线性代数习题参考答案

第一章行列式
§1 行列式的概念
1．填空
(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列
的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含
152332445166
a a a a a a的项的符号为，含
324314516625
a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值
(1)
11
2223
3233
00 0
a
a a
a a
解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为
，所以行列式的值为。

(2)
1
2,12
1,21,11, 12,1
000
00
n
n n
n n n n n n n n n nn
a
a a
a a a
a a a a
-
----
-
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排
列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2
多，则此行列式为0，为什么？
5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？
（提示：利用3题的结果）
6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）2
011
411
8
3
---
（2）2
2
2
1
11a
b c a b c
§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

(1) 2141 3121 1232 5062
-
(2)
100 110 011 001
a
b
c
d -
-
-
(3)
ab ac ae bd cd de bf cf ef -
-
-
2． 证明下列恒等式
(1) ()33ax by ay bz
az bx x y z D ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y
+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
(2)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
1231230123123a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++
(3)
11112
2
1
10000
100
0001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------
=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)
3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余
子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。

4． 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：
11365
22743
340564669555356
能被13整除。

（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）
5． 已知512345
22211
27312451112243150
D ==，
求：(1) 1222324252322A A A A A ++++；
(2) 414243A A A ++和4445A A +。

（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）
6． 设()x a b c
a x
b
c f x a b
x c a b c
x
=
，求()0f x =的根。

解1：首先，行列式展开式中含4
x 项，所以()0f x =有四个根。

而通过观察，将
,,x a x b x c ===代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为
0，即,,x a x b x c ===为根。

然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：
f x的值后，求根。

）解2：（注意各行元素之和相等，可计算()
§3 行列式的计算1．利用三角行列式的结果计算下列n阶行列式
(1)
3111
1311
1131
1113 D
（提示：注意各行（列）元素之和相等）
(2)
00
00
000
000
x y
x y
x y
y x
（提示：可考虑按第一行（列）展开）
(3) 12111
111, (0,1,2,
,)1
1
1n i n
a a D a i n a ++=
≠=+
（提示：可考虑第一行的1-倍加到各行，再化为三角行列式）
2． 用迭代法计算下列行列式
(1) 210
00
00
1210
000
00001210000012
n D =
解：按第一行（列）展开，得递推公式：n D = 1n D -+ 2n D -。

于是
n D - 1n D -= 1n D -- 2n D -2D =
=- 1D = 。

由此得：n D = 1n D -+
= 2n D -+ =
= 2D + = 。

(2) 00001
000010
000010
1
n a b ab a b ab a b D a b ab a b
+++=
+
+。

解：按第一行展开，有递推公式n D = 1n D -+ 2n D -，得递推公式：
1n n D aD --= 12()n n D aD ---=
= 21()D aD -= ①
同理可得：1n n D bD --= ② 联立①与②，解方程组得：n D =
3． 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
(1) 11
1
1(1)()(1)()1111
n n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=
--，(0,1,2,
,)a n ≠
（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
(2) 122
1
111
11111122
1
2
22
22
22
2
11
22
111111111
n
n n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ------+---++++++++=
，)0(≠i
a
解：在i 行中提出n
i a 因子，
4．构造辅助行列式法计算下列行列式
(1) 2
2
2
2
4444
1
111a b c d D a
b
c
d
a b c d =
(缺行的范德蒙行列式)
解：构造辅助范德蒙行列式2
2222333334
44
4
4
1
1111
a
b c d x
D a b c d x a b c d x a b c d x =，D 为D 中元素3x 的余子式，而2
2222333334
4
4
4
4
1
1111
a
b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x ==
(2) 1212
111
222, 0n n n
a a D a a a n
n
n a ++=
≠+
解：构造辅助行列式1
2
111
101110
2220
n
a D a n
n
n a +=++，
则n D D =，而D =
5． 用数学归纳法证明：
cos 100012cos 100cos 012cos 0
12cos n D n θθθθ
θ
=
=
证明：（1）1n =时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于n 阶的行列式成立； （3）（下证n 阶行列式成立）
由于，n D = 1n D -+ 2n D -（注：按最后一行（列）展开） = = 所以，
6． n x a a
a
a x a
a
D a a x
a a a a
x
=，(1)0,n a x -+≠求12n n nn A A A +++
(提示：将所有行加到最后一行)
§3 克来姆（Cramer）法则1．用克来姆法则解下列方程组
(1)
123
123
123
24 34211 32411
x x x
x x x
x x x
--=
⎧
⎪
+-=⎨
⎪-+=⎩
(2)
123
12
12
30 250
x x x
x x
x x
++=⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
2．当k取何值时，方程组
123
123
123
20
kx x x
x kx x
x x x
++=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪-+=
⎩
有非零解？
第二章 矩 阵
§1矩阵的概念及运算
1． 判断正误
（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s p ⨯矩阵，若AB BA =，则 AB 与BA 必为同阶方
阵。

（ ）
（2）A 与B 为n 阶方阵，λ为实数，有()()A B B A A B λλλ==
⋅⋅。

（ ）
（3）A 与B 为n 阶方阵，()k
k
k
AB A B = )(N k ∈ 。

（ ） （4）A 与B 为n 阶方阵，()2
2
2
2A B A AB B ±=±+。

（ ）
（5）A 为n 阶方阵，()2
2
2A E A A E ±=±+。

（ ）
（6）A 与B 为n 阶方阵，2
2
()()A B A B A B +-=-。

（ ）
（7）A 为n 阶方阵，2
()()A E A E A E +-=-。

（ ）
（8）A 与B 为n 阶方阵，T T A B A B +=+ 。

（ ） （9）A 与B 为n 阶方阵，T T A B AB =。

（ ） 2． 选择题
(1) 设,,A B C 均为n 阶方阵，, AB BA AC CA ==，则ABC =（ ） (A) ACB （B ）CBA (C) BCA (D) CAB (2) 若A 为实对称矩阵，则T
A A 的值（ ）
(A) 0≤ （B ）0≥ (C) 0= (D) 不能确定
（3）设A 为方阵，2
()2f x x x =--，则()f A 为（ ）
(A) 2
2A A -- （B ）2
2A A E --
(C) (2)()A E A E +- (D) 不能确定
3． 设121023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，201111B -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，计算：
(1)1
32
A B -；(2) T AB ；(3) T A B 。

4． 计算101n
n A λ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

(提示：先计算出23,A A ，以此归纳出n A ，然后用数学归纳法证明结论)
5． 设A 为n 阶方阵，若对任意的n 维列向量z ，均有0Az =，证明：0A =。

(提示：由于n 维列向量z 的任意性，考察n 维列向量12,,,n e e e ，证A 中各元素
为0)
6． 设A 为实对称矩阵，若2
0A =，证明0A =。

(提示：证A 中各元素为0)
7． 若A 为n 阶方阵，且满足T
AA E =。

若0A <，求E A +。

(提示：先证明E A E A +=-+)
8． 试证：若A 为奇数阶方阵，且满足T AA E =，1A =，则0E A -=。

(提示：先证明E A E A -=--)
9． 若A 为奇数阶反对称方阵，证明：0A =。

(提示：由反对称阵的定义证明)
10． 设,A B 都是对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =。

11． 设n 阶方阵()ij A a =，()ij B b =，且A 与B 的各行元素之和为1，α是1n ⨯矩
阵，且每个元素都为1，求证：
(1) Aαα=；
(2) AB的各行元素之和都等于1；
(3) 若,A B各行元素之和分别为,k t，则AB的各行元素之和都等于什么？
§2 逆矩阵
1． 判断正误(,,A B C 均为n 阶方阵)
(1) 000AB A B =⇒==或。

( ) (2) AB AC B C
=⇒=。

( ) (3)
A 为n
阶方阵。

则2A A A E =⇒=或
A =。

( ) (4) 1
1
A
A
-=。

( ) (5) ()
1
11AB B A ---=，()T
T T AB B A =。

( )
(6) ****()A A A E =。

( )
2． 填空
(1) 设213012101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A = ，*
A = ，
1A -= 。

(2) 设A 为3阶方阵，且4A =，则1A -= ，1(4)A -= ，
*
1143
A A --= ，*()T A = 。

(3) 已知*
100212, 020001A BA AB E A ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则B = 。

(4) 设14311201X ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，则X = 。

3． 设0k
A =，证明：1
21()
k E A E A A A ---=+++
+。

(提示：证明2
1()()k E A E A A A E --++++=)
4． 设方阵A 满足2
20A A E --=，证明：A 及2A E +都可逆，并求其逆矩阵。

（提示：利用可逆的定义证明）
5． 设A 是n 阶方阵，证明：(1) 若0A =，则*
0A =；(2) 1
*n A A
-=；(3)
2
**(),(0)n A A
A A -=≠。

（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式*AA A E =）
6． 设n 阶非零方阵A 的伴随矩阵为*
A ，且*
A =T
A ，求证：0A ≠。

(提示：可考虑用反证法证明)
7． 设A 是n 阶方阵，如有非零矩阵B 使0AB =，则||0A =。

8． 设1
1
,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆方阵，求1
11
()A B ---+。

§3 分块矩阵
1．设
12000
41010
05001
30000
03000
A
-⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，
0002
0003
2130
1210
0140
B
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=-
⎪
-
⎪
⎪
⎝⎭
，利用分块矩阵计算AB。

2．设
200
010
001
A
-⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
200
012
001
P
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，(1) 利用分块矩阵求11
,
A P
--；(2) 计算
()5
1
P AP -。

3． 设,A B 均为n 阶方阵，令O A Q B O ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(1) 证明Q 可逆的充要条件是,A B 均可逆； (2) 设U
V P W X ⎛⎫=
⎪⎝⎭，使E O PQ O E ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求出,,,U V W X ； (3) 当Q 可逆时，求出1
Q -。

4． 设121100000
00
0, 000000
00n n n
a a A a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=≠ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，利用矩阵分块求1A -。

5． 设A 为n 阶可逆方阵，1A 为1n ⨯矩阵，b 为常数，
*
1T E O P A A A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11T A A Q A b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(1) 计算PQ ；(2) 证明：Q 可逆的充要条件是1
11T A A A b -≠。

6． 设A 为4阶矩阵，且2A =，把A 按列分块为()1234,,,A A A A A =，其中
(1,2,3,4)j A j =是A 的第j 列，求312412,3,,A A A A A ---。

(提示：根据行列式的性质计算)
§4 矩阵的初等变换
1．把矩阵
3201
0221
1232
0121
A
--
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
---
⎪
⎝⎭
化为阶梯形和简单阶梯形。

2．利用初等变换求逆矩阵，
1200
2012
1101
1000
A
⎛⎫
⎪
⎪=
⎪
-
⎪
⎝⎭。

3．利用初等变换求解下列矩阵方程
（1）
41213 22122 31131
X
--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
（2）021123213231334X ⎛⎫⎛⎫
⎪-= ⎪ ⎪-⎝
⎭ ⎪--⎝⎭
4． 已知2
2220
1110
011000
1A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，用初等变换求1A -，并计算A 的所有代数余子式之和
,1
n
ij
i j A
=∑。

(提示：利用*
AA A E =，可求
,1
n
ij
i j A
=∑)
§5 矩阵的秩
1． 判断正误
(1) 若A 为m n ⨯矩阵，()R A r =，则min{,}r m n ≤。

( )
(2) 若()R A r =，则A 的所有的r 阶子式都不为0，而所有的1r +阶子式都为0。

( )
(3) 若矩阵A 存在一个r 阶子式都不为0，则()R A r ≥。

( ) (4) 任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积，且分解唯一。

( ) （5）设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，且m n >，则0AB =。

( )
2． 设01112022200111111011A -⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭
，求()R A 。

3． 设矩阵31144101171732243A λ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，(1) λ为何值时，()R A 最大？(2) λ为何值时，()R A 最小？
(提示：利用初等变换求秩)
4． 讨论n 阶方阵111111111
a a A a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的秩。

5． (1,2,
,)i a i m =不全为零，(1,2,
,)j b j n =不全为零，求矩阵
1112121
22
212n n m m m n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的秩。

(提示：利用秩的定义，考虑行列式的一阶及二阶子式)
6． 设,A B 均为n 阶方阵，证明： (1) 若()R A n =，则()()R AB R B =；
(2) 若()R B n =，则()()R AB R A =。

(提示：利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积，以及初等变换不改变矩阵的秩证
明)
第三章 向量组的线性相关性
§1 n 维向量
1． 设123214511
, , 152323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且1233()2()5()αααααα-++=+，求向量
α。

§2 向量组的线性相关与线性无关
1． 用定义判断下列向量组的线性相关性
（1）1231212, 0, 2112ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：设1122330x x x ααα++=即有齐次线性方程组12312312
320
202020
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为121
2
0201
12
-=，故由克拉姆法则方程组有非零解，即存在不全为零的数使得1122330x x x ααα++=成立，故1
2
3,,ααα线性相关。

（2）1231111, 2, 1310ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：设1122330x x x ααα++=即有齐次线性方程组12312312
30
20300
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为11
1
1
21103
1
--=-≠，故由克拉姆法则方程组只有零解，即只存在全为零的数使得1122330x x x ααα++=成立，故1
2
3,,ααα线性无关。

2． 设130β⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
，1231020, 1, 2101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把β表示成123, , ααα的线性组
合，问线性表示是否唯一？
解：设112233x x x αααβ++=即有非齐次线性方程组1231231
23021
023010
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为102
1210101
=-≠，故由克拉姆法则方程组有唯一解，
即β能表示成123, , ααα的线性组合，且表示唯一。

3． 设1231111, 2, 313t ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，问：
（1） 当t 为何值时，123, , ααα线性无关？当t 为何值时，123, , ααα线性相
关？
（2） 当123, , ααα相关时，将3α表示为12, αα的线性组合。

解：(1) 123, , ααα线性相关⇔111
12
35013t t
=-=⇔5t =，从而
123, , ααα线性无关⇔5t ≠
(2) 当5t =时3212ααα=-
4． 证明：若向量组12, ,
, s ααα中含有零向量，则此向量组一定线性相关。

（提示：用定义证明） 证明:不妨设10α= 法一：显然12100 0s ααα++
+=，即存在不全为零的数使得12, , , s ααα线性组合
为零，故向量组一定线性相关。

法二：由10α=可知向量组1α线性相关，又{}{}112, , , s αααα⊆，故向量组一定线
性相关。

注意：因为向量组12, ,
, s ααα中含有零向量，故行列式12, , , 0s ααα=，故向量
组一定线性相关。

（这样证明是错误的，因为()12, , , s ααα不一定是方阵。

）
5．已知向量组1234, , ,αααα线性无关，112223,βααβαα=+=+，
334441,βααβαα=+=-，用定义证明：向量组1234, , ,ββββ线性无关。

解：设
112233440k k k k ββββ+++=，由题条件可得
()()()()1411222333440k k k k k k k k αααα-++++++=
又1234, , ,αααα线性无关，故有1412
23340
k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩方程组系数行列式为
10011100100110001
1-=≠
由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有1234, , ,k k k k 全为零
112233440k k k k ββββ+++=
才成立，故向量组1234, , ,ββββ线性无关。

6．若向量β可由12s , ,
, ααα线性表出，则表示法唯一的充要条件为
12s , , , ααα 线性无关。

（提示：可考虑用反证法证明） 证明：充分性（12s , , , ααα 线性无关⇒表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不
同的表示为
1122(1)s s k k k αααβ+++= 1122(2)s s l l l αααβ
++
+=
由（1）（2）得()()()1112220
s s s k l k l k l ααα-+-++-=，
由两个表示不一样有1122,,s s k l k l k l ---不全为零，这与12s , , , ααα 线性无关矛
盾。

故当12s , ,
, ααα 线性无关时表示法唯一
必要性：（表示法唯一⇒12s , , , ααα 线性无关）若12s , ,
, ααα 线性相关，
则存在不全为零的数设为12,,
s m m m 有
()11220
3s s m m m ααα++
+=
又β可由12s , ,
, ααα线性表出记为
1122(4)s s n n n αααβ
++
+=
由（3）（4）可得
()()()111222(5)s s s n m n m n m αααβ++++
++=
由12,,
s m m m 不全为零知道（4）（5）是β两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。

故表示法唯一⇒12s , , , ααα 线性无关
7． 若向量组123, , ααα线性无关，问常数m l ,需满足什么条件时，向量组
122331, , l m αααααα+++线性无关？
（提示：用定义判定）
解：设()()()1122233310x l x x m αααααα+++++= 即有
()()()1311222330lx x x x x mx ααα+++++=
由向量组123, , ααα线性无关得
13122
3000
lx x x x x mx +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 方程组的系数行列式为01
1
1
0101l
lm m
=+，由克拉姆法则得10lm +≠时方程组只有零
解。

当1lm ≠-时122331, , l m αααααα+++线性无关。

8．判断题
（1）若向量组12, ,
, m ααα线性相关，则任一向量(1)i i m α≤≤可由其余向量
线
性表出。

（ ）
正确为：若向量组12, , , m ααα线性相关，则至少有一个向量(1)
i i m α≤≤可由其余向线性表出。

反例：1000,1,0000⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
（2）对任意一组不全为零的数12, ,
, m λλλ，有11220m m λαλαλα+++=，
则
向
量
组
12, ,
, m
ααα线
性
相
关。

（ ）
思考一下这在什么情况下发生 （3）若12, ,
, m ααα线性相关，12, , , m βββ亦线性相关，则有不全为零的
数12, ,
, m λλλ，使 11220m m λαλαλα+++=，
11220
m m λβλβλβ++
+=同
时
成
立。

（ ）
（4）若有不全为0的数12, , , m λλλ，使
++++m m αλαλαλ 221102211=+++m m βλβλβλ
成立，则12, , , m ααα线性相关，12, , , m βββ亦线性相关。

（ ）
（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则
这三向量共面。

（ ）
9．选择题
（1）n 维向量组12,,
,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A ）存在不全为零的数s 21 , , ,λλλ ，使11220s s λαλαλα++
+≠；
反例1000,1,0000⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
线性相关但100000100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
正确应为： n 维向量组12,,
,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是
对任意的不全为零的数s 21 , , ,λλλ ，使11220s s λαλαλα++
+≠
（B ）12,,,s ααα中任意两个向量线性无关；
（C ）12,,,s ααα中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； （D ）12,,
,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。

（2）设12,,
,m ααα均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ B ）
（A ）若11220m m λαλαλα+++=，则12, ,
,m ααα线性相关；
注意：无论12,,
,m ααα是否无关，当12
0m λλλ====时均有
11220m m λαλαλα+++=
（B ）对任意一组不全为零的数12, ,
,m λλλ，有
11220m m λαλαλα+++≠，则向量组12, , ,m ααα线性无关；
注意：（B ）意味着 11220m m λαλαλα+++=只有12
0m λλλ====。

（C ）若12, ,
, m ααα线性相关，则对任意一组不全为零的数
12, ,
, m λλλ，有11220m m λαλαλα++
+=；
注意：12, ,
, m ααα线性相关只是至少存在不全为零的数12, ,
, m λλλ，有
11220m m λαλαλα+++=未必是对任意一组不全为零的数有
11220m m λαλαλα+++=
（D ）因为120000m ααα+++=，所以12, ,
, m ααα线性无关。

(3) 设有任意两个n 维向量组12, ,
, m ααα和12, , , m βββ，若存在两组不
全
为
零
的
数
12, , , m
λλλ和
12, ,
, m
k k k ,
使
111222()()()m m m k k k λαλαλα+++++++
111222()()()0m m m k k k λβλβλβ-+-+
+-=，则 （ D ）。

（A ） 12, , , m ααα 和12, , , m βββ都线性相关； （B ） 12, , , m ααα 和12, , , m βββ都线性无关； （C ） 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关； （D ） 1111,,,,
,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关。

注意：
111222111222()()()()()()0
m m m m m m k k k k k k λαλαλαλβλβλβ+++++++-+-++-=⇒
()()()()()()1112221112220
m m m m m m k k k k λαβλαβλαβαβαβαβ++++
+++-+++-=
（4）向量组123, , ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ B ）。

（A ）122331,,αααααα+++ ； （B ）112123,,αααααα+++；
（C ）122331,,αααααα--- ； （D ）122313,2,3αααααα+++。

注意：向量组123, , ααα与向量组112123,,αααααα+++等价。

123, , ααα线性无关故秩为3，故112123,,αααααα+++秩也为3。

（5）设向量组（I ）：1112131a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1222232a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1332333a a a α⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
；
向量组（II ）：112113141a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122223242a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132333343a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，142443444a a a a β⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则（ ）
（A ） （I ）相关⇒（II ）相关； （B ） （I ）无关⇒（II ）无关； （C ） （II ）无关⇒（I ）无关； （D ） （I ）无关⇔（II ）无关。

（6）若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（C ）
（A ）α必可由,,βγδ线性表示； （B ）β必不可由δγα,,线性表示； （C ）δ必可由γβα,,线性表示； （B ）δ必不可由γβα,,线性表示。

注意：向量组,,αβγ线性无关，⇒,αβ线性无关，又,,αβδ线性相关
⇒δ必可由,αβ线性表示；⇒δ必可由γβα,,线性表示；
§3向量组的秩
1． 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。

（1）123411141132
, , , 21353156αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（提示：首先将向量作为列向量构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为最简
阶梯形）
解：作矩阵
12341123111113354256T T T T A αααα⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪ ⎪==
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭213141
,,r r r r r r
---1123021202120636⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
3242,3r r r r +-1123021200000000⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
故{}1234, , , 2R αααα=，12, αα是其一个极大无关组。

（2）123411011120
, , , 01211222ββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：作矩阵
12
341101111202221012T T T T A ββββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
⎪-⎝
⎭⎝⎭2141,r r r r ++1101001102220111--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭
24r r ↔1101011102220011--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭322r r + 1
1
1011100000
011--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭
3
4r
r ↔11
10
11100110
000--⎛⎫ ⎪
- ⎪
⎪
- ⎪
⎝⎭
故{}1234, , , 3R ββββ=，124, ,βββ是其一个极大无关组。

2． 设向量组2123, , 2, 31311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩为2，求b a ,。

解：法一，作矩阵
3123121231a b A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭13
r r
↔1212331231b a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
2131412,,2r r r ar r r ---1
210410321011b a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭
24r r ↔1210110321041a a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭
()
324232,(4)r a r r b r +-+-12
1011002005a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
故2050a b -=⎧⎨
-=⎩即2
5
a b =⎧⎨=⎩时秩为2。

法二：由向量组秩为2可得123, 2, 3111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，故123230111a =2a ⇒=
由向量组秩为2可得212, 2, 3311b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，故212230311b =5b ⇒=
3． 设向量组12, ,
, s ααα能由向量组12, , , t βββ线性表出，证明：
R （12, , , s ααα）≤R （12, ,
, t βββ）
（注：该结论是线性代数重要结论之一。

凡是与秩有关的命题，大多需用该结论证
明，如第4题等）
证明：令R （12, ,
, s ααα）= p ，不妨设A =12{, , , }p ααα为
12, , , s ααα的极大无关组；令 R （12, ,
, t βββ）= q ，
=B 12{, , , }q βββ为12, ,
, t βββ的极大无关组。

考虑向量组M =12{, ,
, ,p ααα12, ,
, }q βββ，
12, ,
, q βββ为12, , , t βββ的极大无关组，则12, ,
, q βββ线性无关
且
12, , , t βββ能被12, , , q βββ线性表出。

又12, , , s ααα能由向量组
12, ,
, t βββ线性表出，故12, , , t βββ也能表示12, ,
, p ααα，
从
而
12, , , q
βββ线
性
无
关
且
表
示
M =12{, , , ,p ααα12, , , }q βββ，即12, , , q βββ是
M =12{, ,
, ,p ααα12, , , }q βββ的极大无关组，故()R M q =。

由12, ,
, p ααα线性无关及秩的定义有()R M p ≤。

故R （12, ,
, s ααα）≤R （12, , , t βββ）。