数学培优竞赛新方法
黄东坡数学竞赛培优新方法详细解析第八节一元一次方程
解得m=-3． ∵|a|≤|m|， ∴|a+m|+|a-m|=-a-m+a-m=-2m=6． 故填6．
10. 已知下表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大 ，各竖列中
从第二个数起的数都比它上边相邻的数大 ，则
__________ ，
2009
2011
原方程可化为：1+ 1−x +1+ 1−x =1+ 1−x +1+ 1−x
2005
2007
2009
2011
(1-x)( 1 + 1 - 1 - 1 )=0，
2005 2007 2009 2011
x=1.
15. 已知关于 的一次方程 A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数
关于 的一次方程 当且仅当
(4) 2 0 0 6 −x+ 2 0 0 8 −x= 2 0 1 0 −x+ 2 0 1 2 −x
2005
2007
2009
2011
(1) 0 .0 1 −0 .0 3 x+0.5= x−3
0 .0 2
2
整理得： 1 −3 x + 1 = x−3
2
2
2
去分母：1-3x+1=x-3
x= 5
4
(2) 1 { 1 [ 1 ( x+2 +4)+6]+8}=1
1 ×2 2 ×3
2 0 0 9 ×2 0 1 0
2x(1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 )=2009
数学培优竞赛新方法-第4讲 一元二次方程的应用
第4讲一元二次方程的应用知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。
例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ，C 是坐标轴上一点。
若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________。
【例2】已知实数x 、y 满足32424=-x x ，324=+y y ，则y x 444+的值为（）。
A．7B．2131+C．2137+D．5【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。
若花园的BC 边长为x（m），花园的面积为y（m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【例4】已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s，点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度2m/s，连接PQ。
若运动时间为t（s）（2<t<2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC？（2）（2）设△AQP 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）（3）如图②，连接PC，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形，求此时AQP ∆的面积.【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A，分别交x 轴于点B 和点C，点D 是直线AC 上的一个动点。
黄东坡数学培优竞赛新方法(答案)
∴△BDF、△EFC 均为 RT 三角形
例 2 平行四边形的五种判定方法分别是： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边
分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相
等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两 个进行推理．
解： 根据平行四边形的判定， 符合四边形 ABCD 是平行四边形条件的有九种： （1） （2） ； （3） （4） ； （ 5） （6） ； （1） （3 ） ； （2） （ 4） ； （1 ） （5） ； （ 1） （6） ； （2） （5 ） ； （2） （6）共九种． 例 3 熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长 AC 后，证明 AD∥BC，然后再
FD=PF+PD=FC， 即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中， PE=AF 可证， FD=PF-PD=CF， 即 PF-PD+PE=AC=AB．
9 证明： （1）∵ABCD 平行四边形 ∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD 又∵BD=2AD ∴BC=OB 又∵E 是 OC 的中点 ∴BE⊥OC 即 BE⊥AC （2） 由（1）可得△ABE 是直角三角形 又∵G 是 AB 的中点 ∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）
证明：设四边形 ABCD，AC，BD 是对角线，AC 与 BD 交点为 O
过 A 作 AE 垂直 BD，过 C 作 CF 垂直 BD，垂足是 E，F 然后根据对角线平分面积，证明 AE＝CF 再根据"角角边”相等，证明三角形 AEO 与三角形 CFO 全等 从而得到 AO＝CO 同理得到 BO＝DO 则 四边形为平行四边形
数学培优竞赛新方法
数学培优竞赛新方法
数学培优竞赛可以尝试使用以下新方法来提高竞赛成绩：
1. 构建问题解决思维：培养学生解决问题的思维方式，让他们从多个角度思考问题，并寻找不同的解决方法和思路。
这样可以帮助他们在竞赛中迅速分析和解决各种问题。
2. 引入实际应用：将数学知识和实际应用相结合，通过解决真实问题来提高学生的数学思维和解决问题的能力。
这样可以使学生对数学的兴趣更浓厚，并更好地理解和运用数学知识。
3. 提供跨学科的学习机会：将数学与其他学科相结合，鼓励学生在竞赛中运用多学科知识解决问题。
例如，可以结合物理、化学等科学知识来解决数学问题，提高学生的综合能力和创新能力。
4. 通过游戏和竞赛形式来培养学生的数学兴趣：设计一些有趣而具有挑战性的游戏和竞赛项目，激发学生的兴趣和热情，同时使他们能够在竞赛中锻炼和提高自己的数学能力。
5. 引入团队合作学习：将学生分为小组，让他们合作解决问题，并在竞赛中展示他们的成果。
这样可以鼓励学生之间的合作和相互学习，提高他们的团队合作能力和竞争力。
6. 鼓励学生参加国内外数学竞赛：通过参加国内外数学竞赛，学生可以接触到更高水平的数学问题和方法，提高自己的竞赛经验和解题能力。
总之，数学培优竞赛可以通过以上方法来提高学生的数学能力、解决问题的能力和综合素质，帮助他们在竞赛中取得更好的成绩。
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值
第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．（广东省中考题）思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=31，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。
【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法
配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。
【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。
练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第6讲-代数最值
A、B，且使得 SOAB OA OB 3 . （1）用 b 表示 k ；（2）求 OAB 面积的最小值。
（浙江竞赛题）
10.设 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 (x1 2x2 )(x2 x1) 的最大值
为
11.若抛物线 y x2 (k 1)x k 1与 x 轴的交点为 A、B，顶点为 C，则 ABC 的面积最小值为 .
x2
4y2 6xy 11y2
。
）
（太原市竞赛题）
D.3
例 3.（1）设 a、b 为实数，求代数式 a2 ab b2 a 2b 的最小值。（全国初中数学联赛题）
(2)实数 x、y、z 满足 x y z 5 ， xy yz xz 3 ，求 z 的最大值。（全国初中数学联赛题）
思路点拨 对于（1），引入参数设 a2 ab b2 a 2b t ，将等式整理成关于 a 的二次方程 a2 (b 1)a (b2 2b t) 0 ，利用判别式求最小值，对于（2）， x y 5 z ， xy 3 z(x y) 3 z(5 z) z2 5z 3 ，运用韦达定理构造方程。
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 6 讲 代数最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、 产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这 就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;
1.运用配方法求最值 2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值 3.建立函数模型求最值 4.利用基本不等式或不等式分析法求最值 【例题求解】
A、B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值。
初中数学竞赛提分教程
初中数学竞赛提分教程
初中数学竞赛是许多学生和家长都非常关注的问题，想要在比赛中取得好成绩，就需要在平时的学习中多下功夫，积累更多的知识和技巧。
本文将为大家介绍一些初中数学竞赛提分的方法和技巧，希望对大家有所帮助。
一、课前预习
课前预习是提高数学竞赛成绩的重要方法之一。
在课前，学生可以提前预习老师要讲的内容，了解一些高难度的题目，掌握一些求解方法和技巧。
这样可以帮助学生更好地理解和掌握知识点，提高应试能力。
二、做题方法
在做数学竞赛题目时，需要掌握一些做题方法和技巧。
首先，要认真阅读题目，理解题意，弄清楚问题所涉及的概念和知识点。
其次，要多做一些类似的题目，强化对知识点的理解和掌握。
最后，要注重总结和归纳，总结出解题的通用方法和技巧，以便在下次遇到类似的题目时能够更快地解决。
三、记忆方法
数学竞赛中存在大量的公式和定理，需要掌握的知识点也很多。
为了更好地记忆这些知识点，可以采用一些记忆方法和技巧。
比如，可以制作概念表和公式表，每天抽出一些时间进行复习；可以设计一些游戏和小测验来加深记忆；可以利用生动形象的图表和图像来帮助记忆。
四、练习方法
练习是提高数学竞赛成绩的关键。
在练习时，要注重练习量和质量，要坚持练习，不断提高自己的水平。
同时，要注重策略和方法，学会灵活运用知识点和技巧，掌握一些高效的解题方法和技巧。
最后，要进行错误分析和总结，找出自己的差错和不足，及时进行纠正和加强。
以上就是初中数学竞赛提分教程的内容。
希望大家能够认真学习和掌握这些方法和技巧，提高自己的数学水平和应试能力，取得更好的成绩。
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第27讲抛物线与直线形(2)--由动点生成面积问题
第27讲抛物线与直线型（3）——由动点生成面积问题科学家就是为了解决重大的科学问题来到世上，绝不是为了受到别人的提拔和奖励才做研究的，从中学开始，我就自己找困难的几何问题，寻找自己的数学之路。
——丘成桐知识纵横面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。
由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。
解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1）图形的割补；（2）等积变形；（3）等比变化。
例题求解【例1】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（昆明市中考题）思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线1-=x ，当点C 位于的对称轴与线段AB 的交点时，BOC ∆的周长为最小，为此需求出直线AB 的解析式；对于（4）过点p 作y 轴的平行线交AB 解析式；对于（4），过点p 作y 轴的平行线交AB 于D ，则))((21A B P D PBD PAD PAB x x y y S S S --=+=∆∆∆，代入展开整理得关于x 的二次函数。
【例2】 如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），二次函数2x y =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式；（2）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABC ABK S S ∆∆=，求点k 的坐标；（威海市中考题）思路点拨 （1）设k 点坐标为),0(h ，通过图形的分割计算，建立h 的方程；（2）K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手。
数学培优竞赛新方法-第22讲 几何最值
例2第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。
【例2】如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段EF 的最小值（）。
A.24B.4.75C.5D4.8【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm，点P 是BC 边上不与点B、C 重合的任意一点，连接AP，过点P 作PQ⊥AP 交DC 于点Q，设BP 的长为x cm，CQ 的长为y cm.(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当41=y cm 时，求x 的值.例1例3【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q，求AP=BQ 的最小值.【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD 的延长线交于P，求AB·S△PAB 的最小值.图形折叠【例6】在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A、B 重合，N 不与A、C 重合），且MN//BC，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.例4例5例6第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆第17讲直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。
-----庞加莱知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。
讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知ABC∆，︒=BC,6CAC．O是AB的中点，==90∠⊙O与BCAC、分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG= ．（杭州市中考题）思路点拨连OD,BFOD、的长。
BG=，先求出BF【例2】如图，在等腰三角形ABC∆中，O为底边BC的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB 、相切，切点分别为E D 、．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB 、于N M 、．那么2BCCN BM⋅的值等于（ ）A.81B.41C.21D .1 （天津市竞赛题）思路点拨 分别从N M 、点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻BMO ∆与CNO ∆的关系式关键。
【例3】如图，已知直线PA 交⊙O 于B A 、两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C 作PA CD ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若6=+DA DC ，⊙O 的直径为10，求AB 的长度．（2011芜湖市中考题）思路点拨 对于（2），在（1）的基础上，设x DA =，则x CD -=6，由角平分线性质或垂径定理建立x的方程。
【例4】如图，已知⊙O的半径为cm6，射线PM经过点O，A、两点同时从点P出 ，射线PN与⊙O相切于点Q．BcmOP10发，点A以s4的cm/cm/5的速度沿射线PM方向运动，点B以s速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切。
数学培优竞赛新方法-第12讲 统计与概率
第12讲 统计与概率知识纵横统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学。
在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是不量寻在的，而概率正是对随机现象的一种数学的描述，数学钟用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P 表示，计算公式是： 事件发生概率所有可能结果结果该事件发生的所有可能P在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法。
统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性的基础上，而统计推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性。
例题求解【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别为1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别为1，3，4，5，6，8，同时掷这两枚骰子，其朝上的面两数之和为7的概率是【例2】一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于432，则算过关；否则不算过关，现有下列说法;①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是3536；③可以过第四关；④过第五关的概率大于零。
其中，正确说法的个数为（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1【例3】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清，如果用x、y表示这连个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成)，小明记得这11个数字之和是20的整数倍，求小明一次拨对小陈手机号码的概率、【例4】杨华与李红用5张同样规格的硬纸片作拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们与背面朝上均匀后，同时抽出两张。
规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？例4图【例5】一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．简约思维【例6】一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，求蚂蚁不不相撞的概率。
初中数学竞赛提分教程
初中数学竞赛提分教程
初中数学竞赛是检验学生数学能力的重要途径，而如何提高竞赛成绩也成为了学生和家长关注的问题。
本教程将介绍一些提高初中数学竞赛成绩的方法和技巧。
1. 建立数学思维模型
数学思维模型是解决数学问题的基础。
在竞赛中，考生需要快速准确地建立数学思维模型，才能解决各种难题。
因此，我们要加强对数学知识的学习和理解，熟练掌握各种数学方法，以及注重发掘数学问题背后的规律和本质。
2. 熟悉竞赛试题类型
不同类型的竞赛试题有着不同的解题思路和方法，熟悉不同类型的竞赛试题可以帮助考生更好地备战竞赛。
我们要认真阅读历年数学竞赛试题，了解题目的特征和规律，培养发现数学问题本质的能力。
3. 坚持刻意练习
刻意练习是提高数学竞赛成绩的有效方法。
竞赛中的时间压力和难度较高的题目要求考生具备较高的解题速度和准确性，而这需要长时间的练习和积累。
我们要坚持刻意练习，逐步提高解题速度和准确性。
4. 注重错题总结
竞赛中经常出现的错误类型包括口算计算错误、符号转化错误等。
我们要注重对错题进行总结，找出自己的错误原因并进行纠正，防止同样的错误再次出现。
同时，要注意对问题的解法进行总结和归纳，
以便更好地记忆和运用。
以上是初中数学竞赛提分教程的一些方法和技巧，希望能够对学生和家长有所帮助。
初中数学竞赛培优规划教案
初中数学竞赛培优规划教案一、教学目标1. 让学生掌握初中数学竞赛的基本知识点和题型。
2. 培养学生解决数学问题的逻辑思维能力和创新思维能力。
3. 帮助学生制定个性化的数学竞赛学习计划，提高学习效率。
二、教学内容1. 初中数学竞赛的基本知识点和题型。
2. 数学竞赛学习计划的制定方法和步骤。
3. 数学竞赛学习方法的指导和技巧。
三、教学过程1. 导入：介绍初中数学竞赛的意义和价值，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解初中数学竞赛的基本知识点和题型，让学生掌握解题方法。
3. 案例分析：分析典型的数学竞赛题目，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 学习计划：教授学生制定个性化的数学竞赛学习计划，提高学习效率。
5. 学习方法指导：引导学生运用合适的学习方法，提高学习效果。
6. 练习：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学策略1. 采用案例分析法，让学生在实际问题中掌握数学竞赛的知识点和解题方法。
2. 采用引导发现法，引导学生自主探索和学习，提高学生的学习兴趣和能力。
3. 采用分组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
4. 采用激励评价法，激发学生的学习积极性和自信心。
五、教学评价1. 学生能掌握初中数学竞赛的基本知识点和题型。
2. 学生能制定个性化的数学竞赛学习计划，提高学习效率。
3. 学生在数学竞赛中取得优异的成绩。
六、教学资源1. 教材：初中数学竞赛教材。
2. 课件：教学课件。
3. 练习题：初中数学竞赛练习题。
4. 学习方法指导书籍：提供相关书籍供学生参考。
七、教学时间1课时（45分钟）八、课后作业1. 完成教材上的练习题。
2. 制定自己的数学竞赛学习计划。
3. 阅读相关学习方法指导书籍，了解更多的学习方法。
数学培优竞赛新方法(九年级)第8讲抛物线
抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数 y ax2 bx c(a、b、c为常数，a 0) 为 x 的二次函数，其图像为一条抛物
线，与抛物线相关的知识有：
1、 a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置；
2、抛物线关于
x
b 2a
对称，抛物线开口方向、开口大小仅与
a
相关，抛物线在顶点
b 2a
.
(2011 年全国初中数学联赛题）
13、若关于 x 的函数 y (a 3)x2 (4a 1)x 4a 的图像与坐标轴有两个交点，
则 a 的值为
。
正△AOB 的面积为（
（天津市竞赛题）
14、已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线 y 1 x2 上，其中 O 为坐标原点，则 2
）
6
A、 4 3
（2011 年江西省中考题）
10、如图所示，已知点 A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且 t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过 A、B、C 三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 l：y=k（x+1）的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点 Q（1，m），求 PQ+QB 的最小值； （3）若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值．
,
4ac 4a
b2
处取得最值； 3、抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式： y ax2 bx c ；
顶点式： y a(x h)2 k ；
交点式： y a(x x1)(x x2 ) ，这里 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个实根。确定抛物线的解析式
一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。 例题求解
黄东坡数学培优竞赛新方法(部分答案)
例1（1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA 得出△ABM ≌△CDN ，从而得出DN=BM ，AM=CN ；再由三角形中位线得出CN=MN ，BM=DN=2NF ，同时推翻AM=AC 、S △AMB=21S △ABC ．（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD 、三角形ACE 、三角形ABC ）；∴△BDF 、△EFC 均为RT 三角形例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD 是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD ∥BC ，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．证明：延长AC ，在C 上方取N ，A 下方取M ，使AM=AE ，CN=CF ，则由已知可得PM=PN ，易证△PME ≌△PNF ，且△AME ，△CNF 都是等腰三角形． ∴∠M=∠N ，MEP=∠NFP∴∠AEP=∠PFC ∴AD ∥BC ，可证得△PAE ≌△PCF ，得PA=PC ， 再证△PED ≌△PFB ．得PB=PD ． ∴ABCD 为平行四边形．例4（1）先过点E 作EG ∥CD 交AF 的延长线于点G ，由EG ∥CD ，AB ∥CD ，可得，CD ∥GE ，再有BE ∥AG ，那么四边形ABEG 是平行四边形，就可得，AB=GE=CD ，而GE ∥CD ，会出现两对内错角相等，故△EGF ≌△DCF ，即EF=DF ．（2）有AC ⊥DC ，∠ADC=60°，可得CD=21AD=21a ，利用勾股定理，可求AC=a 23，而CF=21AC ，那么再利用勾股定理，又可求DF ，而由（1）知，DE=2DF ，故可求∵AD=a∴CD=a 21，AC=a 23 又AC=2CF ，CF=FG ∴AG=a 3∵四边形ABEG 为平行四边形 ∴BE=AG=a 3(3)∵AC ⊥DC ，∴∠G 为Rt 角， 又∵△EFG ≌△DFC∴S ABED =S 正方形ABEG +S △ACD=a a a a 212321213⨯⨯+⨯=2835a 例5（1）（2）（3）13=2×6=124解：由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即a=c，b=d．则这个四边形一定是平行四边形．568在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF-PD=CF，即PF-PD+PE=AC=AB．9证明：（1）∵ABCD平行四边形∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD又∵BD=2AD∴BC=OB又∵E是OC的中点∴BE⊥OC即BE⊥AC（2）由（1）可得△ABE是直角三角形又∵G是AB的中点∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）E,F,分别是OC,OD,的中点∴EF=1/2CD∴EG=EF（3）∵BG∥EF，BG=EF∴∠AGF=∠ABE=∠GFE又∵EG=EF∴∠GFE=∠FGE∴∠FGE=∠AGF③成立101112解：：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理）；故①错误；②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形，故②正确；证明：∵AF∥CE，BM∥DN∴∠DGA=∠CHB∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC (1)∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC (2)(1)+(2)得∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C∵内角平分和平行∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC∴∠A =∠C同理∠D =∠B∴四边形为平行四边形③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也可以符合等于上下底的一半，故③错误；④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可证明两组对边平行，故④正确；证明：设四边形ABCD，AC，BD是对角线，AC与BD交点为O过A作AE垂直BD，过C作CF垂直BD，垂足是E，F然后根据对角线平分面积，证明AE＝CF再根据"角角边”相等，证明三角形AEO与三角形CFO全等从而得到AO＝CO同理得到BO＝DO则四边形为平行四边形13平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可以构成平行四边形，共C23×C25=[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30个14证明：过D，F，B做EF，AB，CD的平行线，∵BC-EF=DE-AB=AF-CD，∴△MPN为正三角形．∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°．∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°．又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∴分割构成3个平行四边形．∴六个内角都相等．15证明：如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，则四边形ABMC为平行四边形，∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，又∵∠DOC=60°，∴∠DBM=∠DOC=60°即三角形DBM为等边三角形，∴BM=AC=DM在△CDM中，CM+CD＞DM，即AB+CD＞AC．解：过D 作DF ∥BC ，且使DF=BC ，连CF 、EF ，则四边形BDFC 是平行四边形，∴BD=CF ，DA ∥FC ， ∴∠EAD=∠ECF ， ∵AD=CE ， ∴AE=BD=CF ，∴△ADE ≌△CEF （SAS ） ∴ED=EF ，∵ED=BC ，BC=DF ， ∴ED=EF=DF∴△DEF 为等边三角形设∠BAC=x °，因为等腰三角形，则∠ADF=∠ABC=2180︒-︒x ， ∴∠DAE=180°-x °，∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2（180°-x °）=2x °-180°， ∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60° ∴2180︒-︒x +（2x °-180°）=60° ∴x=100． ∴∠BAC=100°（1）因为S △ABC =3，所以S 1+S 2+S 3＜3 （2）结论成立证明：延长OB 到H 使BH=OE ，延长OA 到G 使AG=OD ，连接HG ∵OA+AG=OA+DO=AD=2 OB+BH=OB+OE=BE=2 ∠AOB=60° ∴△GHO 是等边三角形 ∵OG=OH=HG=2 ∴S △GHO=3在HG 上取点M ，使MG=OC ∵HM+MG=HG=2 OC+OF=CF=2 ∴HM=OF在△MGA 和△COD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=OD GA 60COD CO MG G∴△MGA ≌△COD 同理可证：△MHB ≌△FOE ∴S 2=S △MHB ，S 3=S △MGA由图形可知：S △ABO +S △MHB +S △MGA +＜S △GHO ∴S 1+S 2+S 3＜S △GHO =3 即S 1+S 2+S 3＜3例1根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数可得出x 2和y 的值，代入即可得出答案．验证了几个数字，感觉该题目不对 或许应该为：例3 （1）原式=)36(3)23(1)23)(36()23(3)36(+++=+++++263623-=-+-=（2）原式=7*35*37*22*57*35*37*22*5+++--+562)32()32()32()75)(32()75)(32(2-=--=+-=+++-=（3）观察规律，将每一个二次根式分为两个二次根式，寻找抵消规律；原式=21（1-31）+ 21（31-51）+ 21（51-71）+…+21（471-491）=21（1-491）=73；例4 （1）32131313231323=-++=+-+++=（2）分两步同理得：原式=24+ 例51根据根式性质：2x-3≥0；3-2x ≥0联立得 x=23，y=2，所以2x+y=52a-b>0；所以 原式=a-b-a=-b 34因为x 》3/2，所以原式=2x-1-2x+3=2 5运用二次根式的性质和绝对值的性质化简．6 因为 b a 1= 所以原式=2)12(121=--+=-aa7根据合并同类项的法则，由x +2y =50，可以得出x 与y 能合并的所有的可能，即可得出的答案8因为32321-=+=a a ＜1所以原式=33213211)1(1)1(=++--=+-=----aa a a a a9（1）224)22229(=÷-+=（2）233242232312+-=+-++=10（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设1997=a ，1999=b ，2001=c ，从而可将原式化简，继而可得出答案11（1）（2）12先分母有理化13 只能观察无详解14151622)223()12(2-+-=223222-+-= 此处后一个根式不能为322-（小于0）=117由条件得 x<0，所以 原式=1-x （可画数轴辅助思考）18()()71033373103-+⨯-⨯+⨯=76632)2121010(3))37(10(3))37(10))(37(10(32==+-=--=---+=192)33()13(323232632222=-+-=-⨯++-⨯+-⨯=20（4）2122（1）将定义的式子根据立方差公式化简，找出一般规律，再代值计算，寻找抵消规律；（2）已知等式右边为整数，左边的两个二次根式必为整数，故设x-116=m2，x+100=n2，两式相减利用平方差公式进行求解．23该题话费时间颇多，林老师好好研究研究，前半段我感觉思路合适，后面感觉怪怪的 暂时将我思路放上 （不好意思 又撂挑子了^^） 原式=2222)01())1(0())1(0()0(--+--+--+-x x 为两线长度之和： 将（1-x ，0）隐射到三象限 ①由直线距离最短 两线斜率相等：xx -=111得 21=x 代入原式=5 ②由斜率相差最大时，两线长度之和最大 即x=0 或x=1时得 原式=1+2因为10<<x ，所以原式成立 24实数的概念与性质20.证明：（1）、当c=0时，因为 bc=ad 所以 a=0，且d ≠0，（Y 分母不能为零）， y=db，为有理数。
黄东坡数学培优新方法
黄东坡数学培优新方法
黄东坡数学培优新方法是一种基于学生自主学习的教学模式。
这种方法强调学生的学习兴趣和能动性，通过引导学生自行发现问题、独立思考和解决问题的能力，提高他们的数学素养。
在黄东坡数学培优课堂中，老师会为学生提供一些基础知识和学习资源，然后引导学生自行思考，利用所学知识解决问题。
老师会时刻关注学生的学习状态，及时给予指导和帮助。
黄东坡数学培优新方法的优点在于，可以激发学生的学习兴趣和学习潜力，培养学生的创新思维和解决问题的能力，提高他们的自信心和自主学习能力。
此外，这种方法还可以帮助学生在数学领域取得更好的成绩，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。
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