最新专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

专题函数常见题型归纳

1

三个不等式关系：

2

（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． 3

（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．

4

（3）a ，b ∈R ，

a 2＋

b 2

2

≤(

a ＋

b 2

)2，当且仅当a ＝b 时取等号．

5

上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

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其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(

a ＋

b 2

)2)，当且

7 仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求8 和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 9

【题型一】利用拼凑法构造不等关系

10 【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且

11 7log 3log 2=+a b b a ，则

1

12

-+b a 的最小值为 .

12

【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴3

2log 7log a a b b

+

=，解得13

1

log 2

a b =

或

log 3

a b =，∵1＞＞b a ∴

1

log 2

a b =

，即

14 2a b =．211

1111

a a

b a +

=-++-- 15

13≥=． 16

练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y

17

满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y +-的最小值为 ．

18

解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么

19 y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4

)(=4，当且仅当（x －y ）20

=y

x -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．

21

2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实

22 数,x y 满足1

33(0)2

xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．

23

3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则

24

2ac c c b ab +-+

的最小值为 . 25

【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，26 则4x 4x ＋y ＋y x ＋y

的最大值为 ． 27

解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =)

)(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=2

22

25484y xy x y xy x ++++ 28

=1+

22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5

423

+⋅x

y y x =43， 29

当且仅当4

y x =x

y

，即y=2x 时等号成立． 30

【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 31

解析：由,a b R +∈,得2

23(

),()4()1202

a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得32 6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).

33

变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

34

解析：因为,a b R +∈,所以由2

2

2

2

2

()2

a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-

35

2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,

36 取等号).

37

2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 4 38

3.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________

105

2

39

4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知40

正数a ，b 满足195a

b

+=，则ab 的最小值为 41

【题型二】含条件的最值求法

42

【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，43

则

1

1

24+++y x 的最小值为 44

练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足

11

1=+y

x ，则45

1

914-+-y y x x 的最小值为 . 46