武汉大学_弹塑性力学大题集合
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路径(1):z=s,材料屈服,再增加剪应力dz0,dz=0,
路径(2):当剪应力z=s/3,材料屈服,增加应力z,即dz0,dz=0,z=s/3
路径(3):在加载中z =3z,z=s/2材料屈服,且dz =3dz,
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
3若材料为Mises硬化材料,已知它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为 。且已知其剪切屈服应力为 ,试写出塑性模量和加载面的表达式。
由于横向分布荷载 ,因此基本微分方程变为:
假定坐标圆点的挠度为零,上式的解是 式中的 是待定常数。
使用
则有: , , ,
显然板边的边界条件能自然满足,为满足角点的边界条件,应有
,因此得:
挠度解就是:
3.设矩形薄板的边长分别为 和 ,四边固支,受
垂直于板面的横向均布荷载 作用,设弯曲挠度为
其中 是待定系数。试证明它满足所有边界条件。
代入挠度函数即可
2设变长为a的正方形薄板,四边均固定,受均布横向荷载q作用,求板弯曲内力(应力变分原理)
步骤:对于线弹性力学问题,应变余能与应变相等,本题位移边界位移均为零,因此外力余势能为0.总余势能用内力表示
(1)
所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件。本问题没有力边界,仅需满足平衡方程
设 (2)
应力解
平衡方程: ,几何方程: , ,
物理方程: , ,边界条件
1、如图所示的楔形体受水压力作用,水的容重为,试写出边界条件
解:在x=0上,l=1,m=0,
(x)x=0(1)+(yx)x=00 =y
(xy)x=0(1)+(y)x=00 = 0
(x)x=0=-y(xy)x=0
在斜边上l=cos,m=sin
解:(1)显然满足变形协调方程(2)满足静力边界条件
由应力函数求应力分量
, , (a)
边界条件:在 处, , (b)
(a)代入(b)得: (c)
在x=0的边界(l=1,m= 0)上,力边界条件要求
,
应用圣维南原理近似满足: (d)
联立(c)和(d)得, , (e)
将(e)代入(a)并由 , , 得
,y=0,
4、简支梁源自文库均匀分布荷载作用,梁高度h,跨度2L,试求应力分量和跨中挠度
设σy仅是y的函数,σy=f(y),即 ,得
代入协调方程 得,
对于-L≤x≤L,上面方程都成立,所以 =0, =0, =0
积分得:f(y)=Ay3+By2+Cy+D,f1(y)=Ey3+Fy2+Gy+R,
因此
得:
由σx,σy,是x的偶函数,τxy是x的奇函数得:E=F=G=0
满足平衡方程代入(1)求出总余势能。使用 ,得 代入(2)得弯矩
3一边固定三边自由的薄板,三自由边受均布剪应力作用,不计体力,设位移分量
基于位移变分原理求薄板位移
所设位移满足边界条件 对于平面问题,应变能
,将本构方程代入,并将应变分量用位移分量表示,得
仅取第一项作为近似位移解,代入上式得
板的上边下边右边的力边界条件是 ;
,将所求应力代入方程,求 , ,即得
应力路径求应变
1.已知材料在单轴拉伸时的应力—应变关系为
(a)
若采用Mises等向硬化模型,求该材料在纯剪时 的表达式。
解(1)求塑性模量。使用上式,得塑性应变与应力的关系为
它就是任意加载路径下的等效应力与累积塑性应变的关系,因此有
(b)
上式两边取增量,再代入式 ,得
而塑性应变是
塑性模量应是
(2)加载判别:
当应力状态达到初始屈服后,下一步应力增量是否产生塑性变形,取决于(f/ij)dij是否大于零。
该题各路径下的应力状态偏量均可表示为:
sz=z,sx=sy=z,sz=sz=z,
由于z、dz同号,、dz同号,因此,
(3)使用流动法则求塑性变形
(4)按上述路径进行积分,塑性变形
解:在板的固定端,挠度和转角为零。
显然: 满足
故 满足所有的边界条件。
1用Ritz法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度(位移变分原理)
步骤:(1)设挠度的试验函数w(x) =c1x(lx)+c2x2(l2x2)+…显然,该挠度函数满足位移边界w(0) =0,w(l) = 0。(2)求总势能 仅取位移函数第一项代入,得 (3)求总势能的极值
解:直径不变,则环向应变 ,轴向伸长靠薄壁圆筒变薄实现,个应变分量为
或
将上述应变状态代入Levy-Mises流动理论
在这里,Mises屈服条件可表示为
将偏应力分量之间的关系代入上式,得偏应力为
设平均体积应力为 ,则应力分量为
在本题中 ,因此有
在内水压力作用下, ,最后
2.薄壁圆筒平均半径为R,壁厚为t,轴线方向为z,轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用,材料的弹性模量为E,剪切模量为G,拉伸屈服条件为 。试:写出单位体积弹性应变能的表达式;分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式;使用Mises屈服条件给出:轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时,圆筒处于加载状态。
外力势
总势能 由
,代入位移公式的位移
4正方形薄板,三边固定另一边受均匀压力q作用,应力函数取为
,基于应力辩分原理Ritz法求解(v=0.3)
步骤:有应力函数求得应力
,
满足力边界条件,一定满足平衡方程。由于位移边界已知位移为0,外力余势能为0,总余势能就是应变余能,平面应力与线弹性情况下,应变余能为
,将应变由应力表达得
)
解:(1)根据应力状态求出主应力大小。 ,根据 ,解得主应力大小为分别为 , , ,将以上三个主应力代入 ,即得。
(2)
, ,
塑性体积应变为
(3)不合适,因为岩土材料的体积变形并非与静水压力无关,而且其塑性体积也并不是保持不变的。(个人理解)
2有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒,内半径为r,壁厚为t,若圆筒保持直径不变,只产生轴向伸长,假设材料是不可压缩的,在忽略弹性变形的情况下,试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解:应力状态为 ,根据 =0得出其三个主应力分别为
,
第一不变量 ,第二不变量
单位体积应变能 ,将 , 代入此式即可。
其中 ,化简此式得
(2)Mises屈服条件为 ,代入 即得。
Tresca屈服 ,将 代入即得。
(3)不会,别人的答案。
时加载,反之卸载,上式等于零时中性变载。
3.一处在平面应变状态下( )的理想刚塑性体,其材料的应力应变关系服从Levy-Mises增量理论,即 ,且材料体积是不可压缩的,考察其中的一个微单元体,试证明:
试按以下三种加载路径达到最后应力状态,分别求其对应产生的应变z与z
(1)首先沿z轴加载至z=s,并保持z不变,然后再增加剪应力至z=s/3;
(2)先增加剪应力至z=s/3,并保持z不变,然后再增加拉应力至z=s;
(3)比例加载,按z:z=3:1增加应力至z=s,z=s/3。
解:(1)求塑性模量:
在单轴应力状态下,弹性应变是。
(2)在1、2方向施加剪应力 ,使之处于纯剪状态,使用正交流动法则,则产生的塑性剪应变增量应该是
(c)
对于纯剪的加载情况,加载过程中任意瞬间的应力状态和应力增量分量为如下
对于Mises等向硬化模型,将式 代入式(c),并代入上述分量,得
由于 ,而在加载过程中 ,上式化简得
加上弹性应变后,有
最后可得
2薄壁圆管受拉与扭转作用,材料单拉时的应力应变关系为
试写出挠度表示的各边边界条件:
解:
简支边OC的边界条件是:
自由边AB的边界条件是:
,
两自由边的交点B: 是 点支座的被动反力。
2.如右图所示,矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力,其中A点和C点的集中力向上,B点和D点的集中力向下,四条边均为自由,求板的挠度。
解:板边的边界条件为:
,
,
4个角点的边界条件均为:
xcosyxsin= 0
xycosysin= 0
2、半无限空间体受均布荷载作用
根据问题的对称性,位移应只是z的函数uz=w(z)
体积应变是
代入平衡微分方程
,
应力是 , ,
应用边界条件求待定常数:l=m=0,n=1, ,
边界条件是:zz=0=q得A=q/g,B代表刚度位移,应由位移边界条件确定
3、用应力函数=dxy +bxy求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解(不考虑体积力)。
解:Mises材料的加载面方程可写成
如取内变量为累积塑性应变 ,则上式变为
纯剪状态下的等效应力为
因为
所以
加载面的方程为
4已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示,弹性剪切模量为G,Poisson比为 ,剪切屈服极限为 ,进入强化后满足 。若采用Mises等向硬化模型,试求(1)材料的塑性模量
(2)材料单轴拉伸下的应力应变关系。
上下边界条件: , , ,
将σx,σy,τxy代入得A=-2q/h3,B=0,C=3q/2h,D=-q/2
由对称性,两端边界条件: , ,由圣维南原理,
, ,
将σx,σy,τxy代入得
,K=0,将以上常数代入σx,σy,τxy得出应力解为
, ,
其中, ,
RITZ法
1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示,
(1)其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和:
(2)Tresca和Mises屈服条件重合。
解:(1)
其中 ,上式第一项的第一不变量为0,故是纯剪状态,第二项为静水压力状态,得证。
(2) =0,所以 , 所以
平面应变状态:
2 =2
= = 故屈服条件重合
解:(1)因为
所以
(2)
弹性阶段。
因为 ,所以
由于是单轴拉伸,所以
塑性阶段。
屈服条件
1.岩土材料处于平面应力状态,一点的应力分量为 ,假设 为中主应力,试:(1)使用已知应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式。(2)应用关联流动法则写出塑性应变增量的表达式,并写出塑性体积应变增量。(3)讨论流动关联法则对岩土材料是否合适,并指出为什么?(提示:用主应力表示的Mohr-Coulumb屈服条件为:
路径(2):当剪应力z=s/3,材料屈服,增加应力z,即dz0,dz=0,z=s/3
路径(3):在加载中z =3z,z=s/2材料屈服,且dz =3dz,
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
3若材料为Mises硬化材料,已知它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为 。且已知其剪切屈服应力为 ,试写出塑性模量和加载面的表达式。
由于横向分布荷载 ,因此基本微分方程变为:
假定坐标圆点的挠度为零,上式的解是 式中的 是待定常数。
使用
则有: , , ,
显然板边的边界条件能自然满足,为满足角点的边界条件,应有
,因此得:
挠度解就是:
3.设矩形薄板的边长分别为 和 ,四边固支,受
垂直于板面的横向均布荷载 作用,设弯曲挠度为
其中 是待定系数。试证明它满足所有边界条件。
代入挠度函数即可
2设变长为a的正方形薄板,四边均固定,受均布横向荷载q作用,求板弯曲内力(应力变分原理)
步骤:对于线弹性力学问题,应变余能与应变相等,本题位移边界位移均为零,因此外力余势能为0.总余势能用内力表示
(1)
所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件。本问题没有力边界,仅需满足平衡方程
设 (2)
应力解
平衡方程: ,几何方程: , ,
物理方程: , ,边界条件
1、如图所示的楔形体受水压力作用,水的容重为,试写出边界条件
解:在x=0上,l=1,m=0,
(x)x=0(1)+(yx)x=00 =y
(xy)x=0(1)+(y)x=00 = 0
(x)x=0=-y(xy)x=0
在斜边上l=cos,m=sin
解:(1)显然满足变形协调方程(2)满足静力边界条件
由应力函数求应力分量
, , (a)
边界条件:在 处, , (b)
(a)代入(b)得: (c)
在x=0的边界(l=1,m= 0)上,力边界条件要求
,
应用圣维南原理近似满足: (d)
联立(c)和(d)得, , (e)
将(e)代入(a)并由 , , 得
,y=0,
4、简支梁源自文库均匀分布荷载作用,梁高度h,跨度2L,试求应力分量和跨中挠度
设σy仅是y的函数,σy=f(y),即 ,得
代入协调方程 得,
对于-L≤x≤L,上面方程都成立,所以 =0, =0, =0
积分得:f(y)=Ay3+By2+Cy+D,f1(y)=Ey3+Fy2+Gy+R,
因此
得:
由σx,σy,是x的偶函数,τxy是x的奇函数得:E=F=G=0
满足平衡方程代入(1)求出总余势能。使用 ,得 代入(2)得弯矩
3一边固定三边自由的薄板,三自由边受均布剪应力作用,不计体力,设位移分量
基于位移变分原理求薄板位移
所设位移满足边界条件 对于平面问题,应变能
,将本构方程代入,并将应变分量用位移分量表示,得
仅取第一项作为近似位移解,代入上式得
板的上边下边右边的力边界条件是 ;
,将所求应力代入方程,求 , ,即得
应力路径求应变
1.已知材料在单轴拉伸时的应力—应变关系为
(a)
若采用Mises等向硬化模型,求该材料在纯剪时 的表达式。
解(1)求塑性模量。使用上式,得塑性应变与应力的关系为
它就是任意加载路径下的等效应力与累积塑性应变的关系,因此有
(b)
上式两边取增量,再代入式 ,得
而塑性应变是
塑性模量应是
(2)加载判别:
当应力状态达到初始屈服后,下一步应力增量是否产生塑性变形,取决于(f/ij)dij是否大于零。
该题各路径下的应力状态偏量均可表示为:
sz=z,sx=sy=z,sz=sz=z,
由于z、dz同号,、dz同号,因此,
(3)使用流动法则求塑性变形
(4)按上述路径进行积分,塑性变形
解:在板的固定端,挠度和转角为零。
显然: 满足
故 满足所有的边界条件。
1用Ritz法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度(位移变分原理)
步骤:(1)设挠度的试验函数w(x) =c1x(lx)+c2x2(l2x2)+…显然,该挠度函数满足位移边界w(0) =0,w(l) = 0。(2)求总势能 仅取位移函数第一项代入,得 (3)求总势能的极值
解:直径不变,则环向应变 ,轴向伸长靠薄壁圆筒变薄实现,个应变分量为
或
将上述应变状态代入Levy-Mises流动理论
在这里,Mises屈服条件可表示为
将偏应力分量之间的关系代入上式,得偏应力为
设平均体积应力为 ,则应力分量为
在本题中 ,因此有
在内水压力作用下, ,最后
2.薄壁圆筒平均半径为R,壁厚为t,轴线方向为z,轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用,材料的弹性模量为E,剪切模量为G,拉伸屈服条件为 。试:写出单位体积弹性应变能的表达式;分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式;使用Mises屈服条件给出:轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时,圆筒处于加载状态。
外力势
总势能 由
,代入位移公式的位移
4正方形薄板,三边固定另一边受均匀压力q作用,应力函数取为
,基于应力辩分原理Ritz法求解(v=0.3)
步骤:有应力函数求得应力
,
满足力边界条件,一定满足平衡方程。由于位移边界已知位移为0,外力余势能为0,总余势能就是应变余能,平面应力与线弹性情况下,应变余能为
,将应变由应力表达得
)
解:(1)根据应力状态求出主应力大小。 ,根据 ,解得主应力大小为分别为 , , ,将以上三个主应力代入 ,即得。
(2)
, ,
塑性体积应变为
(3)不合适,因为岩土材料的体积变形并非与静水压力无关,而且其塑性体积也并不是保持不变的。(个人理解)
2有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒,内半径为r,壁厚为t,若圆筒保持直径不变,只产生轴向伸长,假设材料是不可压缩的,在忽略弹性变形的情况下,试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解:应力状态为 ,根据 =0得出其三个主应力分别为
,
第一不变量 ,第二不变量
单位体积应变能 ,将 , 代入此式即可。
其中 ,化简此式得
(2)Mises屈服条件为 ,代入 即得。
Tresca屈服 ,将 代入即得。
(3)不会,别人的答案。
时加载,反之卸载,上式等于零时中性变载。
3.一处在平面应变状态下( )的理想刚塑性体,其材料的应力应变关系服从Levy-Mises增量理论,即 ,且材料体积是不可压缩的,考察其中的一个微单元体,试证明:
试按以下三种加载路径达到最后应力状态,分别求其对应产生的应变z与z
(1)首先沿z轴加载至z=s,并保持z不变,然后再增加剪应力至z=s/3;
(2)先增加剪应力至z=s/3,并保持z不变,然后再增加拉应力至z=s;
(3)比例加载,按z:z=3:1增加应力至z=s,z=s/3。
解:(1)求塑性模量:
在单轴应力状态下,弹性应变是。
(2)在1、2方向施加剪应力 ,使之处于纯剪状态,使用正交流动法则,则产生的塑性剪应变增量应该是
(c)
对于纯剪的加载情况,加载过程中任意瞬间的应力状态和应力增量分量为如下
对于Mises等向硬化模型,将式 代入式(c),并代入上述分量,得
由于 ,而在加载过程中 ,上式化简得
加上弹性应变后,有
最后可得
2薄壁圆管受拉与扭转作用,材料单拉时的应力应变关系为
试写出挠度表示的各边边界条件:
解:
简支边OC的边界条件是:
自由边AB的边界条件是:
,
两自由边的交点B: 是 点支座的被动反力。
2.如右图所示,矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力,其中A点和C点的集中力向上,B点和D点的集中力向下,四条边均为自由,求板的挠度。
解:板边的边界条件为:
,
,
4个角点的边界条件均为:
xcosyxsin= 0
xycosysin= 0
2、半无限空间体受均布荷载作用
根据问题的对称性,位移应只是z的函数uz=w(z)
体积应变是
代入平衡微分方程
,
应力是 , ,
应用边界条件求待定常数:l=m=0,n=1, ,
边界条件是:zz=0=q得A=q/g,B代表刚度位移,应由位移边界条件确定
3、用应力函数=dxy +bxy求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解(不考虑体积力)。
解:Mises材料的加载面方程可写成
如取内变量为累积塑性应变 ,则上式变为
纯剪状态下的等效应力为
因为
所以
加载面的方程为
4已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示,弹性剪切模量为G,Poisson比为 ,剪切屈服极限为 ,进入强化后满足 。若采用Mises等向硬化模型,试求(1)材料的塑性模量
(2)材料单轴拉伸下的应力应变关系。
上下边界条件: , , ,
将σx,σy,τxy代入得A=-2q/h3,B=0,C=3q/2h,D=-q/2
由对称性,两端边界条件: , ,由圣维南原理,
, ,
将σx,σy,τxy代入得
,K=0,将以上常数代入σx,σy,τxy得出应力解为
, ,
其中, ,
RITZ法
1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示,
(1)其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和:
(2)Tresca和Mises屈服条件重合。
解:(1)
其中 ,上式第一项的第一不变量为0,故是纯剪状态,第二项为静水压力状态,得证。
(2) =0,所以 , 所以
平面应变状态:
2 =2
= = 故屈服条件重合
解:(1)因为
所以
(2)
弹性阶段。
因为 ,所以
由于是单轴拉伸,所以
塑性阶段。
屈服条件
1.岩土材料处于平面应力状态,一点的应力分量为 ,假设 为中主应力,试:(1)使用已知应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式。(2)应用关联流动法则写出塑性应变增量的表达式,并写出塑性体积应变增量。(3)讨论流动关联法则对岩土材料是否合适,并指出为什么?(提示:用主应力表示的Mohr-Coulumb屈服条件为: