线把它们连接起 来，这样球面就被这些线分成很多块，在拓扑变换下， 点、线、块的数目和原来的数目是一样，这就是拓扑 等价。一般地说，对于任意形状的闭曲线只要不把曲 面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑 等价。
刘徽再把与圆周合体的这个正多边形，就是 不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再 分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为 底的无穷多个小等腰角形，这个底乘半径为小三 角形面积的两倍，把所三有这些底乘半径加起来， 应该是圆面积的两倍.那么就等于圆周长乘半径 等于两个圆面积.所以一个圆面积等于半周乘半 径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂.那么他 的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自 倍.故以半周乘半径而为圆幂”.最后完全证明了 圆面积公式.
y
x
y
dx
所以圆的面积是S（圆）=4S=πR^2
x
x
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②一种求圆的面积的另类方法：蒙特卡罗算法蒙特卡
罗算法是以概率和统计方法为基础的一种计算方法。将 所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机 实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。它的基本 思想是：为了求解数学、物理、工程技术以及管理等方 面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，求它们 的参数，如概率分布或数学期望等问题的解；然后通过 对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计 特征，并用算术平均值作为所求解的近似值。 对于随机 性问题，有时还可以根据实际物理背景的概率法则，用 电子计算机直接进行抽样试验，从而求得问题的解答。 这也就是 MC算法的基本运用路线。比如，已知直径， 要求一个圆的面积。蒙特卡罗算法可以这样做：
我国古代数学家刘徽认为对圆“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣”他在割圆的过程中，得到了刘徽不等式： S2n〈S〈S2n+（S2n－Sn） 然后采取“割之又割，以 至于不可割”的方法得到圆的面积公式S=Cr。古印 度的数学家采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多 小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形 的面积去近似代替圆的面积，众多古代数学家煞费 苦心，巧妙构思，为求圆的面积做出了十分宝贵的 贡献，为后人解决这个问题开辟了道路。
图：设圆面积为S0，半径为r， 圆内接正n边形边长为ln，周长 为Ln ，面积为Sn.将边数加倍后， 得到圆内接正2n边形，其边长、 周长、面积分别为l2n，L2n，S2n
刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限 状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就 是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。 因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积. 于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积 l2n=AD=√ (AC^2+CD^2)= √（1/2ln)^2+ [r-√r^2-(1/2ln)^2]^2 知道了内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的 面积S2n=n(1/2AB*OD) =n*lnr/2=1/2Ln*r 得 S2n＜S0 ＜ S2n+（ S2n ﹣Sn）
设圆的半径是 r，作圆的外切正方形， 显然正方形的面积是 S1=4r^2.然后在这个正 方形区域内产生大量的随机点，记录下总点 数 N 和落在圆中的点数 M，就可以得到圆的 面积近似值S=M/N×S1，当N 足够大时，近 似值就会满足精度要求。
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现在的教法： 把圆平均分成若干份，可 以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等 于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长 （C）的一半。长方形的面积是ab，那圆的 面积就是：圆的半径（r）的平方乘以周长 C，S=πr×r。