平面直角坐标系中的规律探索类问题
【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编
【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编山（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．考点：中心对称；规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵ =503…3，∴点P2021的坐标为（0，?2）．故答案为：（0，?2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.－4abc6b－2…（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。
中考数学专题复习——规律探索(详细答案)
中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。
2021年中考数学压轴题提升训练图形规律探索题含解析
图形规律探索题【例1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2017A 2018,则点A 2017的坐标为【答案】（0,2）.【解析】解：由题意知：A 1(0,1),A 2(1,1),OA 2=A 2A 3,OA 3=2,∴A 3(2,0),同理,A 4(2,－2),A 5(0,－4),A 6(－4,－4),A 7(－8,0),A 8(－8,8),A 9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1,即点A 2017在y 轴正半轴上,横坐标为0,各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23,……2017÷2=1008……1,可得点A 2017的纵坐标为：21008, 故答案为（0,21008）.【变式1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,-1),A 3(0,0),则依图中所示规律,A 2019的横坐标为（ ）A ．-1008B ．2C ．1D ．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知,奇数点在x轴上,偶数点在象限内,所以A2019在x轴上,A1,A5,A9,A13……,A4n－3在x正半轴,4n－3=2019,n=505.5,所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0）,A7（－2,0）,A11（－4,0）,A15（－8,0）……,3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3,∴－2×504=－1008,即A2019的坐标为（－1008,0）,故答案为：A.【变式1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形O ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,称为一次旋转,依此方式,……,绕点O连续旋转 2 019 次得到正方形O A2 019B2 019C2 019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2 019 的坐标为.【答案】,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, ),B2(－1, 1),B3(－,0),B4(－1, －1),B5(0, －),B6(1, －1),B7(, 0),B8(1, 1),……∴360÷45=8,2019÷8=252……3,∴点B2019落在x轴负半轴上,即B2019(,0),故答案为：,0）.【例2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A（53,0）,B（0,4）,则点B2016的横坐标为（）A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=133,可得：B2（10,4）,B4（20,4）,B6（30,4）,…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如1,4,9,16…）,在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n 的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝()12n n+,第n个正方形数为n2,当n＝19时,()12n n+＝190＜200,当n＝20时,()12n n+＝210＞200,所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时,n2＝196＜200,当n＝15时,n2＝225＞200,所以最大的正方形数：n＝196,则m+n＝386,所以答案为：C．1.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】1n -．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB =60°,∴AB =BC =1,∠ACB =∠CAB =30°,∴AC ,同理可得：AC 1=2,AC 213,……第n 个菱形的边长为：1n -,故答案为：1n -．2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =30°,点A 的坐标为（2,0）,过点A 作AA 1⊥OB ,垂足为点A 1,过A 1作A 1A 2⊥x 轴,垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ,垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴,垂足为点A 4…；这样一直作下去,则A 2017的横坐标为（ ）A ．32 ）2015B ．32 ）2016C ．32 ）2017D ．32）2018 【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB =30°,点A 坐标为（2,0）,∴OA =2,∴OA 1OA OA 2OA 1=2×2⎝⎭,OA 3OA 2=2×3⎝⎭…,∴OA n =）n OA =2）n ．∴OA 2018）2018=32）2016故答案为：B．3.如图,函数()()()4022824x x xyx x--≤<⎧=⎨-+≤<⎩的图象记为C1,它与x轴交于点O和点A1,将C1绕点A1选择180°得C2,交x轴于点A2……,如此进行下去,若点P(103,m)在图象上,则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为8,103÷8=12……5,当x=5时,y=－2,即m=－2,故答案为：A.4.如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点为P2,……,第n 次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2 019的坐标是（）A．(0,1) B．(-4,1) C．(-2,0) D．(0,3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7（－2,0）……2019÷6=336……3,即P2019（0,3）,故答案为：D.5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC ,已知∠ABC =60°,点 B 在 y 轴上,OA =1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转2019次,点 B 的落点依次为 B 1,B 2,B 3,…,则 B 2 019 的坐标为（ ）A . (1010,0)B .(1310.5, 2)C . (1345, 2)D . (1346,0)【答案】D .【解析】解：连接AC ,如图所示．∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1,∴AC =1．由图可知：每翻转6次,图形向右平移4．∵2019=336×6+3,∴点B 3向右平移1344（即336×4）到点B 2019．∵B 3的坐标为（2,0）,∴B 2019的坐标为（1346,0）,故答案为：D ．6.如图,在直角坐标系中,已知点A （﹣3,0）,B （0,4）,对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为（ ）A．（8076,0）B．（8064,0）C．（8076,125）D．（8064,125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3,0）、B（0,4）,由勾股定理得：AB＝5,由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为：12,2019÷3＝673,直角顶点在x轴上,673×12＝8076,∴△2019的直角顶点的坐标为（8076,0）．故答案为：A．7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点（1,0）作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为．【答案】（21008,21009）．【解析】解：由图可知：A1（1,2）,A2（﹣2,2）,A3（﹣2,﹣4）,A4（4,﹣4）,A5（4,8）,…,∵2017=504×4+1,∴点A2017在第一象限,∵2017=1008×2+1,∴A2n+1（（﹣2）n,2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008,2（﹣2）1008）=（21008,21009）．故答案为：（21008,21009）．8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点B2018的坐标为（）A．（1,1）B．（）C．（）D．（﹣1,1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形,OA＝1,∴B（1,1）,连接OB,在Rt△OAB中,由勾股定理得：OB,由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3,∴B1（,B2（﹣1,1）,B3,0）,…,360÷45=8,每8次一循环,2018÷8＝252……2,∴点B2018的坐标为（﹣1,1）.故答案为：D．9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB＝4,OA＝．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3,﹣3）B．（3,﹣3）C．（﹣3,3）D．（0,2 3）【答案】A．【解析】解：360÷60=6,即每6秒一循环,2019÷6=336……3,即2019秒时, 点A与其对应点A′关于原点O对称,∵OA＝4,∠AOB＝30°,可得：A(3, 3),∴第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为(－3, －3),故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示,点A、D的坐标反别为（1,0）、（0,2）,延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为【答案】4032352⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1,∵∠DOA=∠ABA1,∴△DOA∽△ABA1,∴11 2OA BAOD AB==,由勾股定理得：AB=AD=5,∴BA1,∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC,面积=2⎝⎭,同理,第3个正方形的面积为：232⎛⎝⎭,第4个正方形的面积为：23322⎛⨯⎝⎭,……∴第2017个正方形的面积为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.即答案为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的A0 点出发,沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1 处,再向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2 处；接着又从A2 点出发,沿着射线A2O 方向运动到⊙O 上的点A3 处,再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4 处；……按此规律运动到点A2 017 处,则点A2 017 与点A0 间的距离是【答案】4.【解析】解：由图分析可知,A6点与A0点重合,2017÷6=336……1,即点A2 017 与A1重合,∵⊙O的半径为 2 ,∴点A2 017 与点A0 间的距离是4.12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n（n＞0）个图案需要点的个数是．【答案】n 2+2n .【解析】解：由图知,第1个图形点数为3+0×3,第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……第n 个图形点数为：（n +2）+（n －1）（n +2）=n 2+2n ,即答案为：n 2+2n .13..如图所示的坐标系中放置一菱形OABC ,已知∠ABC =60°,点B 在y 轴上,OA =1,先将菱形OABC 沿x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B 的落点分别是B 1,B 2,B 3,……,则B 2017的坐标为【答案】（.【解析】解：由题意知：OB 即B∴B 1,=32,即B 1(32),由图可知,每翻折6次,图形向右平移4个单位,2017=336×6+1,求得：B 2017（336×4+ 32,即B 2017（）,故答案为：（.14.如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,……和点B 1,B 2,B 3,……分别在直线15y x b =+和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3……都是等腰直角三角形,若点A 1(1,1),则点A 2019的纵坐标是【答案】201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：如图,分别过A 1,A 2,A 3作x 轴的垂线,∵点A (1,1)在直线15y x b =+上, ∴b =45, 由△OA 1B 1是等腰直角三角形,得：OB 1=2,设A 2(x ,y ),则B 1C 2=x －2,y = x －2,∴x －2=1455x +,解得：x =72,y =32,即A 2的纵坐标为：32； 同理可得：A 3的纵坐标为：29342⎛⎫= ⎪⎝⎭, 即A n 的纵坐标是A n －1纵坐标的32倍, 即A 2019的纵坐标为：201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形 A 1CC 1B 1；延长 C 1B 1 交 x 轴于点 A 2,作正方形 A 2C 1C 2B 2；…,按照这样的规律作正方形,则点B2 019的纵坐标为．【答案】201932⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：过B作BH⊥x轴于H,由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即BH=OA=1,即B点纵坐标为1,同理得：B1点纵坐标为32,B2点纵坐标为232⎛⎫⎪⎝⎭,B3点纵坐标为332⎛⎫⎪⎝⎭,……B2019点纵坐标为201932⎛⎫⎪⎝⎭,即答案为：2019 32⎛⎫⎪⎝⎭.。
中考一轮复习--专题五 规律探索题
(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.
2.规律探究的基本原则:
(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积
找积的规律.
(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再
验证运用规律.
类型一
类型二
类型三
类型一 数式的变化规律
例1(2019·安徽)观察以下等式:
∴S5= =-1-a,
4
∴S6=-S5-1=a.
1
1
∴S7= = =S1,
6
故此规律为 6 个一循环,
∵2 018÷6=336 余 2,
1+
∴S2 018=- .
1
2
3
4
5
6
7
4.(2018·黑龙江龙东区)如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上
的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边
(2)∵2 020÷3=673…1,∴需要小正方形674个,大正方形673个.
1
2
3
4
5
6
7
7.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上
面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.
将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有
n(n + 1)
圆圈的个数为1+2+3+…+n= 2 .如果图3和图4中的圆圈各有13
为
.
类型一
类型二
类型三
分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一
次,特征点增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进
以坐标系为载体的规律探索题
以坐标系为载体的规律探索题河北孙秀巧猜想规律型问题是目前中考的一大热点，原因在于猜想本身就是重要的数学方法，更是人们探索发现知识的重要手段．此类题不但能培养学生分析、归纳、解决问题的能力，也非常有利于学生创造性思维的培养．对于有关图形的规律探索问题，更能考查学生的观察读图能力．笔者认为做此类题不妨在用眼观察的同时也用笔做一有序列举，一般列举出3到4个后，规律就会呈现眼前.下面就坐标系中的规律探索题来检验一下列举法解此类题的妙处.例1：（2006淮安）如图，已知A l(1，0)、A2(1，1)、A3(－1，1)、A4(－1，－1)、A5(2，－1)、……．则点A2007的坐标为________．析解：∵A3(－1，1) A7(－2，2)，观察坐标系可知：A11(－3，3)，A15(－4，4)，其横、纵坐标互为相反数．把A3、A7、A11、A15右下角的数字提出来，可整理为：3＝3＋4⨯0；A3(－1，1)7＝3＋4⨯1；A7(－2，2)11＝3＋4⨯2；A11(－3，3)15＝3＋4⨯3A15(－4，4)…………∵2007＝3＋4⨯501∴ A2007（－502,502）所以A2007的坐标为(－502,502）．032-3-31-1-2x321-1-2例2：如图，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第20个正方形(实线)四条边上的整点的个数共有_____个．析解：列举整理如下：第1个正方形 有4个整点 4=4⨯1 第2个正方形 有8个整点8=4⨯2 第3个正方形 有12个整点12=4⨯3…… ……第n 个正方形 有4n 个整点∴第20个正方形四条边上的整点个数为4⨯20=80个．例3：(2006 绍兴)如图将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，4P ，……2006P 的位置，则2006P 的横坐标2006x ＝_________．析解：观察图形整理如下：1P 的横坐标为1，2P 的横坐标为2， 6P 的横坐标为6， 6=2+4⨯1 10P 的横坐标为10， 10=2+4⨯2 14P 的横坐标为14． 14=2+4⨯3…… ……从第3次旋转开始，每转4次，其横坐标等于其旋转次数．∵2006－2=2004是4的倍数，故翻转第2006次时，2006P 的横坐标为2006．。
直角坐标系规律专题-含答案
坐标规律点专题一．选择题（共13小题）1．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，﹣2）C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）3．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）4．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886 B．903 C．946 D．9905．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）6．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）7．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2017的坐标为（）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0 ）B．（14，﹣1）C．（14，1 ）D．（14，2 ）9．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A﹣B﹣C﹣D﹣A…循环爬行，其中A的坐标为（1，﹣1），B的坐标为（﹣1，﹣1），C的坐标为（﹣1，3），D 的坐标为（1，3），当蚂蚁爬了2014个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，2）10．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9） B．（9，0） C．（0，8） D．（8，0）11．如图，在平面直角坐标系中，半径为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2016秒时，点P的坐标是（）A．（2016，1）B．（2016，0）C．（2016，﹣1）D．（2016π，0）12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（3，0） B．（7，4） C．（8，1） D．（1，4）13．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2014的坐标为（）A．（2，1008）B．（1，﹣1007）C．（﹣1008，0）D．（1008，0）二．填空题（共4小题）14．如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．15．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．16．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是．17．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0），…，那么点A2015的坐标为．三．解答题（共2小题）18．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y 轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…C n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，C n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．19．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A1（，），A3（，），A12（，）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）：A4n（，）；（3）蚂蚁从点A2013到A2014的移动方向是．坐标规律专题参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，﹣2）C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，2014÷10=201…4，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，即从点B 向下沿BC2个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点（﹣1，﹣1）．故选：D．3．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）【解答】解：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4×0+3，A3的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），7=4×1+3，A7的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），11=4×2+3，A11的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；…55=4×13+3，A55（14，14），A55的坐标为（13+1，13+1）；故选：C．4．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886 B．903 C．946 D．990【解答】解：∵一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，第1行：x=0 2个点（共2个点）第2行：x=1 3个点x=2 1个点（共4个点）第3行：x=3 4个点x=4 1个点x=5 1个点（共6个点）第4行：x=6 5个点x=7 1个点x=8 1个点x=9 1个点（共8个点）第5行：x=10 6个点x=11 1个点x=12 1个点x=13 1个点x=14 1个点（共10个点）第6行：x=15 7个点x=16 1个点x=17 1个点x=18 1个点x=19 1个点x=20 1个点（共12个点）…第n行：x=n+1个点（共2n个点）2+4+6+8+10+…+2n≤2015（2+2n）×n÷2≤2015且n为正整数得n=44，∵当n=44时：2+4+6+8+10+…+88=1980且当n=45时：2+4+6+8+10+…+90=20701980＜2015＜2027∴2015在45行，第45行：x==990 46个点1980＜2015＜1980+46∴第2015个粒子横坐标为990故选：D．5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，）；偶数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，1﹣），由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得（14，﹣5）．故选：D．6．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2013÷6=335…3，∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）．故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2017的坐标为（）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）【解答】解：由规律可得，2017÷4=504…1，∴点P2017在第二象限，∵点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2），点P13（﹣4，3），∴点P2017（﹣505，504），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0 ）B．（14，﹣1）C．（14，1 ）D．（14，2 ）【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，…，横坐标是n的点共有n个，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，当n=14时，=105，所以，第100个点的横坐标是14，∵100﹣91=9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，∵第=7个点的纵坐标是0，∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是（14，2）．故选：D．9．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A﹣B﹣C﹣D﹣A…循环爬行，其中A的坐标为（1，﹣1），B的坐标为（﹣1，﹣1），C的坐标为（﹣1，3），D 的坐标为（1，3），当蚂蚁爬了2014个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，2）【解答】解：由题意知：AB=2，BC=4，CD=2，DA=4，∴蚂蚁爬行一周的路程为：2+4+2+4=12（单位），2014÷12=167（圈）…10（单位），即蚂蚁爬行2014个单位时，所处的位置是AD的中点处，∴其坐标为（1，1）．故选：B．10．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9） B．（9，0） C．（0，8） D．（8，0）【解答】解：3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了（0，4）；35秒到了（5，0）；48秒到了（0，6）；63秒到了（7，0）；80秒到了（0，8）．∴第80秒时质点所在位置的坐标是（0，8）．故选：C．11．如图，在平面直角坐标系中，半径为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2016秒时，点P的坐标是（）A．（2016，1）B．（2016，0）C．（2016，﹣1）D．（2016π，0）【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P1秒走个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2016÷4=504，∴A2016的坐标是（2016，0），故选：B．12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（3，0） B．（7，4） C．（8，1） D．（1，4）【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2015÷6=335…5，∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4）．故选：D．13．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2014的坐标为（）A．（2，1008）B．（1，﹣1007）C．（﹣1008，0）D．（1008，0）【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，∴当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数∴点A2014在第四象限，横坐标是1，纵坐标是﹣2014÷2=﹣1007，∴A2014的坐标为（1，﹣1007）．故选：B．二．填空题（共4小题）14．如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为（1342，0）．【解答】解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2014=335×6+4，∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014．∵B4的坐标为（2，0），∴B2014的坐标为（2+1340，0），∴B2014的坐标为（1342，0）．故答案为：（1342，0）．15．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．16．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（2011，2）．【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2），故答案为：（2011，2）．17．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0），…，那么点A2015的坐标为（1007，0）．【解答】解：∵2015÷4=503 (3)∴A2015的坐标是（503×2+1，0），即（1007，0）．故答案为：（1007，0）．三．解答题（共2小题）18．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y 轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…C n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）；（2）请分别写出下列点的坐标：A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），C n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．【解答】解：（1）A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．（2）A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），C n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．（3）∵A5（17，0），B5（0，18），C5（﹣19，0），D5（0，﹣20）．∴四边形AB5C5D5的面积=+++=×17×18+×18×19+×19×20+×20×17=684．故答案为：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），C n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．19．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）：A4n（2n，0）；（3）蚂蚁从点A2013到A2014的移动方向是向右．【解答】解：（1）由图可知，∴A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）；故答案为：0，1；1，0；6，0；（2）由图可知：A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），∴OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n的坐标（2n，0）；故答案为：2n，0；（3）∵2013÷4=503…1，∴从点A2013到点A2014的移动方向与从点A1到A2的方向一致为向右．。
数学2020年春季人教版教案 7年级-6 平面直角坐标系中点的规律型问题
例4 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点O出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称； 第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为.
二、合作探究
（一）探究类型之一 有序数对
例1 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P（a，b），若规定以下两种变换：
①f（a，b）=（-a，-b），如f（1，2）=（-1，-2）；
②g（a，b）=（b，a），如g（1，3）=（3，1）.
按照以上变换，那么f（g（a，b））等于（ ）
1.学生读题，理解题意.
师：题中两种变换法则分别是什么？
生：f（a，b）=（-a，-b），说明变换f是横纵坐标都取其相反数，也就是关于原点作对称变换.g（a，b）=（b，a），明变换g是横纵坐标交换位置，也就是关于直线y=x作对称变换.
（学生可能不能说出关于直线y=x对称，教师可引导学生自己在坐标系中找些g变换的对应点，然后观察发现规律）
例5 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即（0，0）→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…），且每秒运动一个单位长度，那么2010秒时，这个粒子所处位置为___.
1.学生读题，发现规律.
师：本题规律与例2类似，但是不同，同学们如果用例2的方法解答时，注意区分.
平面直角坐标系规律题[技巧]
![平面直角坐标系规律题[技巧]](https://img.taocdn.com/s3/m/9a61090afd4ffe4733687e21af45b307e871f971.png)
0000000一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为（）度分析：n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．0000000因而多边形的边数是18，则这一内角为（18-2）×180-2750=130度．故答案为：130．0000000点评：正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．00000001、（2007•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为2、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，-1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（14，2）00000000000000．0000000分析：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．故答案为（14，2）．0000000点评：此题的考点在于对坐平面直角坐标系的熟练运用能力，学生也可从其它方面入手寻找规律．00000003、在平面直角坐标系中,有若干个横纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列（1，0）（2，0）（2，1）(1,1)(1,2)(2,2)（2，2）的后面为（3，2）（3，1）（3，0）（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）（3，3）（2，3）（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（5，0）（6，0）（6，1）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为？如图，思路如下：当n为一个奇数平方时，设m²=n，则第n个点坐标为(m,0)，第n-1个为(m,1) ，第n-2个为(m,2) 。
平面直角坐标系中的规律探索(含答案)
平面直角坐标系中的规律探索1、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A、（13，13）B、（﹣13，﹣13）C、（14，14）D、（﹣14，﹣14）∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4×0+3，A3的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），7=4×1+3，A7的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），11=4×2+3，A11的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；…55=4×13+3，A55（14，14），A55的坐标为（13+1，13+1）；故选C．第1题第2题第3题2．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为。
解：每四个点一个循环，A1 A5 A9……在x正半轴上A2 A6 A10……在第四象限A3 A7 A11……在x负半轴上A4 A8 A12……在第一象限有规律的所以A2012在第一象限∵2012÷4=503,∴点A2012在第一象限,横坐标是2,纵坐标是2012÷2=1006,∴A2012的坐标为（2,1006）．3、如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒运动一个单位长度，那么2010秒时，这个粒子所处位置为（）A、（14，44）B、（15，44）C、（44，14）D、（44，15）设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的间分别为a1，a2，…，an，则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20∴a n=n（n+1）．44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A44（44，44）；又由运动规律知：A1，A2，…，A n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A44（44，44）时向左运动30秒到达点（14，44），即运动了2010秒．所求点应为（14，44）4、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．第4题第5题第6题到第n列有（1+2+3+4+……+n）个点，既n(n+1)/2个点.则可求当n=13时,有91个点.所以排到横坐标为13的点是第91个点,横坐标为13的点最后一个是(13,0),所以(13,0)是第91个点,所以可数得第100个点是（14,8）5、如图，已知A l（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为．易得4的整数倍的各点如A4，A8，A12等点在第三象限，∵2008÷4=502；∴A2008的坐标在第三象限，横坐标为-2008÷4=-502；纵坐标为-502，∴点A2008的坐标是（-502，-502）．A2007的坐标在第二象限，故答案为：（-502，502）．6、如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）矩形的边长为4和2，周长为12，由题意知：第一次在BC边相遇；第二次在DE边相遇；第三次在A点相遇；此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，在DE边相遇；此时相遇点的坐标为：（-1，-1），故选：D．7、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是．点P第2009次跳动至点P2009的坐标是．第7题第8题经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n 是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故答案填（26，50）．（503，1005）8、如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是．。
总第24课时——2 平面直角坐标系) 坐标系中的规律探索问题
被 3 整除,余数为 2 时,则向右走 2 个单位.当走完第 100 步时,
棋子所处位置的坐标是
(C )
A .(66,34) B .(67,33)
C .(100,33) D .(99,34)
【解析】 由题意得,每3步为一个循环组依次循环,且一个 循环组内向右3个单位,向上1个单位,∵100÷3=33……1,
图3
A．80 B．60 C．56 D．40
【解析】 边长为2的正方形的四条边上有4组对称整点； 边长为4的正方形的四条边上有8组对称整点； 边长为6的正方形的四条边上有12组对称整点； 边长为8的正方形的四条边上有16组对称整点； 边长为10的正方形的四条边上有20组对称整点， 所以边长为10的正方形中，对称整点的组数为4＋8＋12＋16 ＋20＝60.
图24－5
【解析】 第1×2＋1＝3个点的坐标为(2，1)； 第2×3＋1＝7个点的坐标为(3，2)； 第3×4＋1＝13个点的坐标为(4，3)； …… 第44×45＋1＝1 981个点的坐标为(45，44)， 所以第2 012个点的坐标为(45，13)．
如图24－8，在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标 都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两 坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规 律，回答下列问题：
如图1，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)， A4(－1，－1)，A5(2，－1)，……则点A2 014的坐标为 ( A )
A．(504，504) C．(504，－504)
图1 B．(－504，504) D．(－504，－504)
【解析】 通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限， ∵2 014÷4＝503……2， ∴点A2 014在第一象限，其横坐标为(2 014－2)÷4＋1＝504， 纵坐标和横坐标相等， ∴点A2 014的坐标为(504，504)．
坐标系中的规律探索问题
坐标系中的规律探索问题1.如图，三角形ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+5,y0+3)，将三角形作同样的平移得到三角形A1B1C1，求A1，B1，C1的坐标并求出平移后的三角形A1B1C1的面积。
2.3.如图所示，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），紧接着第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（-2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是.A. (50,50)B. (51,51)C. (51,50)D. (50,59)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位长度，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A. （4，0） B. （5，0） C. （0，5） D. （5，5）4.如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方向走15米到达A5点,按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,则A6的坐标为( )A. (9,15)B. (6,15)C. (9,9)D. (9,12)5.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90∘圆弧P1P2ˆ,P2P3ˆ,P3P4ˆ,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连结P1P2,P2P3,P3P4,…得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(−1,0),P3(0,−1),则该折线上的点P9的坐标为( )A. (−6,24)B. (−6,25)C. (−5,24)D. (−5,25)6、在平面直角坐标系中,点P(x,y)经过某种变换后得到点P′(−y+1,x+2),我们把点P′(−y+1,x+2)叫做点P(x,y)的终结点。
平面直角坐标系中的规律探究问题(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册学与练(北师大)
第04讲难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题目录【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】..................................................................................................1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】..................................................................................................7【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 (11)【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点1(01)P ，，2(11)P ，，3(10)P ，，4(11)P ，-，5(21)P ，-，…，则2023P 的坐标是．【答案】(674,1)【分析】由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…，当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3nnP ，，根据20223674÷=得2022(6740)P ，，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则20236=3371÷ ，根据点2023P 在点2022P 的上方，即可得．【详解】解：由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3n nP ，，∵20223674÷=，∴2022(6740)P ，，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，∴20236=3371÷ ，∵点2023P 在点2022P 的上方，∴2023(674,1)P 故答案为：(674,1)．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A 从()10，出发，向上运动1个单位长度到达点B ()11，，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C ()02，，D ()22，，此时称动点A 完成第一次跳跃；再分别从C ，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点G ()14-，，H ()14，，I ()34，，此时称动点A 完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（）A ．()20234046，B ．()202320232，C ．()20244046，D ．()202320242，【答案】C【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．【详解】解：由题意可得：A ()10，、D ()22，、I ()34，．．．每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，则动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为202324046⨯=，横坐标为：202312024+=故选：C ．【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．2．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(1)0，，(2)0，，(21)，，(32)，，(3)1，，(30)，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为()A ．(9)2，B ．(93)，C ．(9)4，D ．(9)5，【答案】D【分析】由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，由()881362⨯+=，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可求点坐标．【详解】解：由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵()881362⨯+=，∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为()95，，故选：D ．【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形，曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线”，其中 12C C ， 23C C ， 34C C ， 45C C ，…的圆心依次按O ，A ，B ，1C 循环．当1OA =时，点2023C 的坐标是()A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合同一规律，探究出3C ，7C ，11C ，...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，，，67(506)1()C C --，，，，…点C 的位置每4个一循环，202350543=⨯+，∴2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合规律()11n --+，，∴2023C 坐标为)12(022--，．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2023P 的坐标为．【答案】(1012,1012)--【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：()11,1P --，1112+-=-；2(1,1)P ，212=；3(2,2)P --，3122+-=-；4(2,2)P ，422=；……当n 为奇数时，11,22n n n P ⎛⎫⎪⎝++-⎭-；当n 为偶数时，,22n n n P ⎛⎫⎪⎝⎭；∴20232023120231(,)22P ++--，即2023(1012,1012)P --．故答案为：(1012,1012)--．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．5．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()11-，，第2次接着运动到点()20-，，第3次接着运动到点()32-，，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P 的坐标是．【答案】()20251-，【分析】设动点P 运动了n 次，则点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．【详解】解：设动点P 运动了n 次．观察图形中点的坐标可知：点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．∵202545061÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴当点P 经过2025次运动后，横坐标为2025-，纵坐标为1．即点P 的坐标为()20251-，．故答案为：()20251-，．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．6．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，(1,1),(1,1),(1,2),(1,2)A B C D ----把一条长为a 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A →→→→⋅⋅⋅的规律紧绕在四边形ABCD 的边上．（1）当12a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当2023a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是．【答案】()1,1-()1,0-【分析】根据点的坐标，求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵()()()()1,11,11,21,2A B C D ----，，，，∴2323AB BC CD DA ====，，，，∴四边形ABCD 的周长为232310+++=，∴细线绕一圈的长度为10，∵121012÷= ，∴当12a =时，细线另一端所在位置的点与点B 重合，坐标为：()1,1-；∵2023102023÷= ，∴当2023a =时，细线另一端所在位置的点在点B 下方1个单位长度处，即为：()1,0-；故答案为：()1,1-，()1,0-；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形ABCD 的周长。
【精品】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(2) (教师版)
五、等比数列型1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．【答案】(22018－1)2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.【答案】【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求的值．【答案】4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图1 1图2 1+3图3 1+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数f n(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为f n+1，求f n+1-f n【答案】（1）40；（2）f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1；（3）∵f n+1=3n+3n-1+…+32+3+1，f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1∴f n+1−f n=3n．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．六、正整数平方型1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．【答案】201622．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数为（）A．1016个B．11025个C．11236个D．22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C．七、正整数求和型1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171 B．190 C．210 D．380【答案】B2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x=m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+…+的长.【答案】（1）O=n;S n=.（2）OA10=.（3）4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值．【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得，即．故选D．2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A．B．C．D．【答案】C3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9）B．（9，0）C．（0，8）D．（8，0）【答案】C∵当n=8时，n2+n=82+8=72，∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，∴此时质点的横坐标为8-8=0，∴此时质点的坐标为（0，8），∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．【答案】（21010﹣2，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），故答案为：（21010﹣2，21009）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．【答案】0、-1即当时，，，，，，，，，，，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、．故答案为：；0、．九、其它型1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．【答案】n（n+2）2．观察下列方程的特征及其解的特点．①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．【答案】x＋＝－9 x1＝－4，x2＝－5 x＋＝－(2n＋1) x1＝－n，x2＝－n－1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数13、12、23，有112323<<，所以12为13和23的一个中间分数，在表中还可以找到13和23的中间分数25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到13和23更多的中间分数．（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的35和23的中间分数是；（2）写出分数ab和cd（a、b、c、d均为正整数，a cb d<，c d<）的一个．．中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若sm与tn（m、n、s、t均为正整数）都是917和815的中间分数，则mn的最小值为．【答案】（1）①27；②58（2）证明见解析（3）1504（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a c b d++． ∵a 、b 、c 、d 均为正整数，a cb d <，cd <， ∴()()()201c a b a c a b d a c a bc ad d b b b d b b b d b bd d-+-++--===>++++， ()()()201a c d a c c b d a c c ad bc b d d b d d d b d bd d b-+-++--===<++++． ∴a a c c b b d d+<<+． （3）根据排列可知917和815的中间分数有1732， 3566， 2649， 2547等，由此可得mn 的最小值为1504， 故答案为：1504.。
平面直角坐标系重难点题型(四大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册(北师大版)
平面直角坐标系重难点题型（四大题型）【题型1 两点间距离】【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】【题型4 等腰三角形个数讨论问题】【题型1 两点间距离】1．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(5,―1)，(5,2)，则A，B两点间的距离为.2．已知平面直角坐标系中有一点M(3―2m,3m+2)．(1)存在点N(2,―3)，当MN平行于y轴时，求点M的坐标：(2)当点M在x轴上方，且到x轴的距离是到y轴距离的两倍时，求点M的坐标．3．已知点P(2m―1,m+3)．(1)若点P在y轴上，求m的值；(2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴的距离的4倍，求点P的坐标．4．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？如图，在坐标系中A(2,1)，B(6,4)，构造Rt△ACB，则AC=6―2=4，BC=4―1=3，∴AB===5若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AC=|x2―x1|BC=|y2―y1|∴AB==这就是两点间的距离公式，例如E(0,1)，D(4,0)∴ED===(1)+A(12,3)与点C(x,0)点B(0,2)与点C(x,0)的距离．请完成如下填空：作点B关于x轴的对称点B′（____，___），当A、C、B′三点共线时AC+BC最小，连接AB′，则AC+BC 的最小值等于AB′，由两点间的距离公式得AB′=______________，_____________．(2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：②的最大值．，当A、C、B′三点共线时AC+AB′=(12―0)2+(3+2)的最小值是13．1)，当A、C、B′三点共线时AC+BC5．阅读材料：两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么A、B两点的距离AB=AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2．例如：若点A(4,1),B(3,2)，则AB==若点A(a,1),B(3,2)，且AB=2=(a―3)2+(1―2)2．a的值．根据上面材料完成下列各题：(1)若点A―2，3，B m，2①若m=1，则A、B两点间的距离是______．②若AB∥y轴，则A、B两点间得距离是______．(2)若点A―2，3，点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,0)，其中a，b(b―2)2=0．(1)填空：a=______，b=_______；(2)如果在第三象限内有一点M(―3,m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；(3)在（2）的条件下，当m=―3时，在y轴上有一点P，使得△ABP的面积是△ABM的面积的2倍，请求出点P的坐标．7．已知在平面直角坐标系中有点A(―2，1)，B(3,1)，C(2，3)，D(―1，5)．(1)在坐标系内描出△ABC的位置；(2)求出△ACD的面积；(3)在y轴上是否存在一点P使得以A、B、P三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．，D(―1，5)，在平面直角坐标系中顺次连接得到△ACD，3×12―2×4×12=16―2―3―4=7三点为顶点的三角形面积为10，，在平面直角坐标系顺次连接A、B、P，三点围成的三角形高为ℎ，=y，即P(0,5)，=y，即P(0,―3)，8．在平面直角坐标系中，A(a,0)，C(b,2)，满足(a+1)2=0，过点C作CB⊥x轴于点B．(1)如图1，连接AC，求三角形ABC的面积．(2)如图2，连接AC，若过点B作BD∥AC交y轴于点D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED？(3)如图3，过C作CD垂直于点D，连接AD，点P从D点出发，沿“DC→CB”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线OP将四边形ABCD面积分为3:11两部分？求出P的坐标？=∠2，×2，2，9．如图，已知A(―4,0)，B(4,0)，C(3,2)，D(―2,4)．(1)求四边形ABCD的面积；(2)在y轴上存在一点P APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求P点的坐标．【答案】(1)20(2)P点的坐标(0,2.5)或(0,―2.5)．【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式．（1）观察图形，用分割法求解，分别过C、D两点作x轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可；（2）P点的纵坐标到原点的距离就是△APB的AB边上的高，根据（1）P点到原点的距离，再根据P点分别在y轴正负半轴，写出P点的坐标即可．【详解】（1）解：分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如下图：D(―2,4)，BE=1，CE=2，CDFE+S△BCE+12×1×210．如图，在直角坐标平面内，已知A(―1,2)，B(1,―2)，C(4,0)，线段AB经过原点O．(1)求△ABC的面积；(2)在x轴上是否存在一点D，使S△ACD=S△ABC，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由．【答案】(1)8(2)(―4,0)或(12,0)【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积；【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】11．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，―1)，P5(―1，―1)，P6(―1，2)…根据这个规律，点P2019的坐标为（）A．(―505,505)B．(505,―505)C．(505,―506)D．(505,505)【答案】D【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键．根据各个点的位置关系，可得出从P3(1,1)开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点P2019的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可．【详解】解：∵P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,―1),P5(―1,―1),P6(―1,2),...，∴从P3(1,1)开始，P4n(n,―n)在第四象限的角平分线上，P4n+1(―n,―n)在第三象限的角平分线上，P4n+2(―n,n+1)在第二象限的角平分线上，P4n+3(n+1,n+1)在第一象限的角平分线上，∵2019=4×504+3，∴点P2019的在第一象限的角平分线上，n=504，∴点P2019坐标为(505,505)故选D．12．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1(1,2)，第二次运动到点P2(2,0)，第三次运动到P3(3,―1),…，按这样的运动规律，第23次运动后，动点P23的纵坐标是（ ）A．―1B．0C．1D．2【答案】C【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．由图得点的纵坐标变化每6次一循环，23÷6=3......5，点P23的纵坐标为符合第5个点的纵坐标为1．【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1，∴P23的横坐标为23，点的纵坐标变化每6次一循环，23÷6=3......5，∴点P23的纵坐标为1．故选：C．13．在一单位为1的方格纸上，有一列点A1,A2,A3,⋯,A n,⋯,（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点A1(2,0),A2(1,―1),A3(0,0),A4(2,2),⋯⋯，则A2024的坐标为（）A．(―1010,0)B．(2,1012)C．(1012,2)D．(1014,0)14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(1,0),P2(1,1),P3(0,1),P4(0,2),P5(1,2)，…，根据这个规律，点P28的坐标为（）A．(0,14)B．(1,7)C．(0,8)D．(1,8)【答案】A【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得规律每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1，据此规律求解即可．【详解】解：P1(1,0)，P2(1,1)，P3(0,1)，P4(0,2)，P5(1,2)，……，以此类推可知，每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1，∵28÷4=7，28÷2=14，∴点P28的横坐标为0，纵坐标为14，∴点P28的坐标为(0,14)，故选：A．15．如图，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A(―1,0)．点A第一次向上平移1个单位至点A1(―1,1)，接着又向右平移1个单位至点A2(0,1)，然后再向上平移1个单位至点A3(0,2)，向右平移1个单位至点A4(1,2)，…，照此规律平移下去，点A2024的坐标是（）A．(1010,1011)B．(1011,1012)C．(1010,1012)D．(1011,1013)16．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1(0,1)，A2 (1,0)，A3(2,0)，A4(0,2)，A5(0,3)，A6(3,0)，A7(4,0)，A8(0,4)，…，按此规律，则点A2024的坐标是（）A．(0,1011)B．(1011,0)C．(0,1012)D．(1012,0)【答案】C【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y 轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012．【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,0)，A4(0,2)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1―1，2=2×1；第2组：A5(0,3)，A6(3,0)，A7(4,0)，A8(0,4)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2―1，4=2×2；……以此类推，2024=4×506，则点A2024是第506组的第4个点，则A2024在y轴上，其非零坐标即横坐标为1012，故点A2024的坐标是(0,1012)，故选：C．17．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,―1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2024的横坐标为．18．如图所示，在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(―1,1)，C(―1,―2)，D(1,―2)．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,―2)D．(1,―2)【答案】A【分析】本题考查的是坐标规律的探究，先求解四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=10．结合2019÷10=201……9，从而可得答案．【详解】解：∵A(1,1)，B(―1,1)，C(―1,―2)，D(1,―2)，∴AB=2，BC=3，∴四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=10．∵2019÷10=201……9，∴细线另一端所在位置的点的坐标为(1,0)．故选A．19．如图，在平面直角坐标系上有点A(1,―1)，点A第一次向左跳动至A1(―1,0)，第二次向右跳动至A2 (2,0)，第三次向左跳动至A3(―2,1)，第四次向右跳动至A4(3,1)…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至A2021的坐标（）A．(―1011,1010)B．(―1011,1009)C．(1012,1010)D．(1012,1009)20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0,1),(―1,2),(0,2),(1,2) ,(2,3),(1,3),(0,3)，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（）A．(43,45)B．(44,45)C．(―43,45)D．(―42,45)【答案】C【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有(2n―1)个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而452=2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有(2n―1)个，且这n个点的横坐标从左往右依次是―n+1,―n+2,⋯,―1,0,1,⋯,n―1；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；∵452=2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，∴最左边的点坐标为(―44,45)，即第2025个点的坐标，∴第2024个点的坐标为(―43,45)．故选：C．21．如图，在平面直角坐标系中，一点自P0(1,0)处向上运动1个单位长度至P1(1,1)，然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，…，按此规律继续运动，则P2024的坐标是（）A．(―1011,―1012)B．(1013,―1012)C．(―1011,1012)D．(1013,1012)【答案】B【分析】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点P2024在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律P2n(n+1,―n)，进而得出答案即可．【详解】解：∵2024÷4=506，则P2024在第四象限，由题意，第四象限的点为P4(3,―2)，P8(5,―4)，……，P2n(n+1,―n)∴P2024(1013,―1012)．故选：B．22．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为A1(1,0)，A2(1,1)，A3(―1,1)，A4(―1,―1)，A5(2,―1)，…按此规律，点A2024的坐标为（）A．(―505,―505)B．(―505,506)C．(―506,―506)D．(507,―506)23．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n,m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3,2)表示6，则252表示的有序数对是（）A．(14,16)B．(14,24)C．(16,27)D．(16,29)【答案】C【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第n行的第一个数字为1+(n―1)2，从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：1=1+(1―1)2第2行的第一个数字：2=1+(2―1)2第3行的第一个数字：5=1+(3―1)2第4行的第一个数字：10=1+(4―1)2第5行的第一个数字：17=1+(5―1)2…..，设第n行的第一个数字为x，得x=1+(n―1)2设第n+1行的第一个数字为z，得z=1+n2设第n行，从左到右第m个数为y当y=252时1+(n―1)2≤252<1+n2∴(n―1)2≤251<n2∵n为整数∴n=16∴x=1+(n―1)2=226∴m=252―226+1=27，∴252表示的有序数对是(16,27)故选：C．24．如图，在平面直角坐标系中，动点A从1，0出发，向上运动1个单位长度到达点B1，1，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C0，2，D2，2，此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点G―1，4，H1，4，I3，4，此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）A．2023，4046B．2023，22023C．2024，4046D．2024，22023【答案】C【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．【详解】解：由题意可得：A1，0、D2，2、I3，4．．．每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，则动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为2023×2=4046，横坐标为：2023+1=2024故选：C．【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．【题型4 等腰三角形个数讨论问题】25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(―4，4―5a)位于第二象限，点B(―4,―a―1)位于第三象限，且a为整数．（1）求点A和点B的坐标．（2）若点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．26．如图1，在平面直角坐标系中，A，B在x轴上，C在y轴上，BC2+CO2=AC2.（1）求证：AO=BC；（2）如图2，若点A(―5,0)，C(0,4)，现有一个动点P从点A出发，沿着x轴正方向运动，连结PC，当ΔPCB为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图3，若AB=AC，点B1,0)，过O作OE//BC交AC于E，求OE的长.27．长方形ABCO在平面直角坐标系的位置如左图所示，A、C两点分别在x、y轴上，且B点的坐标为(8,6)，P为射线AO上的一动点，点O关系直线PC的对称点为D.（1）当ΔOPC的面积为12时，则点P坐标为_______________.（2）当ΔAPC为等腰三角形时，求点P坐标.（3）如图所示，若点O关于直线PC的对称点为点D，当ΔAPD为直角三角形时，请直接写出点P坐标.∠P1D1C=∠P1OC=∠P1D1A，AC=10，设OP1=x，则P1D1=x，2+16=(8―x)2∴x=3∴P1（3,0）OP2=P2D2=6∴P2(6,0)OP3=P3D3=6∴P3(―6,0)∠P4D4C=90∘，AD4=10+6=16，设OP4=x，则P4D4=x，AP8)2∴x=12∴P(―12,0)分类讨论思想；3.数形结合思想.28．如图，在平面直角坐标系中，A(0,a)为y轴正方向上一点，B(b,0)为x轴正方向上一点，(b―6)2=0．(1)求线段AB的长；(2)点C是线段AC上一点，如果BC平分∠ABO，求点C的坐标；(3)点P是x轴上一动点，且△PAB为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．时，如图；OP′=OB+P′B=6+10=16，P(x,0)，=(6―x)2，股定理，灵活运用这些知识是关键．。
2024中考压轴题06 规律探究(4题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)
压轴题解题模板06规律探究目录题型一周期型题型二递推型题型三固定累加型题型四渐变累加型图形的规律探索题型一 周期型【例1】（2023·广东江门·一模）现有四条公共端点为O 的射线OA 、OB 、OC 、OD ，若点1P ，2P ，3P ，……按如图所示的规律排列，则点2023P 应该落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上【变式1-1】（2023·新疆克孜勒苏·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A 点出发，沿着A →B →C →D →A …循环爬行，其中A 点坐标为()1,1-，B 点坐标为()1,1--，C 点坐标为()1,3-，当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()1,0C ．()0,1D ．()0,1-【变式1-2】已知11a x =-（1x ≠，2x ≠），2111a a =-，3211a a =-，…，111n n a a -=-，则2023a =（ ）A ．21xx-- B ．12x- C ．1x - D ．1x -【变式1-3】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数14n =，计算()1131n n ⋅+得1a ，第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算()2231n n ⋅+得2a ，第三步算出2a 的各位数字之和得3n ，计算()3331n n ⋅+得3a ；以此类推，则2022a 的值为（ ） A ．7B ．52C ．154D ．310题型二递推型【例2】（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律， 2n =．【变式2-1】（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【变式2-2】（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，123A A A △，345A A A △，567A A A ，789A A A △…都是等边三角形，且点1A ，3A ，5A ，7A ，9A 坐标分别是()13,0A ，()32,0A ，()54,0A ，()71,0A ，()95,0A ，依据图形所反映的规律，则2023A 的坐标是（ ）A ．()509,0B ．()508,0C ．()503,0-D ．()505,0-【变式2-3】（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，1OA =，将OA 绕点O 顺时针旋转45︒到1OA ，扫过的面积记为1S ，121⊥A A OA 交x 轴于点2A ；将2OA 绕点O 顺时针旋转45︒到3OA ，扫过的面积记为2S ，343A A OA ⊥交y 轴于点4A ；将4OA 绕点O 顺时针旋转45︒到5OA 扫过的面积记为3S ；⋯；按此规律，则2023S为（ ）A ．20192πB ．20202πC ．20212πD ．20222π题型三 固定累加型【例3】（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【变式3-1】（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第①个图案用了14根木棍，第①个图案用了19根木棍，第①个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【变式3-2】（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【变式3-3】（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．题型四 渐变累加型【例4】（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为1a ，第2幅图形中“●”的个数为2a ，第3幅图形中“●”的个数为3a ，…，以此类推，那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【变式4-1】（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第①个图案中有5个圆圈，第①个图案中有8个圆圈，第①个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．26【变式4-2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【变式4-3】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．一、单选题1．（2023·云南红河·一模）如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n 个图形中小五角星的个数为（ ）A ．21n +B ． 21n -C ．21n -D ．21n2．（2023·云南玉溪·一模）观察下列一组数：23，45，67，89，1011，⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是（ ） A ．1n n- B ．221nn - C ．221nn + D ．12n n ++3．（2023·广东肇庆·三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案都比前一个图案多3个黑色正方形．若第n 个图案中黑色正方形的个数为55，则n 的值为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．204．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）按一定规律排列的单项式：a ，22a -，34a ，48a -，516a ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第n 个单项式是（ ） A ．()12n n a -- B ．2n a -C ．()2nn a -D ．()112n n a ---5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第①个图案中有6个黑色圆点，第①个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色圆点的个数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．186．（2023·河南安阳·一模）如图，将数列排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ） A ．119 B ．－121 C ．－117 D ．1237．（2023·浙江衢州·一模）观察下列数据：0，3，8，15，24，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（ ） A ．40400 B ．40040 C ．4040 D ．4048．（2023·云南昭通·三模）按一定规律得列的单项式；2345,3,5,7,9a a a a a ，…，按照上述规律，第n 个单项式为（ ） A ．n na B ．()21nn a -C ．()21nn a +D ．2n na9．（19-20七年级上·四川达州·期末）探索规律：观察下面的一列单项式：x 、22x -、34x 、48x -、516x 、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A ．9256x B ．9256x -C ．8512x -D ．9512x10．（2023·重庆巴南·一模）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第①个图形有8颗棋子，第①个图形有13颗棋子，……，则第①个图形中棋子的颗数为（ ）A ．36B ．40C ．49D ．5311．（2023·重庆渝中·二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·A ．8092B ．8093C ．4046D ．404712．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，11OA OB =，11120AOB ∠=︒，将11AOB △绕点O 顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120︒的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形22A OB ，点1(1,0)A 的对应点为(21,A -；第二次变化后得到等腰三角形33A OB ，点2A 的对应点为332A ⎛- ⎝⎭；第三次变化后得到等腰三角形44A OB ，点3A 的对应点为4(4,0)A ……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点2023B 的坐标是（ ）A ．(20212,2--B ．(20212,2-C ．2023,2⎛- ⎝⎭D ．20232⎛- ⎝⎭二、填空题13．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第1个图形中有2个三角形，第2个图形中有5个三角形，第①个图形中有10个三角形，第①个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第①个图形中三角形的个数为 ．14．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是．15．（2023·山西忻州·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个三角形和8个正方形，第（3）个图案有16个三角形和12个正方形，…，依此规律，第()n个图案中三角形和正方形的总个数为个．（用含n的式子表示）（1）（2）（3）。
平面直角坐标系内规律探索问题(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
．
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角 形（即等腰直角三角形①）的面积2，根据A2（6， 0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角
形②）的面积4，…，同理，确定规律第n个三角
形面积是2n,由此可得【答案】22020
（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为 直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使 ∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下 去，则点A2019的坐标为 （﹣22017，22017√. 3）
规律探索问题二
Add Text 点击此处添加标题
规律是事物发展过程中的本质联系和必然趋势。任何事物都有它固有的规律，抓住 了事物的规律才是认识了事物，才能科学地利用和改造事物，使它更好地为人的生存 服务。
学生学习数学，获得必需的数学知识和技能当然是重要的，同时学习数学还要学会用 数学的视角看世界，用数学的方法去认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学 思考去把握千变万化的现象背后的规律，这一点更重要。
（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ x和y＝﹣√3x的图象分别为直线 l1，l2，过l1上的点A1（1， ）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3， 过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为 ﹣31009．
【分析】根据两直线的K值可以发现OA1与x轴正半轴的夹角是 30°，OA4与x轴的负半轴夹角为60°，∴∠A4OA5=90°。由A1坐 标依次可以求出A2（1，-√3），A3（-3，-√3），A4（-3， 3√3），A5（9,3√3）,...,∴A2n-1【（-1）n+13n-1，(-1)n+1√3n-2）】 （n为奇数个数）因为A2019序号为奇数，且2009=2×1009+1∴
坐标系规律探索习题
坐标系规律探索习题一．选择题（共3小题）1．如图，动点P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,2)，⋯，按这样的运动规律，则第2021次运动到点( )A ．(2021,1)B ．(2021,2)C ．(2020,1)D ．(2021,0)2．如图，在平面直角坐标系中，(1,1)A ，(1,1)B -，(1,2)C --，(1,2)D -．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A -----⋯的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,2)--D ．(1,2)-3．点1A ，2A ，3A ，⋯，(n A n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；⋯，依照上述规律，点2008A ，2009A 所表示的数分别为( ) A ．2008，2009-B ．2008-，2009C ．1004，1005-D ．1004，1004-二．填空题（共17小题）4．如图，在平面直角坐标系中，函数2y x =和y x =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点(1,0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，⋯依次进行下去，则点2022A 的坐标为 ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1(1,0)A ，2(3,0)A ，3(6,0)A ，4(10,0)A ，⋯，以12A A 为对角线作第一个正方形1121AC A B ，以23A A 为对角线作第二个正方形2232A C A B ，以34A A 为对角线作第三个正方形3343A C A B ，⋯，顶点1B ，2B ，3B ，⋯都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点5B 的坐标为 ；点n B 的坐标为 ．6．如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点1(0,1)P ，2(1,1)P ，3(1,0)P ，4(1,1)P-，5(2,1)P -⋯则2018P 的坐标是 ．7．如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，写出点3B 的坐标为 ；再以正方形232OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，⋯依此规律作下去，点2013B 的坐标为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点(1,0)A 处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点1A ； 第二次，它从点1A 先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点2A ； 第三次，它从点2A 先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点3A ； 第四次，它从点3A 先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点4A ；⋯依此规律进行，点6A 的坐标为 ；若点n A 的坐标为(2013,2012)，则n = ． 9．如图，在平面直角坐标系中，有一个正六边形ABCDEF ，其中C 、D 的坐标分别为(1,0)和(2,0)．若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，会经过点(54,2)的是 ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1A 是以O 为圆心，2为半径的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线1l 的一个交点；2A 是以原点O 为圆心，3为半径的圆与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线2l 的一个交点；3A 是以原点O 为圆心，4为半径的圆与过点(0,3)且平行于x 轴的直线3l 的一个交点；4A 是以原点O 为圆心，5为半径的圆与过点(0,4)-且平行于x 轴的直线4l 的一个交点；⋯，且点1A 、2A 、3A 、4A 、⋯都在y 轴右侧，按照这样的规律进行下去，点6A 的坐标为 ，点n A 的坐标为 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．11．如图，在平面直角坐标系上有个点(1,0)P ，点P 第1次向上跳动1个单位至点1(1,1)P ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点2(1,1)P -，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，⋯，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点100P 的坐标是 ．12．如图，在平面直角坐标系上有点(1,0)A ，点A 第一次跳动至点1(1,1)A -，第四次向右跳动5个单位至点4(3,2)A ，⋯，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点100A 的坐标是 ．13．在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为：1(1,1)A 、2(0,2)A 、3(1,1)A -．一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以1A 为对称中心的对称点1P ，第2次电子蛙由1P 点跳到以2A 为对称中心的对称点2P ，第3次电子蛙由2P 点跳到以3A 为对称中心的对称点3P ，⋯，按此规律，电子蛙分别以：1A 、2A 、3A 为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是2009P ．14．观察下列有序数对：(3，1)(5--，1)(72，1)(93--，1)4⋯根据你发现的规律，第100个有序数对是 ．15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3，0)(4，0)⋯⋯，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 ．16．如图，已知直线l 与x 轴夹角为30︒，过点(2,0)A 作直线l 的垂线，垂足为点1A ，过点1A 作12A A x ⊥轴，垂足为点2A ，过点2A 作23A A l ⊥，垂足为点3A ，⋯，这样依次下去，得到一组线段：1AA ，12A A ，23A A ，⋯，则线段20202021A A 的长为 ．17．如图，点(0,0)O 、(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，再以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，⋯，依次下去，则对角线2020OB 的长= ．18．以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．19．如图所示，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向翻转2008次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，⋯，2008P 的位置，则2008P 的横坐标2008x = ．20．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1P ，2P ，32008P P ⋯的位置，则点2008P 的横坐标为 ．三．解答题（共2小题）21．如图：在直角坐标系中，第一次将AOB ∆变换成△11OA B ，第二次将三角形变换成△22OA B ，第三次将△22OA B ，变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(3,3)A ，2(5,3)A ，3(7,3)A ；(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△33OA B 变换成△44OA B ，则4A 的坐标是 ，4B 的坐标是 ．（2）若按（1）找到的规律将OAB ∆进行了n 次变换，得到△n n OA B ，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是 ，n B 的坐标是 ．22．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标： 1(A ， )， 3(A ， )， 12(A ， )；（2）写出点4n A 的坐标(n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．坐标系规律探索习题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题） 1．解：由图可知，每运动四次出现的形状都是一样的， 202145051÷=⋯⋯，∴第2021次运动到点(2021,1)，故选：A ． 2．解：(1,1)A ，(1,1)B -，(1,2)C --，(1,2)D -，1(1)2AB ∴=--=，1(2)3BC =--=，1(1)2CD =--=，1(2)3DA =--=，∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为232310+++=，2012102012÷=⋯，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B 的位置，点的坐标为(1,1)-． 故选：B ．3．解：根据题意分析可得：点1A ，2A ，3A ，⋯，n A 表示的数为1-，1，2-，2，3-，3，⋯依照上述规律，可得出结论： 点的下标为奇数时，点在原点的左侧；点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2； 当n 为偶数时，11n n A A +=--；所以点2008A 表示的数为：200821004÷=， 2009A 表示的数为：20081100411005A --=--=-．故选：C ．二．填空题（共17小题） 4．解：当1x =时，2y =，∴点1A 的坐标为(1,2)；当2y x =-=时，2x =-，∴点2A 的坐标为(2,2)-；同理可得3(2,4)A --，4(4,4)A -，5(4,8)A ，6(8,8)A --，7(8,16)A --，8(16,16)A -⋯⋯，∴22141(2,2)n n n A ++，212142(2,2)n n n A +++-， 212243(2,2)n n n A +++--，222244(2,2)(n n n A n +++-为自然数）， 202250542=⨯+，∴点2022A 的坐标为50521(2⨯+-，505212)⨯+，即点2022A 的坐标为1011(2-，10112)． 故答案为：1011(2-，10112)．5．解：分别过点1B ，2B ，3B ，作1B D x ⊥轴，2B E x ⊥轴，3B F x ⊥轴于点D ，E ，F ， 1(1,0)A ，12312A A ∴=-=，1A D ，1=，2OD =，11B D A D =，1=，可得出1(2,1)B ，2(3,0)A ，32633A A ∴=-=，232EB =，2232B E EA ==，39622OE =-=， 可得29(2B ，3)2，同理可得出：3(8,2)B ，425(2B ，5)2，⋯， 1B ，2B ，3B ，⋯的横坐标分别为：42，92，162，252⋯，∴点5B 的横坐标为：362， 点n B 的横坐标为：2(1)2n +，1B ，2B ，3B ，⋯的纵坐标分别为：1，32，42，52，⋯，∴点5B 的纵坐标为：632=， 点n B 的纵坐标为：12n +， ∴点5B 的坐标为(18,3)；点n B 的坐标为：2(1)1(,)22n n ++．故答案为：(18,3)，2(1)1(,)22n n ++．6．解：由图可得，6(2,0)P ，12(4,0)P ，⋯，6(2,0)n P n ，61(2,1)n P n +， 20166336÷=，6336(2336,0)P ⨯∴⨯，即2016(672,0)P ，2017(672,1)P ∴，2018(673,1)P故答案为：(673,1)．7．解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45︒， 从B 到3B 经过了3次变化，453135︒⨯=︒，31⨯=．∴点3B 所在的正方形的边长为3B 位置在第四象限． ∴点3B 的坐标是(2,2)-；可得出：1B 点坐标为(1,1)， 2B 点坐标为(2,0)， 3B 点坐标为(2,2)-，4B 点坐标为(0,4)-，5B 点坐标为(4,4)--， 6(8,0)B -，7(8,8)B - 8(0,16)B ，9(16,16)B ，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的倍， 201382515÷=⋯，2013B ∴的纵横坐标符号与点5B 的相同，纵横坐标都是负值，2013B ∴的坐标为1006(2-，10062)-．故答案为：(2,2)-，1006(2-，10062)-． 8．解：青蛙在点(1,0)A 处，∴第一次在点(2,1)，第二次在点(0,1)-， 第三次在点(3,2)， 第四次在点(1,2)--， 第五次在点(4,3)， 第六次在点(2,3)--，从上可以看出除去一二两次，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一， 6(162,062)A ∴-÷-÷得：(2,3)--，点n A 的坐标为(2013,2012)，在第一象限，若以第一次的结果为基础，设置为m ， (22,12)An m m +÷+÷， 222013m +÷=， 4022m =，1402214023n m =+=+=；故答案为：(2-，3-，)，4023． 9．解：如图所示：当滚动到A D x '⊥轴时，E 、F 、A 的对应点分别是E '、F '、A '，连接A D '，过点F '作F G A D '⊥'于点G ，过点E '作E H A D '⊥'于点H ，六边形ABCDEF 是正六边形， 1602F A D FAB ∴∠''=∠=︒，906030A F G ∴∠''=︒-︒=︒， 1122A G A F ∴'=''=，同理可得12HD =， 2A D ∴'=，(2,0)D(2,2)A ∴'，2OD =，正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2,2)开始到点(54,2)正好滚动52个单位长度，52846=⋯， ∴恰好滚动8周多4个， ∴会过点(54,2)的是点E ．故答案为：E ．10．解：点1A 是以原点O 为圆心，半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线1l 的一个交点，1A ∴的坐标为：，1)，即1)，2A 是以原点O 为圆心，3为半径的圆与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线2l 的一个交点，2A ∴的坐标为2)-同理可得：3A 的坐标为3)点n A 的坐标为1(1))n n +-⋅，则：点6A 的坐标为6)-；故答案为：6)-，1(1))n n +-⋅；11．解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧．1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，依此类推可得到：n P 的横坐标为41(n n ÷+是4的倍数）．故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标是(26,50)． 故答案为：(26,50)．12．解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是(2,1)， 第4次跳动至点的坐标是(3,2)， 第6次跳动至点的坐标是(4,3)， 第8次跳动至点的坐标是(5,4)，⋯第2n 次跳动至点的坐标是(1,)n n +，∴第100次跳动至点的坐标是(51,50)．故答案为：(51,50)．13．解：根据题意1P 点为原点关于点1A 为对称中心的点，所以1(2,2)P ，类似地2(2,2)P -，3(0,0)P ，即回到了原点，所以可以看出电子蛙每从原点开始，每跳三次就会回到原点，20093÷余数是2，所以第2009次电子蛙落点的坐标为2P 点的坐标(2,2)-．故答案为：(2,2)-．14．解：观察后发现第n 个有序数对可以表示为： 第n 个有序数对的坐标为1((1)(21)n n +-⋅+，1(1))n n-⋅．∴第100个有序数对是1(201,)100-．故答案填1(201,)100-． 15．解：因为1231391+++⋯+=，所以第91个点的坐标为(13,0)．因为在第14列点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； 故第100个点的坐标为(14,8)． 故填(14,8)．16．解：由题可知，直线l 与x 轴的夹角为30︒， 12sin301AA ∴=︒=， 130AOA ∠=︒， 160A AO ∴∠=︒，1230AA A ∴∠=︒， 121cos30A A AA ∴=︒，同理，223121cos30cos 30A A A A AA =︒=︒，234231cos30cos 30A A A A AA =︒=︒，⋯11cos 30n n n A A AA +∴=︒，当2010n =，202020192020A A =，故答案为2020．17．解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45︒，∴旋转8次则OB 旋转一周，从B 到2020B 经过了2020次变化， 202082524÷=⋯，∴从B 到2020B 与4B 都在y 轴负半轴上，202010102∴=，∴点2020B 的坐标是1010(0,2)-．2020OB ∴的长10102，故答案为10102．18．解：如图所示：点C 的坐标表示为(3,240)︒． 故答案为：(3,240)︒． 19．解：根据规律1(1,1)P ，23(2,0)P P =，4(3,1)P ， 5(5P ，671)(6,0)P P =，8(7,1)P ⋯每4个一循环，可以判断2008P 在502次循环后与4P 一致：纵坐标为1，横坐标比下标小1，坐标应该是(2007,1)，故答案为2007．20．解：观察图形结合翻转的方法可以得出1P 、2P 的横坐标是1，3P 的横坐标是2.5，4P 、5P 的横坐标是4，6P 的横坐标是5.5⋯依此类推下去，2005P 、2006P 的横坐标是2005，2007P 的横坐标是2006.5，2008P 、2009P 的横坐标就是2008．故答案为：2008． 三．解答题（共2小题）21．解：（1）已知(1,3)A ，1(3,3)A ，2(5,3)A ，3(7,3)A ；对于1A ，2A ，n A 坐标找规律比较从而发现n A 的横坐标为21n +，而纵坐标都是3； 同理1B ，2B ，n B 也一样找规律，规律为n B 的横坐标为12n +，纵坐标为0． 由上规律可知：（1）4A 的坐标是(9,3)，4B 的坐标是(32,0)； （2）n A 的坐标是(21,3)n +，n B 的坐标是1(2n +，0) 22．解：（1）1(0,1)A ，3(1,0)A ，12(6,0)A ； （2）当1n =时，4(2,0)A ， 当2n =时，8(4,0)A ， 当3n =时，12(6,0)A ， 所以4(2,0)n A n ；（3）点100A 中的n 正好是4的倍数，所以点100A 和101A 的坐标分别是100(50,0)A ，101A 的(50,1)，所以蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向是从下向上．。
人教版九年级数学规律探索专项练习及答案解析
人教版九年级数学规律探索专项练习一、选择题1.（2014•山东威海，第12题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）20132. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)3. （2014•山东烟台，第9题3分）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）4.（2014•十堰7．（3分））根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（ ）．B ．C ．D ．5．（2014•四川宜宾，第7题，3分）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）6．（2014•四川内江，第12题，3分）如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ．△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S n 为（ ）． B ． C ． D ．7. （2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，△B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）第1题图A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°8．（2014•重庆A,第11题4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．409.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．10.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）11. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）二、填空题1. （2014•上海，第17题4分）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为．2. （2014•四川巴中，第20题3分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．3.（2014•遵义16．（4分））有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．4.（2014•娄底19．（3分））如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由个▲组成．5. (2014年湖北咸宁14．（3分）)观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．6. （2014•江苏盐城,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）7. (2014•年山东东营,第18题4分)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为．8．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则△A n B n C n的周长为9．（2014•四川内江，第16题，5分）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是．10．（2014•四川南充，第15题，3分）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．11.（2014•黑龙江龙东,第10题3分）如图，等腰Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．12.（2014•黑龙江绥化,第10题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B （﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是．13.（2014•湖南衡阳,第20题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．14.（2014•湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是．题号答案选手12345得分小聪B A A B A40小玲B A B A A40小红A B B B A3015. （2014•黔南州，第18题5分）已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=．16．(2014年广西钦州，第18题3分)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．17．(2014年贵州安顺，第17题4分)如图，△AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是S n=．18．（2014•莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知△ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．19．(2014•黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1△B2C2△B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是．20. （2014•湖北黄石,第16题3分）观察下列等式：第一个等式：a1==﹣；第二个等式：a2==﹣；第三个等式：a3==﹣；第四个等式：a4==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=．21．（2014•四川绵阳,第18题4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为S n，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014=22．（2014•浙江绍兴,第15题5分）如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…A n﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…B n﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…A n﹣1B n﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点C1，C2，…，C n﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为．（n为正整数）23．（2014•四川成都,第23题4分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=．（用数值作答）24．（2014•河北，第20题3分）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．则点P37所表示的数用科学记数法表示为．规律探索一、选择题1.（2014•山东威海，第12题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）2013根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=OC2=3×；OA3=OC3=3×（）2；OA4=OC4=3×（）3，于是可得到OA2014=3×（）2013，由于而2014=4×503+2，则可判断点A2014在y轴的正半轴上，所以点A2014的纵坐标为3×（）2013．解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，∴OA2=OC2=3×；∵OA2=OC3=3×，∴OA3=OC3=3×（）2；∵OA3=OC4=3×（）2，∴OA4=OC4=3×（）3，∴OA2014=3×（）2013，而2014=4×503+2，∴点A2014在y轴的正半轴上，∴点A2014的纵坐标为3×（）2013．故选D．2. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∵M的坐标变为(2,2)∵根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014，2），即（－2012，2）故答案为A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．3. （2014•山东烟台，第9题3分）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）考点：规律探索．分析：根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．解答：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，3在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．4.（2014•十堰7．（3分））根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）．B．C．D．解答：解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2013÷4=503…1，∴2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．故选D．5．（2014•四川宜宾，第7题，3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）6．（2014•四川内江，第12题，3分）如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）．B．C．D．解答：解：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2），同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6）…∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，∴A1B1边上的高为：，∴=××2==，同理可得出：=，=，∴S n=．故选；D．7. （2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，△B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）第1题图A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°考点：等腰三角形的性质．专题：规律型．分析：先根据等腰三角形的性质求出△BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出△DA2A1，△EA3A2及△FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数．解答：解：△在△CBA1中，△B=30°，A1B=CB，△△BA1C==75°，△A1A2=A1D，△BA1C是△A1A2D的外角，△△DA2A1=△BA1C=×75°；同理可得，△EA3A2=（）2×75°，△FA4A3=（）3×75°，△第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∵DA2A1，∵EA3A2及∵FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．8．（2014•重庆A,第11题4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．40考点：规律型：图形的变化类．分析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．解答：解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．故选：B．点评：此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．9.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．10.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）11. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）考点：坐标确定位置；规律型：点的坐标．分析：根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．解答：解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1，∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选C．点评：本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．二、填空题1. （2014•上海，第17题4分）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为﹣9．考点：规律型：数字的变化类分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．解答：解：∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b ∵2×3﹣x=7∵x=﹣1则7×2﹣y=23解得y=﹣9．故答案为：﹣9．点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．2. （2014•四川巴中，第20题3分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．考点：规律探索．分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n 的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．解答：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．3.（2014•遵义16．（4分））有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是3．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2014÷4=503…2，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．4.（2014•娄底19．（3分））如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．5. (2014年湖北咸宁14．（3分）)观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是﹣3（结果需化简）．考点：算术平方根．专题：规律型．分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1n+1），可以得到第16个的答案．解答：解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），△第16个答案为：．故答案为：．点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．6. （2014•江苏盐城,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）7. (2014•年山东东营,第18题4分)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为（45，12）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．解答：解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；△45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，△2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．故答案为：（45，12）．点评：此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．8．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△A n B n C n的周长为．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，△A2B2C2∽△ABC的相似比为，依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，解答：解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为，∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，∵△ABC的周长为1，∴△A n B n C n的周长为．故答案为．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：9．（2014•四川内江，第16题，5分）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是□．10．（2014•四川南充，第15题，3分）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．分析：分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，则a1+a2+a3+…+a2014=668×（﹣1++2）=1002．故答案为：1002．点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．11.（2014•黑龙江龙东,第10题3分）如图，等腰Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=1342+672．考点：旋转的性质．专题：规律型．分析：由已知得AP1=，AP2=1+，AP3=2+；再根据图形可得到AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，则AP2013=（2013﹣761）+671，然后把AP2013加上即可．解答：解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；△2013=3×671，△AP2013=（2013﹣761）+671=1342+671，△AP2014=1342+671+=1342+672．故答案为：1342+672．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．12.（2014•黑龙江绥化,第10题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B （﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（﹣1，﹣1）．考点：规律型：点的坐标．分析：根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解答：解：△A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），△AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，△绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，2014÷10=201…4，△细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，即线段BC的中间位置，点的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．点评：本题主要考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．13.（2014•湖南衡阳,第20题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为21007．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），∴OM0=1，∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM1=OM0=，同理，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，…，OM2014=OM2013=（）2014=21007．故答案为：21007．点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．14.（2014•湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．12345得分题号答案选手小聪B A A B A40小玲B A B A A40小红A B B B A30考点：推理与论证．.分析：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．解答：解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．故答案是：BABBA．点评：本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A 和B两个答案是关键．15. （2014•黔南州，第18题5分）已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=56．考点：规律型：数字的变化类．分析：对于C a b（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．解答：解：△==3，==10，==15，△==56．故答案为56．点评：此题主要考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．16．(2014年广西钦州，第18题3分)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是336分．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1），由于1+3（n﹣1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可．解答：解：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，。
一、选填重难题型突破++题型1 规律探索问题++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
3
【思路点拨】根据已知条件数字的排列找到规律,用含m的代数式表示出第m组
最后一个数,判断出第16组最后一个奇数,进而可得答案.
【方法技巧】
数式规律问题的解题通法
(1)根据给出的一组数或式子,通过观察、归纳这组数或式子的共性规律,写出一
④个图案中有17个正方形,按此规律排列下去,则第
数为 ( C )
A.8 093
B.8 096
C.8 097
D.8 101
个图案中正方形的个
7
【方法技巧】
求解图形规律探索问题的步骤
(1)标序号:按图号标序;
(2)找规律:观察图形,随着序号增加,后一个图形与前一个图形相比,变化的和不
变的分别是什么,猜想出图形变化规律,将每个图形中所求量的个数表示成与序
山东题型突破案
一、选填重难题型突破
题型1 规律探索问题
2
类型1
数式规律探索
【例1】(2024·临沂临沭县二模)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:
第1组:1,3;
第2组:5,7,9,11;
第3组:13,15,17,19,21,23;
第4组:25,27,29,31,33,35,37,39;
553
个一般性的结论,即分离出不变的和变化的内容,并分析出变化部分与序号的关
系;
(2)求第n个时,直接套用归纳的关系式即可;
(3)数字一正一负交替出现时,用(-1)n或(-1)n+1实现.
4
【变式训练】
1.(2023·聊城中考)如图,图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年11月14日平面直角坐标系中的规律探索专题训练一．选择题（共39小题）1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）2．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0）B．（2017，1）C．（2017，﹣1）D．（2018，0）3．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（）A．（2011，0）B．（2011，1）C．（2011，2）D．（2010，0）4．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）20175．如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A．（3，0） B．（﹣1，2）C．（﹣3，0）D．（﹣1，﹣2）6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1，B2，B3，B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则B n的坐标是（）A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）7．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2017秒时，点P的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（2017，）D．（2017，﹣）8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是（）A．（21008，0）B．（21008，21008）C．（0，21008）D．（21007，21007）9．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（1，）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣） D．（﹣1，）10．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为（）A．（0，448）B．（﹣672，）C．（0，）D．（0，）11．如图，点A（0，1），点B（﹣，0），作OA1⊥AB，垂足为A1，以OA1为边作Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，∠B1=30°，作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2，使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△A n OB n，则当n=2017时，点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．﹣（）2017C．（）2018D．﹣（）201812．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，再过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2；…按此规律继续作下去，得到等边三角形O2016A2016A2017，则点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．（）2016C．（）2015D．（）201413．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2017次碰到矩形的边时，此时点P的坐标为（）A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（7，2）14．在平面内直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）201715．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的横坐标为（）A．1010 B．2 C．1 D．﹣100616．如图，点A（2，0），B（0，2），将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．（16+4π，0）B．（14+4π，2）C．（14+3π，2）D．（12+3π，0）17．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A 作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（）A．?（）2015B．?（）2016C．?（）2017D．?（）2018 18．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（）A．（﹣8，0）B．（0，8） C．（0，8）D．（0，16）19．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形经过连续5次这种变换得到三角形△A5B5C5，则点A的对应点A5的坐标是（）A．（5，﹣） B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）20．如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2017次相遇在（）A．点A B．点B C．点C D．点D21．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（2，0） C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（）A．（0，4） B．（﹣3，1）C．（0，﹣2）D．（3，1）24．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则A30的坐标是（）A．（4，﹣4） B．（﹣4，4） C．（﹣8，8） D．（30，30）25．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2017的坐标为（）A．（﹣504，﹣504）B．（﹣505，﹣504）C．（504，﹣504）D．（﹣504，505）26．对有序数对（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）=（x+y，x﹣y），且规定P m（x，y）=P1（P m﹣1（x﹣y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）=（3，﹣1），P2（1，2）=P1（P1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2）．则P2010（1，﹣1）=（）A．（0，21007）B．（21007，﹣21007）C．（21005，﹣21005）D．（0，21008）27．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2017的横坐标是（）A．（）2015B．﹣（）2015C．﹣（）2016D．（）201628．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2017的坐标为（）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）29．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（）A．（5，2） B．（6，0） C．（8，0） D．（8，1）30．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第50个点的坐标为（）A．（10，5）B．（9，3） C．（10，4）D．（50，0）31．正方形的边长依次为2，4，6，8，…，它们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1（1，1），A2（﹣1，1），A3（﹣1，﹣1），A4（1，﹣1），A5（2，2），A6（﹣2，2），A7（﹣2，﹣2），A8（2，﹣2），A9（3，3），A10（﹣3，3），…，按此规律排下去，则A2016的坐标为（）A．（﹣504，﹣504）B．（504，﹣504）C．（﹣504，504）D．（504，504）32．如图，一个粒子在第一象限内及x、y轴上运动，在第一分钟内它从原点O 运动到（1，0），而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么2017分钟后这个粒子所处的位置是（）A．（7，45）B．（8，44）C．（44，7）D．（45，8）33．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角34．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt △OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依次规律，点A2016的纵坐标为（）A．0 B．﹣3×（）2015C．（2）2016D．3×（）201535．如图，点A（1，0）第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次跳动至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次跳动至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第102次跳动至点A102的坐标是（）A．（﹣50，50）B．（﹣51，51）C．（52，51）D．（51，50）36．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）、…根据这个规律，第2016个点的坐标为（）A．（45，13）B．（45，9）C．（45，22）D．（45，0）37．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是（）A．C或E B．B或D C．A或C D．B或F38．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，△16的直角顶点的坐标为（）A．（60，0）B．（72，0）C．（67，） D．（79，）39．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2006次，点P 依次落在点P1，P2，P3…P2006的位置，则P2006的横坐标x2006为（）A．2005 B．2006 C．2007 D．不能确定2017年11月14日平面直角坐标系中的规律探索专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共39小题）1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．2．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0）B．（2017，1）C．（2017，﹣1）D．（2018，0）【分析】以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”，依此规律即可得出第2017秒时，点P的坐标．【解答】解：以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．故选B【点评】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是找出点P的变化规律“P4n （n，0），P4n（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”．本题属于基+1础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆的半径及时间罗列出部分点P的坐标，根据坐标发现规律是关键．3．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（）A．（2011，0）B．（2011，1）C．（2011，2）D．（2010，0）【分析】观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2011除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可．【解答】解：∵第1次运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次运动到点（4，0），第5次运动到点（5，1）…，∴运动后点的横坐标等于运动的次数，第2011次运动后点P的横坐标为2011，纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环，∵2011÷4=502…3，∴第2011次运动后动点P的纵坐标是第503个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐标相同，为2，∴点P（2011，2）．故选C．【点评】本题是对点的坐标的规律的考查，根据图形观察出点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．5．如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A．（3，0） B．（﹣1，2）C．（﹣3，0）D．（﹣1，﹣2）【分析】由甲、乙两物体单独环绕一周的时间即可算出两物体每两次相遇间的间隔时间，根据2017×8=24×672+8即可得出两个物体运动后的第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置，结合图形找出乙物体第8秒运动到点的坐标即可得出结论．【解答】解：甲、乙两物体两次相遇间隔为1÷（+）=8（秒），∵2017×8=24×672+8，∴两个物体运动后的第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置．∵乙物体第2秒运动到点（2，﹣1），乙物体第4秒运动到点（1，﹣2），乙物体第6秒运动到点（0，﹣3），乙物体第8秒运动到点（﹣1，﹣2），∴两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（﹣1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据两物体的运动找出两物体第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置是解题的关键．6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1，B2，B3，B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则B n的坐标是（）A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）【分析】设B n的坐标为（x n，y n），根据点B1，B2，B3，B4坐标的变化找出变化规律“B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”，此题得解．【解答】解：设B n的坐标为（x n，y n），∵y1=1，y2=2，y3=4，y4=8，∴y n=2n﹣1；∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，7=2×4﹣1，15=2×8﹣1，∴x n=2y n﹣1=2n﹣1．∴B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）．故选A．【点评】本题考查了规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2017秒时，点P的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（2017，）D．（2017，﹣）【分析】设第n秒运动到P n（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分P n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（，），P4n+2（2n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：设第n秒运动到P n（n为自然数）点，观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，（，），P4n+2（n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）．∴P4n+1∵2017=4×504+1，∴P2017为（，）．故选A．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是（）A．（21008，0）B．（21008，21008）C．（0，21008）D．（21007，21007）【分析】根据给定图形结合正方形的性质可得出，点B1、B2、B3、B4、B5、…、的坐标，观察点的坐标可得知，下标为奇数的点的坐标的横纵坐标的绝对值依此为前一个点的横纵坐标绝对值的2倍，且4次一循环，由此即可得出B8n（24n，+124n）（n为自然数），依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现：B1（1，1），B2（0，2），B3（﹣2，2），B4（﹣4，0），B5（﹣4，﹣4），B6（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0），B9（16，16），…，（24n，24n）（n为自然数）．∴B8n+1∵2017=8×252+1，∴点B2017的坐标为（21008，21008）．故选：B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点的坐标的变化（24n，24n）（n为自然数）”是解题的关键．找出变化规律“B8n+19．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（1，）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣） D．（﹣1，）【分析】由于2017=6×336+1，则可判断第2017秒时，点P运动到点C，作CH ⊥x轴于H，如图，根据正六边形的性质得到OB=BC=1，∠BCD=120°，所以∠BCH=30°，再通过解直角三角形求出CH和BH，然后写出C点坐标即可．【解答】解：∵2017=6×336+1，∴第2017秒时，点P运动到点C，作CH⊥x轴于H，如图，∵六边形ABCDEF是半径为1的正六边形，∴OB=BC=2，∠BCD=120°，∴∠BCH=30°，在Rt△BCH中，BH=BC=1，CH=BH=，∴OH=OB﹣BH=1，∴C点坐标为（1，﹣），∴第2017秒时，点P的坐标是（1，﹣）．故选C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标：利用正多边形的性质确定动点的运动规律，熟记正多边形以及解直角三角形的有关知识是解题的关键．10．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为（）A．（0，448）B．（﹣672，）C．（0，）D．（0，）【分析】先关键等边三角形的性质和已知条件得出A3的坐标，根据每一个三角形有三个顶点确定出A2016所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A2016的纵坐标的长度，即可得解．【解答】解：∵△A1A2A3为等边三角形，边长为2，点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，∴A3的坐标为（0，），∵2016÷3=672，∴A2016是第672个等边三角形的第3个顶点，∴点A2016的坐标为（0，×），即点A2016的坐标为（0，448）；故选：C．【点评】本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A3和A2016所在三角形是解题的关键．11．如图，点A（0，1），点B（﹣，0），作OA1⊥AB，垂足为A1，以OA1为边作Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，∠B1=30°，作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2，使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△A n OB n，则当n=2017时，点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．﹣（）2017C．（）2018D．﹣（）2018【分析】由每次旋转30°可知，点所在的射线以12为周期循环，所以A2017在射线OA1上，故排除B、D，再找到三角形的变化规律即可解题．【解答】解：在Rt△AOB中，OA=1，OB=，∴∠ABO=30°，∵OA1⊥AB，∴A1O=OB=，∠AOA1=30°，可知每次逆时针旋转30°，点所在的射线以12为周期循环，∵且每次旋转后，原三角形的高变新的直角边，∴三角形依次减小，且相似比为，2017÷12=168…余1，所以当n=2017时，点A2017的纵坐标与A1的纵坐标在同一条射线上，且OA2017=，过点A1作A1E⊥OB于E，∴∠EA1O=30°，∴OE=A1O=，A1的纵坐标=A1E=（）2=OA1，点A2017的纵坐标为OA2017=，故选C．【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，考查了相似三角形规律的发现，本题中根据相似比求OA2017的长是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，再过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2；…按此规律继续作下去，得到等边三角形O2016A2016A2017，则点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．（）2016C．（）2015D．（）2014【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=，O2A2=O1A2=（）2，O3A3=O2A3=（）3，即点A1的纵坐标为；点A2的纵坐标为（）2，点A3的纵坐标为（）3，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【解答】解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1=OA=1，∠AOA1=60°，∴∠O1OA1=30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=OA1=，即点A1的纵坐标为；同理，O2A2=O1A2=（）2，O3A3=O2A3=（）3，即点A2的纵坐标为（）2，点A3的纵坐标为（）3，…∴点A2017的纵坐标为（）2017．故选A．【点评】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．13．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2017次碰到矩形的边时，此时点P的坐标为（）A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（7，2）【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2017除以6得到336，且余数为1，说明点P第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，因此点P的坐标为（3，0）．【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2017÷6=336…1，当点P第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）．故选B．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．14．在平面内直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．15．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的横坐标为（）A．1010 B．2 C．1 D．﹣1006【分析】根据图形先确定出A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，再写出前几个三角形的相应的点的横坐标，从而得到点的横坐标的变化规律，然后写出即可．【解答】解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，∵2017=1008×2+1，∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，∴A2017在x轴正半轴，∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，…，∴OA2017=（2017+3）÷2=1010，∴点A2017的坐标为（1010，0）．故选：A．【点评】本题考查了点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点并确定出在x轴正半轴是解题的关键．16．如图，点A（2，0），B（0，2），将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．（16+4π，0）B．（14+4π，2）C．（14+3π，2）D．（12+3π，0）【分析】由点A（2，0），B（0，2），得到OA=2，OB=2，∠AOB=90°，根据弧长的计算公式得到的长度==π，得到O1O2=的长度=π，于是得到结论．【解答】解：∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，∠AOB=90°，∴的长度==π，∵将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，∴O1O2=的长度=π，∴点O1（2，2），点O2（2+π，2），点O3（4+π，0），点O4（6+π，2），…，∵10÷3=3…1，∴O10的（14+3π，2）．故选C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，主要考查了从滚动中找出规律，根据规律确定坐标对应点是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A 作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（）A．?（）2015B．?（）2016C．?（）2017D．?（）2018【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA n=（）n OA=2（）n，依此规律即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，∴OA n=（）n OA=2（）n．∴OA2018=2×（）2018=?（）2016故选B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA n=（）n OA=2（）n是解题的关键．18．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（）A．（﹣8，0）B．（0，8） C．（0，8）D．（0，16）【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从A到A3经过了3次变化，∵45°×3=135°，1×（）3=2．∴点A3所在的正方形的边长为2，点A3位置在第四象限．∴点A3的坐标是（2，﹣2）；可得出：A1点坐标为（1，1），A2点坐标为（2，0），A3点坐标为（2，﹣2），A4点坐标为（0，﹣4），A5点坐标为（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．19．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形经过连续5次这种变换得到三角形△A5B5C5，则点A的对应点A5的坐标是（）A．（5，﹣） B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）【分析】首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1得到点A1的坐标为（2+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+3+3，1+），…由此得出A5的坐标为（2+3×5，﹣1﹣），进一步选择答案即可．【解答】解：∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1得到点A1的坐标为（2+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+3+3，1+），…A5的坐标为（2+3×5，﹣1﹣），即（17，﹣1﹣）．故选：C．【点评】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道一次变化的定义利用对称和平邑的特点，找出规律解决问题．20．如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2017次相遇在（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】因为点P的速度是1个单位/秒，点Q的速度是3个单位/秒，正方形ABCD的边长为1，所以第1次相遇，P走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次P走了正方形周长的相遇一次，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2017次相遇位置．【解答】解：根据题意分析可得：点P的速度是1个单位/秒，点Q的速度是3个单位/秒，正方形ABCD的边长为1，所以第1次相遇，P走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次P走了正方形周长的相遇一次，从第1次相遇起，4次一个循环，因此可得：从第1次相遇起，每次相遇的位置依次是：D，C，B，A依次循环．故它们第2017次相遇位置与第一次相同，在点D上．故答案为：D．【点评】此题考查了正方形的性质以及规律型中点的坐标，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解题的关键．21．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（2，0） C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相。