江苏省海门中学2020—2021学年第一学期阶段检测(二)高三数学试题(word版含答案)

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江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷

江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷（11.21）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(3,4)a =r ，(8,6)b =-r，则向量a r 与b rA ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为030 D ．夹角为060 2．已知24sin 225α=-，,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于 A ．75-B ．15-C ．15D ．753．已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2ax bx c ++的值是A ．正数B ．负数C ．0D ．介于1-与0之间 4．“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2km ，在达到离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟 5．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为2-”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件6．设函数25(1)()1(1)x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()1f x ≥的解集为A ．(][],21,2-∞-UB ．()(),20,2-∞-UC ．(][],20,2-∞-UD ．[][)2,02,-+∞U7．若实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则xy yz zx ++的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且12x x ≠，1λ≠-，121x x λαλ+=+，211x x λβλ+=+，若12()()()()f x f x f f αβ-<-，则 A ．0λ< B ．0λ= C ．01λ<< D ． 1λ>9．图像12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数24xy =-的图像关于A ．直线1x =对称B ．点(1,0)对称C ．直线2x =对称D ．点(2,0)对称10．直线l 与圆221x y +=l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 A ．32 B ．12 C ．1或3 D ．12或32第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.11．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，若tan A 和tan B 是关于x 的方程210x ax a +++=的两实根，则C ∠= ．12．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是．13．已知实数x 、y 满足约束条件10201x ay x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩()a R ∈，目标函数3z x y =+只有当1x y =⎧⎨=⎩时取得最大值，则a 的取值范围是． 14．要得到cos(2)4y x π=-的图像，且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图像即可得到．15．假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列，且满足113a <<及34a =．若定义2n an b =，给出下列命题：①1234,,,b b b b 是一个等比数列；②12b b <；③24b >；④432b >；⑤24256b b ⨯=．其中正确的命题序号为．16．已知函数2()44f x x =--，若0m n <<，且()()f m f n =，则mn 的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。

江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷

南通市海门中学、泗阳中学2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试数学试题及答案

1 2
1,
2
，B
错误；
由集合 A,B，可知 C、D 错误.
故选：A.
r
r
2. 已知向量 a (cos ,sin ) ， b (sin, cos ) ，则 a b （）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出 a b 的坐标，由模的坐标表示计算．
【详解】由已知
其中 M 为绝对星等， m 为目视星等， d 为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星
目视星等为 0.77，绝对星等为 2.19；织女星目视星等为 0.03，绝对星等为 0.5，且牛郎星和
织女星与地球连线的夹角大约为 34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（）（参考数
据：100.906 8.054 ，100.716 5.199 ， cos 34 0.8 ）
（2）求证：函数 f (x) 存在两个零点（记为 x1, x2 ），且 x1x2 1 ．
22. 已知函数 f (x) ex 1 x ． x
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）若对 x 0 ， f (x) ax2 1 成立，求实数 a 的取值范围．
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高三诊断考试试题及答案解析
2022 届高三第二次诊断测试
A. BB1 // 平面 ACD1
B. B1D 平面 ACD1
C. 顶点 B1 到平面 ACD1 的距离为 4 3 3
D. 过顶点 A 可作 2 条不同直线与直线 AC ， AD1 所成的角均为 60°
12.
已知函数
f
x 的定义域 (1,1) ，且
f
(1 ) 1，若 2
f (x)

江苏省海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学

江苏省海门中学高三数学十月月考试卷考试时间：2020年10月31日试卷满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、单选题：本大题共8个小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U R =，集合01x A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}11B x x =-<<，则()U A B =（）A (]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]0,12．函数()()131ln 2f x x x =--的定义域为（）A ．()1,11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,23．在ABC △中，已知45A =︒，30B =︒，2c =a =（）A 62B 62C 31D 314．若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <-B ．0a <c ．1a <D ．3a >-5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，且该图表示的函数模型()0.540sin 13,02390e 14,2x x x f x x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（）小时才可以驾车？（参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL ）饮酒后驾车 20≥，80<醉酒后驾车80≥A ．5B ．6C ．7D ．8 6．已知正实数d c b a ,,,满足1,1=+=+d c b a ，则dabc 11+的最小值是（） A .10 B .9 C .24 D .337．如图，在ABC △中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．2-C ．94-D ．3- 8．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，每题有两个或以上的选项正确，全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选成全不选得0分）9．若函数1x y a b =+-（0a >，且1a ≠）的图像不经过第二象限，则需同时满足（） A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b ≤10．下列不等式成立的是（）A ．若0<<b a ，则22b a >B ．若4=ab ，则4≥+b aC ．若b a >，则22bc ac >D ．若0,0>>>m b a ，则ma mb a b ++< 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++=12．已知函数()1+=x e xx f ，()()⎩⎨⎧>+-≤=0,20,2x a x x x x f x g ，且()01=g ，则x 的方程()()01=--t x g g 实根个数的判断正确的有（）A ．当2-<t 时，方程()()01=--t x g g 没有相异实根B ．当011<<+-t e或2-=t 时，方程()()01=--t x g g 有1个相异实根 C ．当et 111+<<时，方程()()01=--t x g g 有2个相异实根 D ．当e t 111+-<<-或10≤<t 或et 11+=时，方程()()01=--t x g g 有4个相异实根第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题3个小题，每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）13．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos sin θθ和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e i z i π+⋅=+，则z =_______． 14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒．若24m n +=2=________． 15．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中 2.71828e =）则实数m的取值范围是________．四、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分15分）（注意：在试题．．．卷．上作答无．．．．效．）在①()sin sin sin B C A C -=- ②tan tan cos A B a B=+ ③2cos cos cos a A b C c B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b c +的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）问题：已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，________，求b c +的最大值 17．（本小题满分15分）（注意：在．试．题．卷．上作答无效．．．．．）数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且11a n =+．（Ⅰ）求n S ，n a ；（Ⅱ）若n n b a =⋅{}n b 的其前n 项和n T ．18．（本小题满分15分）（注意：在．试题卷．．．上作答无效．．．．．）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为21, l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到21, l l 的距离分别为2千米和5千米，点N 到21, l l 的距离分别为4千米和2.5千米，以12, l l 在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．19．（本小题满分15分（注意：在试题．．．卷．上作答无效．．．．．）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点()1,0A 和点()1,0=1B OC -，，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点． (1)若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； (2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n x x x m n ==--⋅，求的最小值及对应的x 值．20．（本小题满分15分）（注意：在试题．．．卷．上作答无．．．．效．）已知函数()()ln 1f x ax x =-+.（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求正实数．．．a 的最值范围；（Ⅲ）求证：n N +∀∈!ne n <．（e 为自然对数的底数）10月月考数学试卷答案第一部分：选择题（每题5分，共60分.9-12多选题：全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选或全不选得0分)1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．A 9．AD 10．AD 11．ACD 12．AB 7．解：作AO BC ⊥于O 点，由4BA BC ⋅=知，1BO =．法一：建系如图所示，()0,A h ，()1,0B -，()3,0C ，设(),0P x ，则()()(),3,03PA PC x h x x x ⋅=-⋅-=-（其中13x -≤≤）所以当32x =时，PA PC ⋅取得最小值94-．法二：()PA PC PO OA PC PO PC ⋅=+⋅=⋅,只需考虑P 在OC 上时即可，2924PO PC PO PC PO PC ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭（当且仅当P 为OC 中点时取等号） 8．解：()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x ππωωω=++ 33sin cos 3sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当[]0,x π∈时，,333x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦∵()f x 在[]0,π有且仅有3个零点 ∴343πππωπ≤+< 综上：∴81133ω≤< 11．解：对A ，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A 正确；对B ，8112358132154S =+++++++=，故B 错误；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a ++++=．故1352019a a a a ++++是斐波那契数列中的第2020项．对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a ++++=，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上） 13．1由欧拉公式cos sin cos sin 1i i e i e i θπθθππ=+=+=-有：，由()1i e i z i π+⋅=+，所以11iz i i +==-- 所以1z =. 14．12-解析：根据题中的条件可得：22cos542sin182cos18-==︒⋅︒︒sin 3612sin 362-︒==-︒，故答案是：12-．15．(),0-∞ 解析：()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y ym x x x --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭设0y t x =>且1t ≠，设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t '=-+-⋅=-+-， ()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增，当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减，所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<，解得：0m <，故填：(),0-∞．四、解答题16．（15分）解：若选择条件①()sin sin sin B C A C -=-()()sin sin sin A C C A C ⇒+-=- ……………2分2cos sin sin A C C ⇒= ……………6分∵sin 0C >，∴1cos 2A =，∴3A π= ……………15分若选择条件②tan tan A B =+sin sin cos cos A B A B ⇒=+()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+⇒==∵sin 0C >1tan cos A A=⇒=∴3A π= ……………15分若选择条件③2cos cos cos a A b C c B =+2sin cos sin cos sin cos A A B C C B ⇒=+ ()2sin cos sin sin A A B C A ⇒=+=∵sin 0A >，∴1cos 2A =，∴3A π= 由余弦定理可知 2222cos b c bc A a +-=()222434b c bc b c bc ⇒+-=⇒+-=()224332b c b c bc +⎛⎫⇒+-=≤ ⎪⎝⎭()2444b c b c +⇒≤⇒+≤ 当且仅当b c =时等号成立综上()max 4b c += ……………15分 17．（15分）解：（1）当1n =时，12a =，则11a =， ……………2分则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ……………6分当1n =时，11a =适合上式，则21n a n =-， ……………8分（2）由（1）可知，()212nn b n =- ……………10分则()21232212n n T n =⋅+⋅++- ()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-两式相减得()()212222212n n n T n +-=+++--， ……………13分∴()12326n n T n +=-+ ……………15分18.（15分）解（1）依题意可知()()2,5,4,2.5M N ，代入a y x b =+得510202.54a a ba b b ⎧=⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+⎩，所以()1024y x x=≤≤. ……………4分（2）①设10,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（24t ≤≤），曲线()1024y x x =≤≤的导函数'210y x =-，所以曲线()1024y x x =≤≤在P 处切线的斜率为210t-，由点斜式得切线方程为：()21010y x t t t -=--，即21020y x t t=-+， ……………6分令0x =得20y t =，即切线l 的纵截距为20t；令0y =得2x t =，即切线l 的横截距为2t ； ……………8分所以()()()2222204002424f t t t t t t⎛⎫=+=+≤≤ ⎪⎝⎭. ……………10分 ②由于()()22400424f t t t t=+≤≤，而22224004004480t t t t+≥⋅=，当且仅当[]224004102,4t t t =⇒=时等号成立. 所以当10=t l 8045=……………15分19．（15分）解：（1）设()(),001D t t ≤≤，由题易知2222C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22OC OD t ⎛+= ⎝⎭，所以22221121221222OC OD t t t t t ⎛+=++=+=+ ⎝⎭ ()01t ≤≤，所以当22t =2OC OD +的最小值为12，则OC OD +的最小值为22. ………………………………………………………………………………………………7分（2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C x x m BC x x ==+，则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 21224m n x x x x x x x π⎛⎫=-+-=--=+⎪⎝⎭. 因为50,,22444x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦所以，所以当2428x x πππ+==，即时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以m n的最小值为1-8x π=.…………15分20．（15分）解：（Ⅰ）当1a =时，由题意()1,x ∈-+∞()1100xf x x '=-==⇒=所以当0x =时，()()min 00f x f == ……………5分（Ⅱ）由()11f x a x'=-+ 当1a ≥时，()10,11x ∈+，∴()101f x a x'=->+恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00f x f >=恒成立，符合当01a <<时，()()1111ax a a a f x x x x a ---⎛⎫'==- ⎪++⎝⎭，当10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，即()f x 在10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()00f x f <=，不符合综上：1a ≥ ……………10分说明：此间分离变量结合洛必达法则，酌情给分．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞取1x k =，k N +∈，则11ln 1k k⎛⎫+< ⎪⎝⎭，1k =，2，…，n即111111kkk k e e e k k k +⎛⎫⎛⎫+<⇒+<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1k =，2，…，n 上式n 个式子相乘得：1232341123nn n e n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()1!nnn e n +<e < ……………15分。

江苏省南通市海门区2021至2022学年高三上学期学业质量监测数学试卷差答案

2021~2022学年度第一学期期末质量调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2－4＜0}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．若复平面内点(1，－2)对应的复数为z ，则z ＋1z -－i＝A ．45＋25B ．2iC ．－2iD ．23．已知菱形ABCD 的对角线AC ＝2，点P 在另一对角线BD 上，则→AP ·→AC 的值为A ．－2B ．2C ．1D ．4 4．已知a ＝log 328，b ＝π0.02，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b 5．已知函数f (x )＝x 2－a e x有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0，4e 2)B ．[0，4e 2)C ．[0，4e2] D ．(0，4e )6．已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为22，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角为45°，顶点P ，A ，B ，C ，D 在球O 的球面上，则球O 的体积是A ．16πB ．323πC ．8πD ．823π7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被认为服从正态分布．若某物理量做n 次测量，最后结果的误差，X n ~N (0，2n )，则为使|X n |≥14的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为A ．32B ．64C ．128D ．256【附】随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9974．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在抛物线C 上，且满足AF ⊥BF ．设线段AB 的中点到1的距离为d ，则ABd的最小值为A ．322B ． 3C ．22D ．2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

江苏省海门第一中学2020~2021学年第一学期期末测试高一数学一､单项选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{1,3,4,5,7},{31,}A B xx k k ===+∈Z ∣，则A ∩B =（） A. {4,7} B. {1,3,5} C. {1,4,7} D. {5,7}C直接根据交集的定义计算可得；解：{}{}31,,5,2,1,4,7,10,13,B xx k k ==+∈=--Z ∣，{}1,3,4,5,7A =，所以{}1,4,7A B =，故选：C 2. 已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解. 若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立，“x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B. 3. 已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（）A. ()sin 2f x x x =B. ()||sin 2f x x x =C. ()cos 2f x x x =D. ()||cos2f x x x =B利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.4. 已知2225351,3,(3)2a b c -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. b a c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b c a >>D分别利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，即可得正确选项.()21122555522124a -=⎛⎫= ==⎪⎝⎭，()1122333339b ===，()()2511255393c ⎡⎤=-=⎣⎦=-，因为15y x =在()0,∞+单调递增，所以115549<，即a c <，因为9x y =在R 上单调递增，1153<，所以115399<，即c b <，所以a c b <<，即b c a >>故选：D.5. 函数2()cos f x x x =-在区间(,1)k k +上存在零点，其中k ∈Z ，则k 的值为（） A. -2 B. -2或-1 C. -1 D. -1或0D利用零点存在性定理判断选项.当2k =-时，()24cos20f -=->，()11cos10f -=->，并且函数()2cos f x x x =-在区间()2,1--单调递减，所以不存在零点；当1k =-时，()11cos10f -=->，()0cos010f =-=-<，此时区间()1,0-上存在零点；当0k =时，()11cos10f =->，()()010f f <，此时区间()0,1存在零点.故选：D6. 已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A. 1B.C. 1916D.34C由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便． 7. 学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把365(11%)+看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.0137.7834≈：而把365(11%)-看作是每天“落后”率都是1%，一年后是3650.990.0255≈.若“进步”的值是“落后”的10倍，大约经过（）天.(参考数据：lg101 2.0043≈，lg99 1.9956≈)A. 110B. 115C. 120D. 125B设经过x 天“进步”的是“落后”的10倍，根据题意列出方程，解方程即可求解. 设经过x 天“进步”的是“落后”的10倍，则100.99 1.01xx⨯=即 1.01100.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1.010.99lg10lg101log 10 1.01101lg101lg99lg lg 0.9999x ====- 111152.0043 1.99560.0087≈=≈-，所以大约经过115天“进步”的值是“落后”的10倍.故选：B.8. 已知函数321,01,()4log ,1a ax x x x f x x x x x ⎧--<⎪=⎨⎪->⎩，对()()211212210,0x f x x f x x x x x -∀>>>-成立，则实数a 的取值范围为（）A. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B根据题意可得()()1212f x f x x x <，构造函数()()f xg x x=，使函数()g x 在()0,∞+上单调递减，根据分段函数的单调性可得011121114a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解不等式即可求解.对()()211212210,0x f x x f x x x x x -∀>>>-成立，即()()21120x f x x f x -<成立，即()()1212f x f x x x <，()()f xg x x∴=在()0,∞+上单调递减，由()21,01,()4log 1,1a ax x x f x g x x x x ⎧--<≤⎪==⎨⎪->⎩，可得011121114a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤.故选：B 二､多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.9. 已知角,,αβγ，满足αβγπ++=，则下列结论正确的是（） A. sin()sin αβγ+= B. cos()cos βγα+= C. sin sin22αγβ+=D. cossin22αβγ+=AD由诱导公式判断．因为αβγπ++=，所以sin()sin()sin αβπγγ+=-=，()()cos cos cos γβπαα+=-=-，22αβγπ++=，sinsin cos 2222αγπββ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2222αβπγγ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．BC 错，AD 正确．故选：AD ．10. 若函数f (x )的定义域为D ，对于12,x x D ∀∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数f (x )为“凸函数”下列函数是“凸函数”的有（）A. 1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()ln f x x =C. ()f x =D. ()sin ,02f x x x π=<<BCD根据“凸函数”的定义判断．下列函数f (x )的定义域为D ，12,x x D ∀∈，且12x x ≠，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则22121212211()()122()2222x xx x f x f x x x f +⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭=>== ⎪⎝⎭，A 不凸函数；若()ln f x x =，则2121212121212ln ln ()()11ln ln()ln()2222222x x x x x x x x f x f x f x x +++++⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，B 是凸函数；若()f x =()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，只要证<，令1210,10m x n x =+≥=+≥，m n ≠<2m n+<，即证m n <+，这显然成立．即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，C 是凸函数，若()sin ,0,2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则12121212()()sin sin sin 2222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭112212121212sincos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos 222222222222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不妨设1202x x π<<<，则120224x x π<<<，1212sin sin 0,cos cos 02222x x x x-<->，所以1212()()022f x f x x x f ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，D 是凸函数，故选：BCD ．关键点点睛：本题主要考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是用新定义去判断，证明相应的不等式成立即可．证明不等式的方法有：基本不等式、分析法、作差法． 11. 对于实数a ，b ，c ，其中a >b >0，下列不等式式恒成立的有（） A. a c b c +>+ B. ac bc >C. 114a b ab+++ D. 3322a b a b ab ++ACD利用不等式的性质、基本不等式进行判断．由不等式性质A 显然正确；当0c 时，B 不成立，B 错误；由于0a b >>，所以1124a ba b +++>=≥⨯=，C 正确； 332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+>，D 正确．故选：ACD ．方法点睛：本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．证明不等式是否成立，如果不能直接应用不等式的性质，可以用作差法，不等式两边作差后与0比较，也可以用基本不等式进行证明．12. 对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（） A. 把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B. 对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x < C. 对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D. 当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1AC根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x xx x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 1，故D 错误；故选：AC本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；三､填空题：本大题共4小题.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 计算：2log 521(lg5)lg 2lg502⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭___________.45根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得；解：()()22log 5log 5221(lg5)lg 2lg50(lg5)lg10lg5lg5lg1022-⎛⎫+⨯-=+-⨯+- ⎪⎝⎭()()21(lg5)1lg5lg515=+-⨯+-()()2214lg51lg555=+--= 故答案为：4514. 已知角α顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点(sin ,cos )P αα是角α终边上一点且32ππα<<，则2sin cos sin cos αααα-=+___________. 12利用三角函数的定义以及同角三角函数基本关系可计算出tan α的值，再利用化弦为切即可求解.因为点(sin ,cos )P αα是角α终边上一点，所以22sin cos sin cos αααα==+，所以sin tan 1cos ααα==，所以2sin cos 2tan 12111sin cos tan 1112αααααα--⨯-===+++，故答案为：12. 15. 已知定义在R 上的奇函数y =f (x )，当x >0时，()21x f x x =+-，则关于x 的不等式()22()f x f x -<的解集为___________.(,2)(1,)-∞-+∞确定函数的单调性，然后解不等式．2x y =和y x =都是增函数，所以()21x f x x =+-在(0,)+∞上增函数，而02010-+=,即()f x 在[0,)+∞上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,0]-∞是递增，也即在(,)-∞+∞上是增函数，因此由()22()f x f x -<得22x x -<，解得2x <-或1x >．故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞．关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是确定单调性．解题时要注意由奇函数()f x 在(0,)+∞上递增，得()f x 在(,0)-∞上递增，并不能得出()f x 在R 或在(,0)(0,)-∞+∞上递增，但由奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，可得其在R 上是增函数． 16. 若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 9首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->，111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立，所以4a b +的最小值为9．故答案为：9．易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．四､解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤一.17. 已知集合{212}A xa x a =-≤≤+∣，其中a ∈R ，集合{B x y ==∣. （1）当a =1时，求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数a 的取值范围.（1）{13}A B x x ⋃=-≤≤∣，()R {11}A B x x ⋂=-<∣；（2）[3,)+∞.（1）求出集合A 、B ，再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）由题意可得B A ⊆，利用集合的包含关系即可求解.{{}2230{13}B x y x x x x x ===-++≥=-≤≤∣∣∣（1）当a =1时，A ={x |1≤x ≤3}，所以{13}A B x x ⋃=-≤≤∣；R {1A x x =<∣或3}x >，所以()R {11}A B xx ⋂=-≤<∣. （2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B A ⊆，所以21123a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得a ≥3.所以实数a 的取值范围是[3，+∞).18. 在①将函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称：②函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；③当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，其中0,||2πωϕ><，其图象相邻的对称中心之间的距离为2π，___________. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）求函数y =f (x )在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并写出取得最小值时x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.条件选择见解析；（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.（1）由相邻中心距离得周期，从而可得ω，选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得ϕ，选择②，求出6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数，结合诱导公式求得ϕ，选择③，求出()6y f x π=-，代入712x π=，结合正弦函数最大值可得ω，从而得函数解析式；（2）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，求得23x π-的范围，然后由正弦函数性质得最小值．（1）因为函数f (x )=2sin(ωx +φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为2π，所以周期22T π=，即T =π，所以22T πω==.若选择①，因为函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称，所以()2sin 22sin 2126g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象关于y 轴对称，所以62k ππϕπ-=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择②，因为2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以3k πϕπ+=，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择③，2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题设，当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值，所以当722()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，即2()3k k Z πϕπ=-∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以422,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ-=-，即12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．19. 已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.（1）10；（2）74π. （1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算；（2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以sin α=，cos α=sin β=322πβπ<<，所以cos β=.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=+ ⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2=-. 因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=．方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．20. 已知函数()242()log log 2f x x m x =-+.（1）若函数y =f (x )在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为8，求实数m 的值；（2）若函数y =f (x )在(1，2)上有唯一的零点，求实数m 的取值范围. （1）1或-1；（2）(3,)+∞.（1）令2log t x =，则22y t mt =-+，由x 的取值范围求出t 的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值；（2）依题意函数22y t mt =-+在()0,1上有唯一的零点，令()22g t t mt =-+，又()02g =，()13g m =-，对()1g 分三种情况讨论，最后取并集；解：因为()242()log log 2f x x m x =-+()22log log 2x m x =-+222log log 2x m x =-+，令2log t x =，则22y t mt =-+，（1）因为1,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[2,2]t∈-，所以2222224m my t mt t⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭，[2,2]t∈-当02m，即m≥0时，此时当t=-2，即14x=时，y取最大值，即4+2m+2=8，解得m=1，满足；当02m<，即0m<时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值，即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1.（2）因为x∈(1，2)，所以(0,1)t∈，因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且2logt x=在(1，2)是增函数，所以函数22y t mt=-+在(0，1)上有唯一的零点，令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m，①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2，令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足；③当g（1）=3-m>0时，且201,280,mm⎧<<⎪⎨⎪-=⎩此时无解；综上，实数m的取值范围为(3，+∞).二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．21. 如图，现有一块半径为2m，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB上任取一点P(异于A､B)，过点P分别作PC､PD平行于OB､OA，交OA､OB分别于C､D两点，记AOPα∠=.（1）当点P位于何处时，使得平行四边形OCPD的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.（1）点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为833；（2）存在，最大值为23.过P点作OC的垂线，垂足为H，从而可得PH=2sinα，OH=2cosα，43sinPCα=，23sinCHα=，得出23sin2cosOC OH CHαα=-=-.（1）平行四边形OCPD的周长为f(α)83sin3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin26S OC PHπαα⎛⎫=⋅=+-⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解.过P点作OC的垂线，垂足为H，因为OP=2，∠AOP=α，则PH=2sinα，OH=2cosα，2sin43sinsin3PCααπ=，123sin2CH PCα==所以23sin2cosOC OH CHαα=-=，（1）设平行四边形OCPD的周长为f(α)，则43sin83sin43sin()2()4cos4cosf OC PCαααααα=+==833πα⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为点P异于A､B两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为3. （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则()2cos 2sin S OC PH ααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭4sin cos αα=-2sin 2α=26πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD. 22. 已知函数()21()221x f x a =-+为奇函数，其中a 为常数. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程()1()212x f x k ++=在[1,1]-上有解，求实数k 的最大值；（3）若关于x 的不等式()1(21)226x f λλ++≤在[2,2]-恒成立，求实数λ的取值范围. （1）11()212xf x =-+；（2）最大值为14；（3）13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （1）根据奇函数的性质可得(0)0f =，代入解析式求出a =2，再根据()()0f x f x 验证即可求解. （2）令121x t =+，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程转化为2k t t =-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求出2t t -的取值范围即可求解.（3）将不等式转化为1(21)221x λλ-≤++≤，令2x μ=，1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得令()(21)2h u u λλ=++，根据函数的单调性可得11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，解不等式即可求解.（1）因为函数()21()221x f x a =-+为奇函数，且定义域为R ，所以()021(0)0221f a =-=+，解得a =2. 此时11()212x f x =-+，所以1111()()0212212x x f x f x --+=-+-=++，所以函数f (x )为奇函数.所以函数y =f (x )的解析式为11()212x f x =-+. （2）令121x t =+，因为x ∈[-1，1]，所以12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1()212x f x k ++=[-1，1]上有解,()111212122xx k ⇔-++=+在[-1，1]上有解, 2k t t ⇔=-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为221124k t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21,94k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数k 的最大值为14. （3）设12x x <，则()()()()2112121211112202122122121x x x x x x f x f x --=--+=>++++，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数11()212x f x =-+在R 上单调递减，因为1111(1)2126f --=-=+，1(1)6f =-，所以()()111(21)22(21)22666x x f f λλλλ++≤⇔-≤++≤()(1)(21)22(1)x f f f λλ⇔≤++≤-，1(21)221x λλ⇔-≤++≤(*)令2x μ=，则由x ∈[-2，2]，得1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()(21)22(21)2x h u u λλλλ=++=++，则结合题设及(*)，得1,44μ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1()1h u -≤≤，所以11141(4)1hh⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，即21121414(21)21λλλλ+⎧-≤+≤⎪⎨⎪-≤++≤⎩，解得13 210λ-≤≤-，所以实数λ的取值范围为13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.。

江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期阶段检测(二)数学试题

江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.设集合{}2|log 2M x x =<，集合1|82x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（） A.MN =∅ B.M N ⊆ C.{|34}M N x x =-<<D.N M ⊆2.已知复数1z i=-，则z =（）A.1 D.2 3.设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）.现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为（）A. B. C. D.5.现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子.我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动.在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（） A.16 B.13 C.12 D.236.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，点M 是圆上的一动点，则MA MB ⋅的取值范围是（）A.[]1,0-B.[]1,3-C.[]0,3D.[]1,4-7.“白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼”，古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作，诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画，从此也令鹳雀楼名声大作，世人也能领略鹳雀楼之美.鹳雀楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说有鹳雀在此停留.下面是复建的鹳雀楼的示意图，游客（视为一质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则鹳雀楼的高AB 约为（） 1.73≈）A.65米B.74米C.83米D.92米8.已知实数a ，b ，c R ∈，满足ln(2)ln ln 0a b c a b c ==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.c b a >> B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >> 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知双曲线222212x y k k-=，对于k R ∀∈且0k ≠，则下列四个选项中因k 改变而变化的是（）A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程 10.已知函数1()sin 233f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（） A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为1 11.设x ，(0,)y ∈+∞，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（）A.若1P =，则S 有最小值2B.若2S P =，则S 有最小值4C.若21S P P=+，则2S 有最小值2 D.若3S P +=，则P 有最大值1 12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（）A.平面11A D P ⊥平面1A APB.多面体1CDPD 的体积为定值C.1APD △恒为锐角三角形D.直线1D P 与BC 所成的角可能为6π 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.已知数列{}n a 满足0n a >，且11a =，22112n n n n a a a a ++-=（*n N ∈），则n a =___________. 14.某校科学社团研究一种卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为1m ，则该抛物线的焦点到定点的距离为__________m.15.将函数2()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移一个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=___________. 16.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面11B CD 截球O 的截面面积为______.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题①ABC △的面积为26AB AB BC +⋅=-在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，A 为钝角，sin 4A =__________. （1）求边a 的长；（2）求sin 2C 的值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且23a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112n n S b =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：2n T <.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，G 、P 是线段AB 、SD 的中点.（1）证明：//GP 平面SBC ；（2）若3BAD π∠=，2AB SA SB ===，SD =SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）苏果超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价每瓶6元.未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为420（单位：瓶）时，求Y 的期望值.21.（本题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点坐标为()1,0F ，其左右顶点分别为A ，B ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，AC ，BD 交于点T ，求AP AT ⋅的值.22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x =，函数2ln ()(1)x x g x x e =+.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当(0,)x ∈+∞时，证明：当2m ≤时，(1)()mf x g x +≤.江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B解：设AC x =，则2BC x =在Rt ABE △中，2BC BE x ==，∴279BD x =+3tan 30279x x ︒==+∴24.7x =≈ ∴374AB x =≈，选B.8.【答案】A解：令ln ()x f x x =，21ln ()0x f x x -'==，x e =()f x 在(0,)e ，(,)e +∞ ∴max 1()()f x f e e== ln 0c c -<，∴ln 0c c>，∴1c > ln(2)ln 0a b a b=< ∴01b <<，102a <<()f x 在(0,1) ln 2ln ln 2ln ln 2()()a a f b f a a a a a+==+=+ ∴()()f b f a >，∴b a >综上c b a >>，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.【答案】AC 10.【答案】AC11.【答案】AD解：1P =，即1xy =2S x y =+≥=，当且仅当1x y ==时取“=”，A 正确2S P =，即2x y xy +=，即11122x y+=1111()12222222x y S x y x y x y y x ⎛⎫=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22x y y x=，即1x y ==时取“=”，最小值为2，B 错 21S P P=+ 若21()2x y xy xy +=+≥，当且仅当1xy xy =即1xy =即1y x=时取“=” 此时221()4x y x x ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭矛盾，C 错 ∴2S 最小值不能是2. 32x y xy xy xy ++=≥+，∴230xy xy +-≤1)0≤，∴1xy ≤ 即max 1xy =，当且仅当1x y ==时取“=”，D 正确选AD12.【答案】ABD解：对于A ，∵11A D ⊥平面1A AP ，11A D ⊂平面11A D P∴平面11A D P ⊥平面1A AP ，A 正确对于B ，11C DPD P CDD V V --=，∵1CDD S △，P 到平面1CDD 的锤子数学距离均为定值故1C DPD V -为定值，B 正确对于C ，设1A P x =，∴AP =1PD =1AD =此时1AD 最长，考察2221111122cos 022x x x APD AP PD AP PD +++-∠===⋅⋅ 当02x <<时，1cos 0APD ∠<，1APD ∠为锐角，当2x =时，1APD ∠为直角，C 错对于D ，即求1D P 与11A D 所成角11A D P ∠1111tan 1A P A D P A P ∠==∈，3∈，∴11A D P ∠可能为6π，D 正确选：ABD. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.【答案】12n - 14.【答案】1.4415.解：1()2(1cos 2)sin 211cos 2sin 21224f x x x x x x π⎛⎫=⋅-+-=-+-=- ⎪⎝⎭()f x 向左平移4π244x ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭再将每一点的横坐标变为原来锤子数学的2倍，变为()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴1()2g α=142πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∵,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0,42ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭cos 04πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1cos cos cos cos sin sin 44444442424ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】6π解：连接1AC ，则1AC 经过点O 且1AC ⊥平面11B CD由1C 到平面11B CD1OC = 知O 到平面1B CD，且圆O 半径为12∴221266S ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦截面. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：选①（1）1242bc bc == 2b c -=，∴(2)24b b -=，6b =，4c =∵A为钝角，∴1cos 4A ==- 在ABC △中由锤子数学余弦定理得8a ==. （2）在ABC △中由正弦定理得4sin sin sin sin a c C A C C =⇒=⇒= ∴7cos 8C =，7sin 22sin cos 28C C C ===. 18.解：（1）∵{}n a 为等差数列，设公差为d∴4222a a d -==，∴32(2)21n a n n =+-=- ∵112n n Sb =-① 2n ≥时，11112n n S b --=-② ∴11111223n n n n n b b b b b ---⇒=-⇒=①② 在①式中令1n =得123b = ∴{}n b 为等比数列，且首项为23公比为13，∴1212333n n n b -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（2）242(21)33n n n n c n -=-⋅= ∴12312610464233333n n n n n T ---=+++++① 23111264104642333333n n n n n n n T -+---=+++++② -①②得1231141193224444224213333333313n n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++-=+-- 11424244433333n n n n n ++-+=--=- ∴2223n n n T +=-. 19.解：（1）证明：取SC 的中点E ，连接PE ，BE∵G ，P 分别为AB ，SD 的中点，底面ABCD 是菱形 ∴//12BG CD ，//12PE CD ，//BG PE ∴四边形PGBE 为平行四边形∴//GP BE ，∵GP ⊄平面SBC ，BE ⊂平面SBC∴//GP 平面SBC .（2）∵3BAD π∠=，AB AD =，∴ABD △为等边三角形，又∵SAB △为等边三角形，G 为AB 中点∴AB SG ⊥，AB DG ⊥，∵2AB =，∴SG =DG =∴2226SG DG SD +==∴SG DG ⊥，∴SG ⊥底面ABCD分别以图中GB ，GD ，GS 所在的直线为x ，y ，z 轴建立锤子数学空间直角坐标系∴(1,0,0)B，C，S，∴(1,0,SB =，SC =设平面SBC 的一个法向量()1000,,n x y z =，平面SGD 的一个法向量2(1,0,0)n =∴001100000020x n SB n SC x ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩令0x =得01z =，01y =-，∴1(3,1,1)n =-设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ， ∴121215cos |cos |5n n n n θϕ⋅===⋅20.解：（1）最高气温锤子数学低于20的概率为21618190905+== 最高气温位于区间[)20,25的概率为362905= 最高气温不低于25的概率为25742905++= X 的所有可能取值为200，350，5001(200)5P X ==，2(350)5P X ==，2(500)5P X == 六月份X 的分布列如下：（2）①当这天锤子数学最高气温低于20时，利润20062202420440Y =⨯+⨯-⨯=-此时1(40)5P Y =-= ②当这天最高气温位于[)20,25时，利润35067024204560Y =⨯+⨯-⨯=∴2(560)5P Y == ③当这天最高气温不低于25时，利润42064204840Y =⨯-⨯=2(840)5P Y == Y 的分布列如下∴Y 的期望值122()40560840552555E Y =-⨯+⨯+⨯=21.解：（1）由题意知22222192141c a ab b a bc =⎧⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设直线l 的锤子数学方程为(4)y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ，(2,0)A -，(2,0)B ()22222(4)34816123412y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+=⎨+=⎩ ()2222343264120k x k x k +-+-=，212221223234641234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线AC 方程为11(2)2y y x x =++，BD 方程为22(2)2y y x x =-- 联立两直线方程锤子数学得21212222T T x y x x x y ++=⋅-- 而2222143x y +=，∴22222324y x x y +=⋅-- ∴()()()()()()12121222121212222423324444416T T x x x x x x x x k x x k x x x x ++++++=-⋅=-⋅----++⎡⎤⎣⎦ 222222222226412644331443434344366412128163434k k k k k k k k k k k -++++=-⋅=-⋅=-⋅⎡⎤-⋅-+⎢⎥++⎣⎦∴1T x =，∵(6,0)AP =，()3,T AT y =，∴18AP AT ⋅=.22.解：（1）1()f x x'=，1k =，切点(1,0) ∴()f x 在1x =处的锤子数学切线方程为1y x =-.（2）即证：当2m ≤时，2sin ln(1)(1)x m x x e+≤+ 而22sin 2sin (1)(1)ln(1)(1)2ln(1)2ln(1)x x x x e m x x e x x e++-+≥+-+≥-+ 令2(1)()2ln(1)x g x x e +=-+，2(1)2()1x g x e x +'=-+，令()0g x '=得1x =，且当01x <<时，()0g x '<，()g x ；当1x >时，()0g x '>，()g x∴()1)12ln 0g x g ≥=-=故2sin (1)ln(1)x x em x +≥+，证毕！。

江苏省海门高级中学2021届高三上学期阶段检测(一)英语试卷+PDF版含答案

江苏省海门中学2020—2021年度第一学期阶段检测高三英语试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2．答卷前，务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上；3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题卡指定区域作答，在其它位置作答一律无效。

第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.When does the man want to meet Mr.Clark?A.On Wednesday.B.On Thursday.C.On Friday.2.What will the woman do tomorrow?A.Go to the bank.B.Take a trip to California.C.Lend some money to the man.3.What does the boy think of his parents?A.Open-minded.B.Generous.C.Strict.4.What are the speakers mainly talking about?A.Which dress to buy.B.How to choose a dress.C.What to wear to the party.5.Where does the conversation take place?A.At a restaurant.B.At a supermarket.C.At the woman’s house.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

江苏省海门市2022-2023学年高三上学期第二次诊断(期中)测试数学试卷(解析版)

2023届高三第二次诊断测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有－－项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |3x ＜9}，则A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝{x |0＜x ＜2}C ．A ∩B ＝AD ．A ∪B ＝R2．已知向量→a ，→b ，→c ，其中→a 与→b 是相反向量，且→a ＋→c ＝→b ，→a －→c ＝(6，6)，则|→a |＝A ．2B ．22C ．32D ．83．已知函数f (x )x ，x ≤0x －5)，x ＞0，则f (2022)的值是A ．4B ．14C ．8D ．184．如图，由于建筑物AB 的底部B 是不可能到达的，A 为建筑物的最高点，需要测量AB ，先采取如下方法，选择一条水平基线HG ，使得H ，G ，B 三点在一条直线上．在G ，H 两点用测角仪测得A 的仰角为α，β，CD ＝a ，测角仪器的高度是h ，则建筑物AB 的高度为A ．a sin βsin(α－β)＋hB ．a sin αsin(α－β)＋hC ．a sin αsin βsin(α－β)＋hD ．a sin αsin βcos(α－β)＋h所以AB ＝a sin αsin βsin(α－β)＋h ，故答案选C ．5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1＞0(a ，b ∈R ，a ≠0)的解集为{x |x ∈R ，x ≠－b 2a }，则b 4＋44a 有A ．最小值4B ．最小值－4C ．最大值4D ．最大值－4所以a ＞0，且＝0，即b 2＝4a ，6．已知α∈(π2，π)，tan α＝－3，则sin(2α－π4)等于A ．55B ．255C ．210D ．－7210【答案】C7．已知正实数a ，b ，c 满足e c ＋e －2a ＝e a ＋e －c ，b ＝log 23＋log 86，c ＋log 2c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a作出函数y ＝log 2x 与函数y ＝2－x 的图象，如图所示，8．试估算腰长为1，顶角为20°的等腰三角形的底边长所在的区间A ．(14，27)B ．(27，13)C ．(13，25)D ．(25，12)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下面四个命题正确的是A ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|，则z 1―z 1＝z 2―z 2D ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝―z 210．T n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＞0，若a 3a 5a 7＝105，且1a 3a 5＋1a 5a 7＋1a 3a 7＝17，则A ．a 5＝5B ．S 9＝90C ．对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得a m ＝S nD ．一定存在三个正整数m ，n ，k ，当m ＜n ＜k 时，2a m ，2a n ，2ak 三个数依次成等差数列11．已知定义在R上的函数f(x)＝cosωx(ω＞0)在区间(－π3，0)上是增函数，则A．f(|x|)的最小正周期为πωB．满足条件的整数ω的最大值为3C．函数f(x)＝cosωx(ω＞0)的图像向右平移π3单位后得到奇函数g(x)的图像，则ω的值为3 2D．函数g(x)＝f(x)＋|f(x)|在(－π2，0)上有无数个零点12．在△ABC中，AB＝22，BC＝4，AC＝210，M是BC的中点，则A．线段AM的长度为25B．→BC＝－16AM·→C．∠AMB＋∠ACB＝π4D．在线段AB的延长线上存在点P，使得∠CPM的最大值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)＝2x－12x＋1，则f(2)＋f(－2)＝．【答案】014．试写出一个无穷等比数列{a n }，同时满足：(1)a 4＝1；(2)数列{a n }单调递减；(3)数列{a n }不具有单调性，则当n ∈N *时，a n ＝．【答案】(－12)n －415．在△ABC 中(角A 为最大内角，a ，b ，c 为∠A 、∠B 、∠C 所对的边)和△A 1B 1C 1中，若sin A ＝cos A 1，sin B ＝cos B 1，sin C ＝cos C 1，则45S △ABC a 2－b 2－c 2＝．16．已知函数f (x )e x ，0＜x ＜1ln x ，x ≥1的图像与直线l 1：y ＝1sin 2α交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＜x 2，与直线l 1：y ＝12cos 2α交于两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 3＜x 4，则x 1x 2＋x 3x 4的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合A ＝{x |log 4x 24×log 2x 8≤3}，B ＝{x |2x －a x ＋1＞1}．(1)求集合A ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】18．(12分)已知等差数列{a n}前n项和为S n，S4＝4S2，a2n＝2a n＋1(n∈N*)；数列{b n}是等比数列，且b1＝2，4b2，2b3，b4成等差数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若数列{(－1)n a n b n}的前n项和为T n，求9T n＋6n×(－2)n＋1的表达式．【解析】19．(12分)信息1：某同学用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：ωx ＋φ0π2π3π22πx16A sin(ωx ＋φ)00－32信息2：如图，A 、C 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x 轴的两个交点，B 、D 分别为函数图象的最高点和最低点，且BC ⊥CD ．(1)根据以上两则信息(1)和(2)，直接写出函数f (x )的解析式；(2)求g (x )＝f (x ) f (x ＋12)的单调增区间，以及当x ∈[0，14]时函数g (x )的值域．【解析】所以g (x )的值域为[－318，3316]．20．(12分)在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD ＝BD ，记λ＝BD CD．(1)当λ＝13，∠ADB ＝π3，求AB AC；(2)若tan ∠BAC ＝2tan B ，求λ的值．【解析】21．(12分)已知函数f(x)＝a e x－e1－a，g(x)＝ln(x＋1)，a∈R．(1)求函数g(x)在x＝0处的切线方程；(2)关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【解析】所以函数g(x)在x＝0处的切线方程为y＝x，22．(12分)已知函数f(x)＝a e x－sin x，x∈(0，π2)且f(x)存在极值(a∈R)．(1)求a的取值范围；(2)若存在x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＜2ln1a．【解析】(2)由f(x1)＝f(x2)，可得a e x1－sin x1＝a e x2－sin x2，不妨设0＜x1＜x2，。

江苏省南通市海门中学2020-2021学年高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)

四､解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.设，，或，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】求解出集合；（1）根据交集定义直接求得结果；（2）根据补集定义分别求得的补集，根据交集定义求得结果.
【详解】由题意得：或
（1）
（2）或，
故选：D
【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
7.已知 , ,且 ,则的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为 ,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.
【详解】
当且仅当 ,取等号,即 ,结合 ,
可得时,取得最小值．
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算和补集运算，属于基础题.
18.设关于的不等式的解集为，不等式的解集为 .
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将，代入求解不等式即可；
（2）根据，分为，和解不等式，利用子集关系，即可求实数的取值范围.
（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得 .
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
故选:A.
【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

2020-2021学年江苏省南通市海门市高三(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南通市海门市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣18．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、多项选择题（共4小题）.9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8三、填空题（共4小题）.13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题（共6小题）.17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴m≥2；∴m的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）解：∵Z＝（1+2i）（2﹣i）＝2﹣i+4i﹣2i2＝4+3i，∴，则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（4，﹣3），故选：D．3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，推不出lnm＜lnn，故“m2＜n2”是“lnm＜lnn”的必要不充分条件．故选：B．4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．解：南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n＝＝56，选派的三人中少有1名女医生包含的基本事件个数m＝＝46，∴选派的三人中少有1名女医生的概率为P＝＝＝．故选：A．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．8解：中，T r+1＝＝，∵二次式展开式中x7项的系数为15，由2n﹣3r＝7，得n＝，∴＝15，解得r＝1，∴n＝＝5．故选：A．6．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．【分析】通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．解：cos＜，＞＝＝＝＝．故选：C．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由导数值等于2列式求得a值．解：∵f（x）＝x2e ax+1﹣ax，∴f′（x）＝2xe ax+1+ax2e ax+1﹣a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，∴f′（1）＝2e a+1+ae a+1﹣a＝2，即（2+a）e a+1＝2+a，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故选：A．8．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】由已知可得a＞0，c＜0，利用lna＜a，可得，构造函数h（x）＝，即可比较a，b大小．解：因为，则a＞0，c＜0，对于函数f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴lna＜a，即，∴，令函数h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的图像如下：∴a＜b，综上：a＞b＞c，故选：D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点【分析】容易看出f（x）是奇函数，从而得出f（x）的图象关于（0，0）对称，从而判断选项A错误；容易判断f（x）是R上的增函数，从而判断选项B正确，并可求出f（x）的值域，并判断选项C正确；可得出g（x）＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而判断选项D正确．解：对于A：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，从而判断选项A错误；对于B：x＞0时，f（x）＝是增函数；x＜0时，f（x）＝是增函数，∴f（x）在R上是增函数，∴若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），选项B正确；对于C：x＞0，x趋向正无穷时，可得出f（x）趋向1；x＜0，x趋向负无穷时，f（x）趋向﹣1，从而得出f（x）的值域为（﹣1，1），选项C正确；对于D：g（x）＝f（x）﹣x＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而得出g（x）只有一个零点，选项D正确．故选：BCD．10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件【分析】根据该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），可得μ＝200，σ＝，结合由正态分布函数的对称性即可求出所求．解：因为N（200，224），所以μ＝200，σ＝≈14.97，故μ+σ＝214.97，μ+2σ＝229.94，μ﹣σ＝185.03，μ﹣2σ＝170.06，故P（170.06＜Z＜229.94）＝0.9544，P（185.03＜Z＜214.97）＝0.6826，由正态分布函数的对称性可知A选项应为P（185.03＜Z＜200）＝0.3413，故A错；P（200≤Z＜229.94）＝0.4772，故B正确；P（185.03＜Z＜229.94）＝P（185.03＜Z＜200）+P（200＜Z＜229.94）＝0.3413+0.4772＝0.8185，故C错；由C可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为10000×0.8185＝8185件，故D正确．故选：BD．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，∴ω＝4，f（x）＝sin（4x+φ）．∵直线x＝﹣是其中一条对称轴，∴4×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（4x﹣）．故函数f（x）的最小正周期为＝，故A正确；当x∈[﹣，]，4x﹣∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故C正确；将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x ﹣）的图象；再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D 错误，故选：AC．12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8【分析】利用基本不等式的性质分别进行求解即可．解：∵≥2＝，即≥4，即ab≥4，当且仅当＝，即b＝4a时取等号，则ab的最小值为4，故B正确，设t＝ab，则t≥4，则＝t+在[4，+∞）上为增函数，则最小值为4+＝，故A错误，a+4b≥2≥2＝8，第一个等号当a＝4b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号不能同时取得，则a+4b＞8，故C错误，4a+b≥2≥2＝8，第一个等号当4a＝b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号能同时取得，则a+4b≥8成立，即4a+b的最小值是8，故D正确，故选：BD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝2021．【分析】利用题中的恒等式，分别取n＝1，2，3，…，通过列举找到数列的规律，利用规律求解即可．解：因为a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，所以当n＝1时，a1+a2＝3，解得a2＝2，当n＝2时，a2+a3＝5，解得a3＝3，当n＝3时，a3+a4＝7，解得a3＝4，…以此类推，可得a n＝n，故a2021＝2021．故答案为：2021．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝2．【分析】利用恒等式以及奇函数的定义可以求出f（x）的周期为4，再利用恒等式可得f （1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，将所求的式子利用周期进行求解即可得到答案．解：因为足f（1﹣x）＝f（1+x），所以有f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，故在一个周期内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝2．故答案为：2．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝4．【分析】由椭圆和双曲线的定义可求得|AF1|和|AF2|，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，连接AF2，可推出AF2⊥AF1，再结合勾股定理，即可得解．解：由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|＝2a，由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2m，∴|AF1|＝a+m，|AF2|＝a﹣m，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，则OB垂直平分线段AF1，连接AF2，∵O为线段F1F2的中点，∴AF2∥OB，∴AF2⊥AF1，∴，即（a+m）2+（a﹣m）2＝4c2，化简得，a2+m2＝2c2，∴＝2，即＝2，∴＝2×2＝4．故答案为：4．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为45π．【分析】由已知证明AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，求得AP，PC1，AC1，由AP⊥PC1，得z＝t+，可得，写出三角形APC1的面积，利用基本不等式求最值，得到对应的AP，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，得到外接球的半径，代入球的表面积公式得结论．解：由堑堵的定义可知，△ABC为直角三角形，故BC＝＝4，由已知可得，平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，而AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C，而PC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥PC1，又PC⊥PC1，AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面APC，∴PC1⊥平面APC，于是AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，∴AP＝，＝，，由AP⊥PC1，得9+z2＝25+t2+16+（z﹣t）2，整理得z＝t+，∴，则AP•PC1＝＝2≥2＝18，当且仅当，即t＝2时，△APC1的面积取得最小值为18，此时AP＝，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，故所求外接球的表面积S＝4π×＝45π．故答案为：45π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．【分析】本题第（1）题先令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝，再利用公式b n＝即可计算出数列{b n}的通项公式，再计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝，∴数列{b n}是常数列，即b n＝，故a n＝，n∈N*．（2）由（1）知，，∴T n＝++…+＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝[﹣]＝﹣＝．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可求出cos∠ABD＝，再利用余弦定理即可求出BD；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理可得（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，再利用基本不等式得（BC+CD）2≤4BD2，结合BD的值即可求出△BCD周长的最大值．解：（1）在△ABD中，由正弦定理得：＝＝2cos∠ABD，∴cos∠ABD＝，∴cos∠ABD＝＝＝，即：BD2﹣8BD+15＝0，解得：BD＝3或5，当BD＝3时，BD＝AD＝3，∴∠ABD＝∠BAD，∠ADB＝2∠ABD＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ADB＝90°，△ABD为等腰直角三角形，不符合题意，舍去，∴BD＝5；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理得：cos∠BCD＝＝，∴BC2+CD2﹣BD2＝BC×CD，∴（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，由基本不等式得：，∴（BC+CD）2≤，∴，∴（BC+CD）2≤4BD2，∵BD＝5，∴BC+CD≤10，即5＜BC+CD≤10，所以10＜BC+CD+BD≤15．所以△BCD周长的最大值为：15．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，运用体积公式求解即可得出a的值．解：（I）在图1中，因为AB＝BC＝＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O＝AB＝a，∴平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，V＝＝a＝a3，由V＝a3＝36，得出a＝6．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）【分析】（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2），由此能求出结果．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②X1有可能取为0，1，3，分别求出相应的概率，求出EX1，再由X n的期望值EX n＝nEX1，能求出结果．解：（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2）＝+＝．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝2×[]＝，P（X＝2）＝+++＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝2×[+]＝，P（X＝6）＝＝．故X的分布列如下图所示：X012346P②X1有可能取为0，1，3，P（X1＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（X1＝1）＝＝，P（X1＝3）＝＝，∴EX1＝＝，设“虎队”n轮得分之和为X n，则X n的期望值EX n＝nEX1＝．21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，然后再利用导函数的正负研究函数的单调性即可；（2）构造，由条件得到F（x）在[0，+∞）上单调递增，故F'（0）≥0，求出a≤1，再通过a≤1证明F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，从而得到a的取值范围．解：（1）函数，故，当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令，当时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增；（2）对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），下证充分性，当a≤1时，，令，则，令，则h′（x）＝x﹣sin x≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．【分析】（1）根据题意可以直接设出抛物线的切线方程，进而可以直接解出；（2）利用直线的倾斜角和斜率的关系，可以直接证明．解：（1）设M（x0，y0），故切线l的方程为y0y＝2p⋅，即px﹣y0y+px0＝0，故l的方程为x﹣2y+2＝0时，，∴x0＝2，y0＝2，p＝1，抛物线方程为y2＝2x．（2）证明：当l不垂直于x轴时，设l与x轴的夹角为θ，∴|FM与l夹角设为α，k PM＝，∴|∴tanθ＝tanα，θ＝α．。

江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题

海门第一中学2020～2021学年高三年级第一学期期末考试数学一､单项选择题1. 设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =（）A. {|0}x x ≤B. {|12}x x ≤<C. {|01}x x ≤≤D. {|0x x ≤或12}x ≤<D先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果.2{|0}(,0][1,)M x x x =-≥=-∞+∞ (,0][1,2)MN ∴=-∞故选：D本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知()2i i 2iz +=-，则z =（）A. 3B. 2C. 1D.12C先根据复数除法法则化简，再根据复数模的定义求结果.()()22i i 2i i43i 43i 2i5555z ++-+====-+-||1z ∴==故选：C本题考查复数除法运算、复数的模，考查基本求解能力，属基础题.3. 已知向量()31,3,,3a b λ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为（） A. 6πB.4π C.3π D.23π B由已知a b ⊥得λ=b ，然后由两个向量的夹角公式进行计算即可.向量()31,3,,a b λ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，若a b ⊥，则30a b=-+λ⋅=，即λ=()()()31,33,12,4a b +=-+=，则3a b +与a的夹角θ的余弦2,41,32cos 2201003231a b aa b aθ⋅-==⋅⨯+=+=，又夹角[]0,θπ∈，故夹角为4π故选：B 本题考查两个向量垂直的坐标公式的应用，考查两个向量夹角的计算，属于基础题. 4. 函数ln |1|()|1|x f x x +=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.A由()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ；当10x -<<时，ln |1|0x +<，所以()0f x <，排除B. 设ln ||()||x g x x =，因为()()g x g x =-，所以()g x 的图象关于y 轴对称.所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ；当10x -<<时，ln |1|0x +<，所以()0f x <，排除B .故选：A .本题主要考查了利用函数解析式求解图像的问题，解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.属于较易题5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B. 春分和秋分两个节气的晷长相同C. 立冬的晷长为一丈五寸D. 立春的晷长比立秋的晷长短 D由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，可求出d ，利用等差数列知识即可判断各选项.由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题. 6. 在ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++>，那么ABC 的形状为（） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形A结合A B C π++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ->，即cos cos 0B A <，又A ，(0,)B π∈，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解.解：A B C π++=，cos(2)cos B C C ∴++()cos cos[()]B B C B A π=+++-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos()cos()B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A =---+ 2cos cos 0B A =->，cos cos 0B A ∴<，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B π∈，cos B ∴与cos A 一正一负，ABC ∴为钝角三角形．故选：A.本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.7. 已知函数()f x 定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意12(4,0)x x ≠∈-，都有2121()()0f x f x x x ->-；②()(4)f x f x =-+；③(4)y f x =+为偶函数，则（）A. (2019)(15)(2)f f f >>B. (15)(2)(2019)f f f >>C. (2)(15)(2019)f f f >>D. (2)(2019)(15)f f f >>B由①可得()f x 在(4,0)-单调递增，由②可得()f x 周期为8T =，由③可得函数()f x 对称轴是4x =，结合以上性质既可以比较(2)(15)(2019)f f f 、、的大小关系. 由①对任意12(4,0)x x ≠∈-，都有2121()()0f x f x x x ->-，可得()f x 在(4,0)-单调递增，由②()(4)f x f x =-+，可得(4)(8)()f x f x f x +=-+=-，所以(8)()f x f x += 即函数()f x 周期为8T =由③(4)y f x =+为偶函数，可得函数()f x 对称轴是4x =，所以(2)(6)(2)f f f ==-，(15)(1)f f =-，(2019)(3)(5)(3)f f f f ===-，因为()f x 在(4,0)-单调递增，且123->->-，所以(15)(2)(2019)f f f >>故选：B本题主要考查了抽象函数的应用，涉及函数的单调性，周期性和对称性，属于中档题.8. 直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（）A. 2B.12C. ln2e D. ()ln 2eC由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值.设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k -=，则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k -=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2eb =-=.故选：C.本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题. 二､多项选择题9. 将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（）A.23B. 1C.56D. 2ABC根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w 的取值范围，即可求解.由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin()12w y g x wx π==-的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则满足1222122w w w πππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605w <≤，所以实数w 的可能的取值为25,1,36.故选：ABC本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 10. （多选题）下列命题中正确的是（） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误，然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确，再然后可通过取12x =判断出C 错误，最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项：当(0,)x ∈+∞时，22133xxx ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即23x x <恒成立，A 错误；B 项：当(0,1)x ∈时，2log 0x <且3log 0x <，因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>，所以23log log x x <恒成立，B 正确；C 项：当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 1x =，此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；D 项：由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确，故选：BD.关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.11. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a n b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（）A. 1058b b =B. {}n b 是等比数列C. 130105a b =D. 357246209193a a a a a a ++=++BD由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，求出1629d =，再证明数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；1058b b ≠，A 选项错误；2113052105a b =⨯>，C 选项错误；357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=， 2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222dd b b ==≠， 1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=， 51162094542929a a d =+=+⨯=，所以357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确；故选：BD.12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（）A. 当0x >时，()()1xf x e x -=--B. 函数()f x 有3个零点C. ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D. 12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< BCD利用函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x e x =+，求出()f x 在R 上的解析式，判断A 错；由A 分别令()0f x =，解出零点，判断B 对；由A 令()0f x <，求出解集，判断C 对；当0x <时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R ∀∈，()()122f x f x -<，即证明()f x 最大值与最小值的差的绝对值小于2，D 对．对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11x xf x f x e x e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，对于B ，当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x e x -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对；对于C ，当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x e x -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；对于D ，当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()2x f x e x '=+，由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20xf x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011x f x e x e =+<+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x e x =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点， ∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1e e --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．三､填空题13. 已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-⎪⎝⎭=________. 13- 令π6αβ+=，再利用二倍角余弦公式求结果.令π6αβ+=，则sin 3β=， ()2π2πcos 2cos[2()]cos cos 23362παββπβ⎛⎫∴-=--==-- ⎪⎝⎭2112sin 12133β=-=⨯-=-故答案为：13-本题考查二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=__________. 10由等比数列的性质可得110293847569a a a a a a a a a a =====，再利用对数的性质可得结果解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，所以110293847569a a a a a a a a a a =====，所以3132310312310log log log log ()a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅31102956log ()a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 53log 910==故答案为：1015. 已知2x >，0y >且满足2216x y ⋅=，则222x y+-的最小值为__________. 4由指数的运算得出4x y =-，再由()2224211x y y +=---+结合二次函数的性质得出最值. 由422x y +=可得4x y +=，即4x y =-()2222244422111x y y y y +=+=≥=----+ 故答案为：416. 函数()21,1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩是单调函数.①a 的取值范围是_____；②若()f x 的值域是R ，且方程()()ln f x x m =+没有实根，则m 的取值范围是_____. (1). (]0,2 (2). (2e -∞①分析出函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，从而可知函数()f x 为R 上的增函数，可得出关于实数a 的不等式组，可解出实数a 的取值范围；②根据函数()f x 的值域为R 可求得2a =，利用导数求出当直线2y x =与函数()()ln g x x m =+的图象相切时实数m 的值，数形结合可得出实数m 的取值范围.①当1≥x 时，()1f x x x =+，()2221110x f x x x-'=-=≥，所以，函数()f x 在[)1,+∞上增函数，由于函数()f x 在R 上为单调函数，则该函数在R 上为增函数，所以()012a a f >⎧⎨≤=⎩，解得02a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,2；②当1≥x 时，函数()1f x x x=+单调递增，此时，()()12f x f ≥=，所以，函数()f x ax =在(),1-∞上的值域应包含(),2-∞，则0a >. 当1x <时，()f x ax a =<，由题意可得()(),2,a -∞⊆-∞，可得2a ≥. 由①可知，02a <≤，2a ∴=. 设()()ln g x x m =+，则()1g x x m'=+. 设直线2y x =与曲线()y g x =的图象相切于点()(),ln t t m +，所以，()12ln 2t m t m t⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，解得1ln 221ln 22t m ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 由图象可知，当1ln 2ln 22m e +<=，直线2y x =与函数()()ln g x x m =+的图象没有公共点.故答案为：(]0,2；(2e -∞.方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 四､解答题17. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A (1，3)，B (2，-2)，C (4， 1). （1）若3,AB CD =求点D 的坐标;（2）设实数k 满足(2)4k AB OC OC +⋅=，求实数k 的值.（1）132,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）30（1）设(),D x y ，根据3AB CD =，即可得到方程组，解得即可；（2）首先求出OC 、2k AB OC +的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算计算可得；解：（1）因为()1,3A 、()2,2B -、()4,1C所以()1,5AB =-，设(),D x y ，所以()4,y 1CD x =-- 因为3AB CD =所以()()()1,534,1312,33x y x y -=--=--所以3121335x y -=⎧⎨-=-⎩解得13323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以D 点的坐标为132,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()4,1OC =，()()()21,524,18,52k AB OC k k k +=-+=+-+ 因为(2)4k AB OC OC +⋅=，所以()()48524k k ++-+=解得30k = 本题考查平面向量相等及平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题. 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．（1）3A π=；（2）sin 4C =（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. （1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C =4因为sin 2sin 2sin 02B C A C =-=->所以sin 4C >，故sin 4C =. （2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.19. 从条件①()21n n S n a =+()2n a n =≥，③0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，________．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．若选择①，6k =；若选择②，3k =；若选择③，6k =. 若选择①，利用11n n n a S S ++=-可得11n na a n n +=+，可得n a n =，再根据等比中项列方程解得k 即可；若选择②，根据()12n n n a S S n -=-=≥可得1=，可得n =，21n a n =-，再根据等比中项列方程解得k 即可；若选择③，利用11n n n a S S ++=-可得()112n n a a n --=≥，n a n =，再根据等比中项列方程解得k 即可. 若选择①，因为()21n n S n a =+，*n N ∈，所以()1122n n S n a ++=+，*n N ∈，两式相减得()()11221n n n a n a n a ++-=++，整理得()11n n na n a +=+．即11n na a n n+=+，*n N ∈．所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列．111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =）所以k a k =，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以()()2232k k k ++=，所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍），所以6k =．若选择②，()2n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以11a ==n =，2n S n =，∴121n n n a S S n -=-=-()2n ≥，又1n =时，11a =也满足上式，所以21n a n =-.因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()22221k k +=-，∴3k =或13k =-，又*k N ∈，∴3k =．若选择③，因为()2*2n n n a a S n N +=∈，所以()211122n n n a a S n ---+=≥，两式相减得()221112222n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴()112n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()2232k k k ++=， ∴6k =或1k =-，又*k N ∈，∴6k =．本题考查了根据n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题.20. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（1）()163601y m m m =--≥+；（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. （1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解. （2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. （1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（2）当0m ≥时，10m +>，16(181)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.21. 已知函数2()210g x ax ax b a =-++>（）在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．(1)求a ，b 的值；(2)若存在[]3,4x ∈，()227g x m tm <-+对任意的[]0,5t ∈都成立；求m 的取值范围；(3)设()()g x f x x=，若不等式(2)20x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围． (1)10a b ==，；(2) ()3,1,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；(3) (],1-∞；(1)利用二次函数的性质,即可求出a ，b 的值;(2)题目可转化为：()()m n 2i 273m tm g x g -+=>对任意的[]0,5t ∈都成立，再利用变换主元的方法，把t 看作自变量，m 看作参数，即可求解.(3)由(1)得出了函数解析式, 令12(2)2x t t =≤≤，再分离参数k ，即可求解.(1)22()21(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++- ∵0a >，∴()g x 在[]2,3上单调递增,(2)1111(3)496140g b a g a a b b =+==⎧⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩ (2)由(1)得：2()21g x x x =-+，当[]3,4x ∈时，()()min 43g x g ==又∵存在[]3,4x ∈，()227g x m tm <-+对任意的[]0,5t ∈都成立， ∴()m 2in 427g x m tm =<-+对任意的[]0,5t ∈都成立即2230mt m -++>对任意的[]0,5t ∈都成立，其中t 看作自变量，m 看作参数，即222305230m m m ⎧+>⎨-++>⎩，解得：()3,1,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ （3）2()211()2g x x x f x x x x x -+===+- 11(2)20222022222x x x x x xx xf k k k ∴-⋅≥⇔+--⋅≥⇔⋅≤+- 令12(2)2xt t =≤≤则1122222x x x k k t t t ⋅≤+-⇔⋅≤+-2121k t t ∴≤+-,因为不等式(2)20x x f k -⋅≥在区间[1,1]-上有解 max 212(1)k t t ∴≤+-，又221211(1)t t t+-=-而1112222t t≤≤⇒≤≤max 212(1)1t t ∴+-=1k ∴≤,即实数k 的取值范围是(],1-∞本题考查二次函数的性质、部分成立问题、变换主元思想及换元法，属于中档题. 22. 已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （1）求函数()()()F x f x g x =+的极值；（2）若不等式sin ()2cos xg x x≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.(1)答案见解析；(2)1[,)3+∞.试题分析：（1）对函数求导得到()()222'x a x aF x x+--=()()21x a x x+-=，讨论2a -和0和1的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设()sin 2cos xh x ax x=-+ ()0x ≥，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可. 解析：（Ⅰ）()22ln F x x x a x ax =--+，()()222'x a x aF x x+--=()()21x a x x+-=，∵()F x 的定义域为()0,+∞. ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值. ②012a<-<即20a -<<时，()F x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小.③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值.④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴()()11F x f a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x f a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小 2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设()sin 2cos xh x ax x=-+ ()0x ≥，()()212cos '2cos xh x a x +=-+，设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t ϕ+=+，()()()()4221'2t t t t ϕ-+-=+ ()()32102t t --=≥+，∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，①当13a ≥时，()'0h x ≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，∴()()00h x h ≥=，适合条件.②当0a ≤时，∵10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件.③当103a <<时，对于02x π<<，()sin 3xh x ax <-，令()sin 3x T x ax =-，()cos '3xT x a =-，存0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时，()'0T x <， ∴()T x 在()00,x 上单调递减， ∴()()000T x T <<，21即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.。

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江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测
高三数学试题-无答案
一､单项选择题:(本题共7小题,每小题5分,共35分,)
1.设集合2{|2}M x log x =<,集合1{|8}2x N x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
,则() A.M N ⋂=∅
B.M N ⊆
C.{|34}M N x x ⋃=-<<
D.N M ⊆
2.已知复数1z i =
-,则||z =()
A.1 C D.2
3.设x R ∈,则“38x >”是“||2x >”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.柏拉图多面体,是指严格对称,结构等价的正多面体由于太完美,因此数量很少,只有正四､六､八､十二､二十面体五种如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球､比较完美的多面体,那么数量会多一些,用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似,这样的多面体叫做半正多面体古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体(后人称为“阿基米德多面体”)现在正四面体上将四个角各截去一角,形成最简单的阿基米德家族种的一个,又名截角四面体设原正四面体的棱长为6,则所得的截角四面体的表面积为()
A. B. C. D.
5.现代健康生活的理念,每天锻炼1小时,健康工作50年,幸福生活一辈子我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动在某校举行的秋季运动会中,来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4×100米接力赛,则甲乙互不接棒的概率为() A.16 B.13 C.12 D.23
6.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1,点M 是圆上的一动点,则MA MB ⋅的取值范围是()
A.[]1,0-
B.[]1,3-
C.[]0,3 D .[]
1,4- 7.“白日依山尽,黄河入海流,欲穷千里目,更上一层楼”,古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作,诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画,从此也令鹳雀楼名声大作,世人也能领略鹳雀楼之美鹳雀楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说有鹳雀在此停留下面是复建的鹳雀楼的示意图,游客(视为一质点)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°,若2BC AC =,则鹳雀楼的高AB 约为（）)
1.73≈
A.65米
B.74米
C.83米
D.92米二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分
8.已知双曲线22
2212x y k k
-=,对于k R ∀∈且0k ≠,则下列四个选项中因k 改变而变化的是() A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程
9.已知函数()233l f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭),则下列说法中正确的是() A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递增 C.5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的个对称中心 D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()f x 的最大值为1 10.设x,()0,y ∈+∞),,S x y =+P xy =,以下四个命题中正确的是()
A.若1P =,则S 有最小值2
B.若2S P =,则S 有最小值4
C.若21S P P
=+,则2S 有最小值2 D.若3S P +=,则P 有最大值1 11.如图,棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段AB 上的动点(不含端点),则下列说法中正确的是()
A.平面11A D P ⊥平面1A AP
B.多面体CDPD 的体积为定值
C.1APD 恒为锐角三角形
D.直线D 1P 与BC 所成的角可能为6
π 三､填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分请将答案填写在答题卡相应的位置上)
12.已知数列{}n a 满足0n a >,且()
22*1111,2n n n n a a a a a n N ++=-=∈,则n a =____. 13.某校科学社团研究一种卫星接收天线,发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在
轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点
处,已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到定点的
距离为____m.
14.将函数()2221f x sin x sin x =+-图像先向左平移4
π个单位,再将每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图像,若()2l g α=,,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,则cos α=____. 15.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球,则平面11B CD 截球O 的截面面积为____. 四､解答题:(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
16.(本题满分15分)
请从下面两个条件中任选个,补充在下面的问题中,并解决问题
①ABC 的面积为26AB AB BC +⋅=-.
在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2b c -=,A 为钝角,s sinA = (1)求边a 的长
;
(2)求sin2C 的值
17.(本题满分12分)
已知数列{}n a 是等差数列,且23a =,47a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且()*112n n S b n N =-
∈. (1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;
(2)记n n n c a b =,数列{}n c 的前n 项和为n T ,证明:2n T <.
18.(本题满分12分)
如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,G ､P 是线段AB ､SD 的中点.
(1)证明:GP ∥平面SBC;
(2)若3BAD π
∠=,2AB SA SB ===,SD =,求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)
苏果超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本为每瓶4元,售价每瓶6元未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完｡根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位℃)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[
)20,25,需求量为350瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,
得到下面的频率分布表:
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为420(单位:瓶)时,求Y 的期望值.
20.(本题满分12分)
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0F ,其左右顶点分别为A,B,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C,D 两点,AC,BD 交于点T,求AP AT ⋅的值.
21.(本题满分12分)
已知函数()f x lnx =,函数()()21xlnx g x x e =+.
(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程;
(2)当()0,x ∈+∞)时,证明:当2m 时,()()1mf x g x +.。

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